1、2012年中考第二輪專題復習八：與二次函數有關的動點問題1.（2011甘肅省蘭州市）如圖所示，在平面直角坐標系X0Y中，正方形OABC的邊長為2cm，點A、C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線經過點A、B和D（4，）.（1）求拋物線的表達式.（2）如果點P由點A出發沿AB邊以2cm/s的速度向點B運動，同時點Q由點B出發，沿BC以1cm/s的速度向點C運動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設S=().試求出S與運動時間t之間的函數關系式，并寫出t的取值范圍；當S取時，在拋物線上是否存在點R，使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標；如果不存

2、在，請說明理由.（3）在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標.考點：二次函數綜合題；待定系數法求一次函數解析式；二次函數圖象上點的坐標特征；待定系數法求二次函數解析式；勾股定理；平行四邊形的性質。專題：計算題。分析：（1）設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，求出A、B、D的坐標代入即可；（2）由勾股定理即可求出，假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形，求出P、Q的坐標，再分為三種情況：A、B、C即可根據平行四邊形的性質求出R的坐標（3）A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，求出直線BD的解析式，把拋物

3、線的對稱軸x=1代入即可求出M的坐標解答：（1）解：設拋物線的解析式是y=ax2+bx+c，當x=0時，y=2，點A的坐標是（0，2），正方形的邊長2，B的坐標（2，2），把A（0，2），B（2，2），D（4，）代入得：且，解得a=，b=，c=2拋物線的解析式為：，答：拋物線的解析式為：（2）解：由圖象知：PB=22t，BQ=t，S=PQ2=PB2+BQ2，=（22t）2+t2，即S=5t28t+4（0t1）答：S與運動時間t之間的函數關系式是S=5t28t+4，t的取值范圍是0t1解：假設存在點R，可構成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形S=5t28t+4（0t1），當S=時，5t28t+4

4、=，得20t232t+11=0，解得t=，t=（不合題意，舍去），此時點P的坐標為（1，2），Q點的坐標為（2，）若R點存在，分情況討論：【A】假設R在BQ的右邊，這時QR=PB，RQPB，則R的橫坐標為3，R的縱坐標為，即R（3，），代入，左右兩邊相等，這時存在R（3，）滿足題意；【B】假設R在BQ的左邊，這時PR=QB，PRQB，則：R的橫坐標為1，縱坐標為，即（1，），代入，左右兩邊不相等，R不在拋物線上；【C】假設R在PB的下方，這時PR=QB，PRQB，則：R（1，）代入，左右不相等，R不在拋物線上（1分）綜上所述，存點一點R（3，）滿足題意答：存在，R點的坐標是（3，）（3）解：如

5、圖，MB=MA，A關于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，設直線BD的解析式是y=kx+b，把B、D的坐標代入得：，解得：k=，b=，y=x，拋物線的對稱軸是x=1，把x=1代入得：y=M的坐標為（1，）；答：M的坐標為（1，）點評：本題主要考查了用待定系數法求一次函數和二次函數的解析式，勾股定理，平行四邊形的性質，二次函數圖象上點的坐標特征等知識點，解此題的關鍵是綜合運用這些知識進行計算此題綜合性強，是一道難度較大的題目2.（2011廣東省清遠市）如圖，拋物線y(x1)2k 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C (0，3)xyOCAB（1）求拋物線的對稱

6、軸及k的值；（2）拋物線的對稱軸上存在一點P，使得PAPC的值最小，求此時點P的坐標；（3）點M是拋物線上一動點，且在第三象限 當M點運動到何處時，AMB的面積最大？求出AMB的最大面積及此時點M的坐標； 當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標 【答案】（1）拋物線的對稱軸為直線x1，把C (0，3)代入y(x1)2k得31k k4（2）連結AC，交對稱軸于點P y(x1)24 令y0 可得(x1)240xyOCABPx11 x23A (3，0) B (1，0)設直線AC的關系式為：ym xb把A (3，0)，C (0，3)代入ym xb得，

7、3mb0 b3 m1線AC的關系式為yx3當x1時，y132P (1，2) 當M點運動到何處時，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時點M的坐標xyOCABM（3） 設M的坐標為（x, (x1)24） SAMBABym44(x1)282(x1)2當x1時，S最大，最大值為S8M的坐標為(1，4) 過M作x軸的垂線交于點E，連接OM，S四邊形AMCBSAMOSCMOSCBOAB|ym|CO|xm|OCBO6 (x1)23(x)31x2 x6（x23x9）（x）2當x 時，S最大，最大值為ADPO1MNCBxy13題3.（2011河北省）如圖，在平面直角坐標系中，點P從原點O

8、出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t秒（t0），拋物線y=x2bxc經過點O和點P.已知矩形ABCD的三個頂點為A（1，0）、B（1，5）、D（4，0）.求c、b（用含t的代數式表示）；當4t5時，設拋物線分別與線段AB、CD交于點M、N. 在點P的運動過程中，你認為AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出AMP的值； 求MPN的面積S與t的函數關系式，并求t為何值時，S=；（3）在矩形ABCD的內部（不含邊界），把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”.若拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍.考點：二次函數綜合題。分析：（1）由拋物線y=x2+b

9、x+c經過點O和點P，將點O與P的坐標代入方程即可求得c，b；（2）當x=1時，y=1t，求得M的坐標，則可求得AMP的度數，由S=S四邊形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM，即可求得關于t的二次函數，列方程即可求得t的值；（3）根據圖形，即可直接求得答案解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=t；（2）不變如圖6，當x=1時，y=1t，故M（1，1t），tanAMP=1，AMP=45；S=S四邊形AMNPSPAM=SDPN+S梯形NDAMSPAM=（t4）（4t16）+（4t16）+（

10、t1）3（t1）（t1）=t2t+6解t2t+6=，得：t1=，t2=，4t5，t1=舍去，t=（3）t點評：此題考查了二次函數與點的關系，以及三角形面積的求解方法等知識此題綜合性很強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合4.（2011湖北省施恩自治州）如圖，在平面直角坐標系中，直線：與軸交于點，與軸交于點，拋物線過點、點，且與軸的另一交點為，其中0，又點是拋物線的對稱軸上一動點（1）求點的坐標，并在圖1中的上找一點，使到點與點的距離之和最小；（2）若周長的最小值為，求拋物線的解析式及頂點的坐標；（3）如圖2，在線段上有一動點以每秒2個單位的速度從點向點移動(不與端點、重合)，過點作交軸于點,設

11、移動的時間為秒，試把的面積表示成時間的函數，當為何值時，有最大值，并求出最大值； （4）在（3）的條件下，當時，過作軸的平行線交拋物線于、兩點，問：過、三點的圓與直線能否相切于點？請證明你的結論（備用圖圖3）第4題圖2第4題圖1第4題圖3考點：二次函數綜合題。分析：（1）由題意A、B點關于拋物線對稱，則BC所在直線與對稱軸的交點即為P0；（2）由（1）所求可知該題周長最小即為 AC+BC的長，從而求出x0，而解得；（3）由在三角形OBC三角形CMN，得到高關于t的式子，因為MHBC，得到三角形MHP0三角形底邊關于t的表達式，根據t的取值范圍，從而求得S的最大值（4）把S的取值代入（3）中表達

12、式中求得t，從而得到點M的坐標，從而證明各點解答：解：（1）由題意直線AC與x軸的交點為A，所以當y=0，則x=6，所以點A（6，0）同理點C（0，8），由題意，A、B是拋物線y=ax2+bx+8與x軸的交點，6，x0是一元二次方程ax2+bx+8=0的兩個根，6+x0=，6x0=，a=，b=+A、B點關于拋物線對稱，BC所在直線與對稱軸的交點即為P0設直線BC的解析式為y=mx+n，則n=8，mx0+n=0，m=，n=8BC的解析式為y=x+8當x=時，y=+4，P0的坐標為（，+4）；（2）由（1）可知三角形PAC最小即為AC+BC=10，+=10，解得x0=10或x0=10（不符舍去），

13、則點B（10，0），由點A，B，C三點的二次函數式為y=（x2）2+頂點N（2，）；（3）如圖，作MNBC與N，則在三角形OBC三角形CMN，所以，即h=因為MHBC，所以，解得MH=，S=，因為每秒移動2個單位，則當t=2時符合范圍0t4，所以當t為2時S最大；（4）把S的取值代入（3）中表達式中求得t，從而得到點M的坐標，即則解得t=2，則由題意知CEF三點所在圓半徑為4，所以直線CN與CFE所在圓相切點評：本題考查了二次函數的綜合應用，知道三點求二次函數式，考查一次函數與二次函數的結合求三角形面積，知道面積求點，很好結合，是道好題5.（2011湖北省仙桃、潛江、天門、漢江油田）在平面直角

14、坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CHx軸于點H.（1）直接填寫：= ，b= ，頂點C的坐標為 ；（2）在軸上是否存在點D，使得ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQAC于點Q，當PCQ與ACH相似時，求點P的坐標. ABHCABHC（備用圖）5.解：（1），頂點C的坐標為（-1，4）3分（2）假設在y軸上存在滿足條件的點D, 過點C作CEy軸于點E.EC由CDA=90得，1+2=90. 又2+3=90，3=1. 又CED=DOA =90，1CED

15、 DOA，.HBA23設D（0，c），則.變形得，解之得.綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC為斜邊的直角三角形. 7分（3）若點P在對稱軸右側（如圖），只能是PCQCAH，得QCP=CAH.延長CP交x軸于M，AM=CM， AM2=CM2.設M（m，0），則( m+3)2=42+(m+1)2，m=2，即M（2，0）.設直線CM的解析式為y=k1x+b1，則， 解之得，.直線CM的解析式.8分聯立，解之得或(舍去).9分 若點P在對稱軸左側（如圖），只能是PCQACH，得PCQ=ACH.過A作CA的垂線交PC于點F，作FNx軸于點N. 由CFACAH得，由FNAA

16、HC得. , 點F坐標為（-5,1）. 10分設直線CF的解析式為y=k2x+b2，則，解之得.直線CF的解析式. 11分聯立 ，解之得 或 (舍去). . PABHCQM（圖）PABHCQFN（圖）滿足條件的點P坐標為或 12分6.（2011浙江省寧波市）如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（-2,2），點B的坐標為（6，6）,拋物線經過A、O、B三點，連結OA、OB、AB，線段AB交y軸于點E，（1）求點E的坐標（2）求拋物線的函數解析式（3）點F為線段OB上的一個動點（不與點O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點（點N在y軸右側），連結ON、BN，當點F在線段OB上運動時，求BON面積的最大值，并求出此時點N的坐標（4）連結AN，當BON面積最大時，在坐標平面內求使得BOP與OAN相似（點B、O、P分別與點O、A、N對應）的點P的坐標。6解：(1) 設 將點代入得 得 當時， 3分（2）設拋物線的函數解析式為， 將代入得 解得拋物線的解析式為 6分（3）過點作軸的垂線，垂足為，交OB于點Q，過作軸于，設，則則 7分 當時，BON 面積最大，最大值為， 8分此時點的坐標為 9分（4）解：過點A作ASG