1、金屬塑性成型原理金屬塑性成型原理機(jī)電工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院 王忠雷王忠雷第三章第三章 金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)金屬塑性變形的力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)第一節(jié) 應(yīng)力分析應(yīng)力分析第二講第二講 應(yīng)力張量應(yīng)力張量張量的概念張量的概念主應(yīng)力主應(yīng)力應(yīng)力橢球體應(yīng)力橢球體主應(yīng)力簡(jiǎn)圖主應(yīng)力簡(jiǎn)圖應(yīng)力分解應(yīng)力分解張量的概念張量的概念1 1、物理量的表示、物理量的表示3階張量33三個(gè)方向面都有張量2階張量32三個(gè)方向面都有矢量張量張量1階張量31大小、方向矢量矢量0階張量30大小沒(méi)方向標(biāo)量標(biāo)量分量分量性質(zhì)性質(zhì)名稱名稱張量的概念張量的概念2 2、張量的概念、張量的概念標(biāo)量：一個(gè)數(shù)，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，標(biāo)量：一個(gè)數(shù)，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)， (xi)=

2、 (xi)，即即 不不依賴依賴于坐標(biāo)，則于坐標(biāo)，則 定義為標(biāo)量定義為標(biāo)量零階張量。零階張量。矢量：三個(gè)數(shù)的集合，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，根據(jù)式矢量：三個(gè)數(shù)的集合，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，根據(jù)式ai=Miiai,由由a1,a2,a3變?yōu)樽優(yōu)閍1,a2,a3，則此三個(gè)分量則此三個(gè)分量定義為矢量定義為矢量一階一階張量。張量。張量：張量：32個(gè)數(shù)的集合，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，根據(jù)式個(gè)數(shù)的集合，當(dāng)坐標(biāo)變換時(shí)，根據(jù)式Tij=Mii MjjTij,由由Tij變?yōu)樽優(yōu)門(mén)ij，則此九個(gè)分量則此九個(gè)分量定義為二階張量定義為二階張量簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱為張量。稱為張量。張量的概念張量的概念3 3、張量的性質(zhì)、張量的性質(zhì)（1 1）張量的分量一定可以組成某些函

3、數(shù)）張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f f( (TijTij), ),這些函數(shù)的值這些函數(shù)的值不隨坐標(biāo)而變。即不隨坐標(biāo)而變。即（2 2）同階張量各對(duì)應(yīng)分量之和或差為另一同階張量。）同階張量各對(duì)應(yīng)分量之和或差為另一同階張量。（3 3）二階張量）二階張量T T，若，若T TT T=T=T，則稱為對(duì)稱張量，若，則稱為對(duì)稱張量，若T TT T= =- -T T，則稱為反對(duì)稱張量，非對(duì)稱張量可以化為一個(gè)對(duì)稱張量和則稱為反對(duì)稱張量，非對(duì)稱張量可以化為一個(gè)對(duì)稱張量和一個(gè)反對(duì)稱張量之和。一個(gè)反對(duì)稱張量之和。)(21)(21)(21jiijjiijjijiijijpppppppp（4 4）2 2階對(duì)稱張量存在三個(gè)

4、主軸和三個(gè)主值；張量角標(biāo)不階對(duì)稱張量存在三個(gè)主軸和三個(gè)主值；張量角標(biāo)不同的分量都為零時(shí)的坐標(biāo)軸方向?yàn)橹鬏S，三個(gè)角標(biāo)相同的分同的分量都為零時(shí)的坐標(biāo)軸方向?yàn)橹鬏S，三個(gè)角標(biāo)相同的分量為值。量為值。)()(klijTfTf張量的概念張量的概念4 4、應(yīng)力張量、應(yīng)力張量應(yīng)力張量：應(yīng)力張量：代表一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分量，當(dāng)坐標(biāo)變化時(shí)按一定的規(guī)律變化，其變換關(guān)系符合張量之定義，因此，表示點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)的9個(gè)分量構(gòu)成一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量。 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以借用矩陣以張量ij表示：zyzyxzxyxzzyzxyzyyxxzxyxij二階對(duì)稱二階對(duì)稱張量張量主應(yīng)力主應(yīng)力1 1、主應(yīng)力的概念、主應(yīng)力的概念 表示

5、同一點(diǎn)表示同一點(diǎn)Q Q的應(yīng)力狀態(tài)可以任選坐標(biāo)軸，但其的應(yīng)力狀態(tài)可以任選坐標(biāo)軸，但其9 9個(gè)分量相應(yīng)改變，若選一特殊方向，使坐標(biāo)面?zhèn)€分量相應(yīng)改變，若選一特殊方向，使坐標(biāo)面 =0=0。此平面一定存在，這是應(yīng)力張量的特性。此平面一定存在，這是應(yīng)力張量的特性。主平面主平面切應(yīng)力為零的微分面切應(yīng)力為零的微分面主應(yīng)力主應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力主平面上的正應(yīng)力主方向主方向主平面的法線方向（主應(yīng)力方向）主平面的法線方向（主應(yīng)力方向）主應(yīng)力主應(yīng)力1 1、主應(yīng)力的求解、主應(yīng)力的求解nSmSlSzyx旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸，使Q點(diǎn)的斜面ABC正好是主平面(=0),則斜面上全應(yīng)力S就是正應(yīng)力(=S)。S在三軸上的投影nmlSnmlS

6、nmlSzyzxzzzyyxyyzxyxxx0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx以以l,m,n為未知數(shù)的齊次線性為未知數(shù)的齊次線性方程組。其解有二。方程組。其解有二。主應(yīng)力主應(yīng)力0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx0zyzxzzyyxyzxyxxa)l=m=n=0, 不滿足l2+m2+n2=1的條件，此平面不存在。b)齊次線性方程級(jí)有非零解的充要條件是：系數(shù)行列式=0,即32222222()()2()0 xyzxyyzzxxyyzzxxyzxyyzzxxyzyzxzxy 主應(yīng)力主應(yīng)力0)(2)()(22222223xyzzxyyzxz

7、xyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyx032213JJJ)(2)(222322221xyzzxyyzxzxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxJJJ應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)特征方程特征方程解得三個(gè)根即主應(yīng)力解得三個(gè)根即主應(yīng)力1，2和和310)(0)(0)(222nmlnmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx解得三個(gè)根即主方向解得三個(gè)根即主方向l、m、n。主應(yīng)力主應(yīng)力513162324ij0546015230)66)(9(233 33 9321155641zyxJ60914)203024()(2222zxyzxyxzzyyxJ54420661205131623243J主應(yīng)力主應(yīng)力

8、(49)2302(69)03(59)0lmnlmnlmn33 33 9321-52302 -303-40lmnlmnlmn513162324ij0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzzyyxyzxyxx2221lmn主應(yīng)力主應(yīng)力3 3、應(yīng)力不變量、應(yīng)力不變量 對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài),只有一組只有一組(三個(gè)三個(gè))主應(yīng)力數(shù)值主應(yīng)力數(shù)值,即即J1,J2,J3是不變量是不變量,不隨著坐標(biāo)軸的變換而發(fā)生變化。所以不隨著坐標(biāo)軸的變換而發(fā)生變化。所以J1,J2,J3分分別被稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。別被稱為應(yīng)力張量的第一、第二、第三不變量。032213JJJ主應(yīng)力主

9、應(yīng)力4 4、主軸坐標(biāo)系統(tǒng)、主軸坐標(biāo)系統(tǒng)以主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的坐標(biāo)系統(tǒng)：以主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸的坐標(biāo)系統(tǒng)：232221222)(2nmlnlmnlmnmlzxyzxyzyx22322212232222212232221222)(nmlnmlSSSS321000000ij2322212332211)()()(,mnlSmSnSlS應(yīng)力橢球體應(yīng)力橢球體1 1、應(yīng)力橢球體、應(yīng)力橢球體332211,SnSmSl1 222nml又1232322222121SSS112233,Sl Sm Sn橢球面方程，其主半軸的長(zhǎng)度分別為1，2，3。稱應(yīng)力橢球 面。它是任意斜面全應(yīng)力矢量S端點(diǎn)的軌跡。應(yīng)力橢球體應(yīng)力橢球體2 2、應(yīng)

10、力狀態(tài)的分類應(yīng)力狀態(tài)的分類a）若）若1230三向應(yīng)力狀態(tài)。三向應(yīng)力狀態(tài)。b）若）若120,3=0二向應(yīng)力狀態(tài)。二向應(yīng)力狀態(tài)。d）若若12=3圓柱應(yīng)力狀態(tài)（包括單向應(yīng)力狀態(tài)）。圓柱應(yīng)力狀態(tài)（包括單向應(yīng)力狀態(tài)）。 1 的的方向均為主方向。方向均為主方向。e）若若1=2=3球應(yīng)力（靜水應(yīng)力）狀態(tài)。球應(yīng)力（靜水應(yīng)力）狀態(tài)。0,各方向均各方向均為主方向。為主方向。c）若若10;2=3=0單向應(yīng)力狀態(tài)。單向應(yīng)力狀態(tài)。主應(yīng)力簡(jiǎn)圖主應(yīng)力簡(jiǎn)圖 受力物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，可用作用在應(yīng)力單元體上的主應(yīng)力來(lái)描述，只用主應(yīng)力的個(gè)數(shù)及符號(hào)來(lái)描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的簡(jiǎn)圖稱為主應(yīng)力圖。一般，主應(yīng)力圖只表示出主應(yīng)力的個(gè)數(shù)及正、負(fù)號(hào)，

11、并不表明所作用應(yīng)力的大小。應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的分解平均應(yīng)力平均應(yīng)力:3)(31)(311321Jzyxmm 為為不變量不變量,與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。三個(gè)正應(yīng)力分量可寫(xiě)成：與坐標(biāo)無(wú)關(guān)。三個(gè)正應(yīng)力分量可寫(xiě)成：mzmmzzmymmyymxmmxx)()()(mijijmmmmzzyzxyzmyyxxzxymxzzyzxyzyyxxzxyxij000000mij應(yīng)力球張量，表示球應(yīng)力狀態(tài)（靜水應(yīng)力狀態(tài)），只產(chǎn)生應(yīng)力球張量，表示球應(yīng)力狀態(tài)（靜水應(yīng)力狀態(tài)），只產(chǎn)生體積變形，不產(chǎn)生形狀變形，任何切面上的切應(yīng)力都為零，體積變形，不產(chǎn)生形狀變形，任何切面上的切應(yīng)力都為零，各方向都是主方向。各方向都是主方向。ij應(yīng)力偏張量，引起形狀變形，不產(chǎn)生體積變形，切應(yīng)應(yīng)力偏張量，引起形狀變形，不產(chǎn)生體積變形，切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大正應(yīng)力及主軸同原力分量、主切應(yīng)力、最大正應(yīng)力及主軸同原ij，二階對(duì)稱二階對(duì)稱張量，同樣存在三個(gè)不變量張量，同樣存在三個(gè)不變量J1 ,J2 ,J3 應(yīng)力張量的分解應(yīng)力張量的