1、常數項級數常數項級數函數項級數函數項級數一一般般項項級級數數正正項項級級數數冪級數冪級數三角級數三角級數收收斂斂半半徑徑R R泰勒展開式泰勒展開式數或函數數或函數函函 數數數數任任意意項項級級數數傅氏展開式傅氏展開式傅氏級數傅氏級數泰勒級數泰勒級數0)(xR為常數為常數nu)(xuunn為為函函數數滿足狄滿足狄 氏條件氏條件0 xx 取取在收斂在收斂 級數與數級數與數條件下條件下 相互轉化相互轉化 1nnu一、主要內容一、主要內容 nnnuuuuu32111 1、常數項級數、常數項級數 常常數數項項級級數數收收斂斂( (發發散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) ). . nii

2、nnuuuus121級數的部分和級數的部分和定義定義級數的收斂與發散級數的收斂與發散性質性質1 1: : 級數的每一項同乘一個不為零的常數級數的每一項同乘一個不為零的常數, ,斂散性不變斂散性不變. .性質性質2 2: :收斂級數可以逐項相加與逐項相減收斂級數可以逐項相加與逐項相減. .性質性質3 3: :在級數前面加上有限項不影響級數的斂在級數前面加上有限項不影響級數的斂散性散性.性質性質4 4: :收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂收斂級數加括弧后所成的級數仍然收斂于原來的和于原來的和. . 0lim nnu級數收斂的必要條件級數收斂的必要條件:收斂級數的基本性質收斂級數的基本性質常數項級

3、數審斂法常數項級數審斂法正正 項項 級級 數數任意項級數任意項級數1.2.4.充要條件充要條件5.比較法比較法6.比值法比值法7.根值法根值法4.絕對收斂絕對收斂5.交錯級數交錯級數(萊布尼茨定理萊布尼茨定理)3.按基本性質按基本性質;,則則級級數數收收斂斂若若SSn;, 0,則級數發散則級數發散當當 nun一般項級數一般項級數4.絕對收斂絕對收斂定義定義0,1 nnnuu.有有界界部部分分和和所所成成的的數數列列正正項項級級數數收收斂斂ns2 2、正項級數及其審斂法、正項級數及其審斂法審斂法審斂法(1) (1) 比較審斂法比較審斂法若若 1nnu收收斂斂( (發發散散) )且且)(nnnnv

4、uuv , ,則則 1nnv收收斂斂( (發發散散) ). .(2) (2) 比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式設設 1nnu與與 1nnv都是正項級數都是正項級數,如果如果lvunnn lim,則則(1) 當當 l0時時,二級數有相同的斂散性二級數有相同的斂散性; (2) 當當0 l時，若時，若 1nnv收斂收斂,則則 1nnu收斂收斂; (3) 當當 l時時, 若若 1nnv發散發散,則則 1nnu發散發散;設設 1nnu為為正正項項級級數數,如如果果0lim lnunn (或或 nnnulim),則則級級數數 1nnu發發散散;如如果果有有1 p, 使使得得npnun lim存存在

5、在,則則級級數數 1nnu收收斂斂.( (3 3) ) 極極限限審審斂斂法法( (4 4) ) 比比值值審審斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )設設 1nnu是正項級數是正項級數,如果如果)(lim1 數或數或nnnuu則則1 時時級級數數收收斂斂;1 時時級級數數發發散散; 1 時時失失效效.(5) (5) 根值審斂法根值審斂法 ( (柯西判別法柯西判別法) )設設 1nnu是正項級數是正項級數, ,如果如果 nnnulim)( 為數或為數或 , ,則則1 時級數收斂時級數收斂; ; 1 時級數發散時級數發散; ;1 時失

6、效時失效. .定義定義 正正 、負項相間的級數稱為交錯級數、負項相間的級數稱為交錯級數. . nnnnnnuu 111)1()1(或或萊萊布布尼尼茨茨定定理理 如如果果交交錯錯級級數數滿滿足足條條件件: :( () ), 3 , 2 , 1(1 nuunn; ;( () )0lim nnu, ,則則級級數數收收斂斂, ,且且其其和和1us , ,其其余余 項項nr的的絕絕對對值值1 nnur. .)0( nu其中其中3 3、交錯級數及其審斂法、交錯級數及其審斂法定義定義 正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.定定理理 若若 1nnu收收斂斂,則則 1nn

7、u收收斂斂.定定義義: :若若 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 0nnu為為絕絕對對收收斂斂; ;若若 1nnu發發散散, ,而而 1nnu收收斂斂, , 則則稱稱 1nnu為為條條件件收收斂斂. .4 4、任意項級數及其審斂法、任意項級數及其審斂法5 5、函數項級數、函數項級數(1) (1) 定義定義設設),(,),(),(21xuxuxun是是定定義義在在RI 上上的的函函數數, ,則則 )()()(211xuxuxunn稱稱為為定定義義在在區區間間I上上的的( (函函數數項項) )無無窮窮級級數數. .(2) (2) 收斂點與收斂域收斂點與收斂域如如果果Ix 0,數數項項級級數數 10

8、)(nnxu收收斂斂,則則稱稱0 x為為級級數數)(1xunn 的的收收斂斂點點, ,否則稱為否則稱為發散點發散點. .所所有有發發散散點點的的全全體體稱稱為為發發散散域域. .函函數數項項級級數數)(1xunn 的的所所有有收收斂斂點點的的全全體體稱稱為為收收斂斂域域, ,(3) (3) 和函數和函數在收斂域上在收斂域上, ,函數項級數的和是函數項級數的和是x的函數的函數)(xs, ,稱稱)(xs為函數項級數的為函數項級數的和函數和函數. .(1) (1) 定義定義形形如如nnnxxa)(00 的的級級數數稱稱為為冪冪級級數數.,00時時當當 x其其中中na為為冪冪級級數數系系數數.6 6、

9、冪級數、冪級數nnnxa 0如如果果級級數數 0nnnxa在在0 xx 處處發發散散, ,則則它它在在滿滿足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x處處發發散散. .定定理理 1 1 ( (A Ab be el l 定定理理) )如果級數如果級數 0nnnxa在在)0(00 xxx處收斂處收斂, ,則則它在滿足不等式它在滿足不等式0 xx 的一切的一切x處絕對收斂處絕對收斂; ;(2) (2) 收斂性收斂性如如果果冪冪級級數數 0nnnxa不不是是僅僅在在0 x一一點點收收斂斂, ,也也不不是是在在整整個個數數軸軸上上都都收收斂斂, ,則則必必有有一一個個完完全全確確定定的的正正數數R存存在在,

10、 ,它它具具有有下下列列性性質質: :當當Rx 時時, ,冪冪級級數數絕絕對對收收斂斂; ;當當Rx 時時,冪冪級級數數發發散散;當當RxRx 與與時時, ,冪冪級級數數可可能能收收斂斂也也可可能能發發散散. .推論推論定義定義: : 正數正數R稱為冪級數的稱為冪級數的收斂半徑收斂半徑.冪級數的收斂域稱為冪級數的冪級數的收斂域稱為冪級數的收斂區間收斂區間.定理定理 2 2 如果冪級數如果冪級數 0nnnxa的所有系數的所有系數0 na,設設 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 則則當當0 時時, 1R;(3) 當當 時時,0 R.(2) 當當0 時時, R;a.a.代數運算性質

11、代數運算性質: : 加減法加減法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的的收收斂斂半半徑徑各各為為和和設設 (3)(3)冪級數的運算冪級數的運算乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 除法除法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc)0(0 nnnxb收收斂斂域域內內b.b.和函數的分析運算性質和函數的分析運算性質: : 冪冪級級數數 0nnnxa的的和和函函數數)(xs在在收收斂斂區區間間),(RR 內內連連續續,在在

12、端端點點收收斂斂,則則在在端端點點單單側側連連續續. 冪冪級級數數 0nnnxa的的和和函函數數)(xs在在收收斂斂區區間間),(RR 內內可可積積,且且對對),(RRx 可可逐逐項項積積分分. 冪級數冪級數 0nnnxa的和函數的和函數)(xs在收斂區間在收斂區間),(RR 內可導內可導, 并可逐項求導任意次并可逐項求導任意次.7 7、冪級數展開式、冪級數展開式 如如果果)(xf在在點點0 x處處任任意意階階可可導導,則則冪冪級級數數nnnxxnxf)(!)(000)( 稱稱為為)(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數數.nnnxnf 0)(!)0(稱稱為為)(xf在在點點0 x的的麥麥克克

13、勞勞林林級級數數.(1) 定義定義定定理理 )(xf在在點點0 x的的泰泰勒勒級級數數, ,在在)(0 xU 內內收收斂斂于于)(xf在在)(0 xU 內內0)(lim xRnn. .(2) 充要條件充要條件(3) 唯一性唯一性定定理理 如如果果函函數數)(xf在在)(0 xU 內內能能展展開開成成)(0 xx 的的冪冪級級數數, , 即即 nnnxxaxf)()(00 , ,則則其其系系數數 ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且且展展開開式式是是唯唯一一的的. .(3) 展開方法展開方法a.a.直接法直接法( (泰勒級數法泰勒級數法) )步驟步驟:;!)()1(0)(n

14、xfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討討論論).(xf斂斂于于則則級級數數在在收收斂斂區區間間內內收收b.b.間接法間接法 根據唯一性根據唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積逐項積分分等方法等方法,求展開式求展開式.),(!1! 2112 xxnxxenx )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x(4) 常見函數展開式常見函數展開式)1 , 1( x nxnnxxx!)1

15、()1(! 2)1(1)1(2 )1ln(x nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x(5) 應用應用a.a.近似計算近似計算b.b.歐拉公式歐拉公式,sincosxixeix ,2cosititeet ,2sinieetitit (1) (1) 三角函數系三角函數系,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx.,上上的的積積分分等等于于零零任任意意兩兩個個不不同同函函數數在在正正交交性性 , 0cos nxdx, 0sin nxdx三角函數系三角函數系8 8、傅里葉級數、傅里葉級數 nmnmnxdxmx, 0sinsin nmnmnxdxmx, 0c

16、oscos0cossin nxdxmx), 2 , 1,( nm其中其中(2) (2) 傅里葉級數傅里葉級數 10)sincos(2nnnnxbnxaa定義定義三角級數三角級數其中其中 ), 2 , 1(,sin)(1), 2 , 1 , 0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann稱為傅里葉級數稱為傅里葉級數. 10)sincos(2nnnnxbnxaa(3) (3) 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分條件充分條件( (收斂定理收斂定理) ) 設設)(xf是是以以 2為為周周期期的的周周期期函函數數.如如果果它它滿滿足足條條件件:在在一一個個周周期期內

17、內連連續續或或只只有有有有限限個個第第一一類類間間斷斷點點,并并且且至至多多只只有有有有限限個個極極值值點點,則則)(xf的的傅傅里里葉葉級級數數收收斂斂,并并且且(1) 當當x是是)(xf的連續點時的連續點時,級數收斂于級數收斂于)(xf;(2) 當當x是是)(xf的間斷點時的間斷點時, 收斂于收斂于2)0()0( xfxf;(3) 當當x為為端端點點 x時時,收收斂斂于于2)0()0( ff. 如如果果)(xf為為奇奇函函數數, 傅傅氏氏級級數數nxbnnsin1 稱稱為為正正弦弦級級數數.(4) (4) 正弦級數與余弦級數正弦級數與余弦級數 當當周周期期為為 2的的奇奇函函數數)(xf展

18、展開開成成傅傅里里葉葉 級級數數時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數數為為 ), 2 , 1(sin)(2), 2 , 1 , 0(00 nnxdxxfbnann 當當周周期期為為 2的的偶偶函函數數)(xf展展開開成成傅傅里里葉葉級級數數時時,它它的的傅傅里里葉葉系系數數為為), 2 , 1(0), 2 , 1 , 0(cos)(20 nbnnxdxxfann 如如果果)(xf為為偶偶函函數數, 傅傅氏氏級級數數nxaanncos210 稱稱為為余余弦弦級級數數.奇延拓奇延拓: 0)(000)()(xxfxxxfxF令令的傅氏正弦級數的傅氏正弦級數)(xf.sin)(1 nnnxbxf)0( x

19、(5) (5) 周期的延拓周期的延拓偶延拓偶延拓: 0)(0)()(xxfxxfxF令令的傅氏余弦級數的傅氏余弦級數)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( x式為式為則它的傅里葉級數展開則它的傅里葉級數展開的條件的條件滿足收斂定理滿足收斂定理的周期函數的周期函數設周期為設周期為,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 式式的的周周期期函函數數的的傅傅氏氏展展開開周周期期為為 l 2)6(), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2 , 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln二、典型例題二、典型例題;)1()1(:1

20、1 nnnnnnn判斷級數斂散性判斷級數斂散性例例1 1解解nnnnnnnnu)1(1 ,)11(21nnnn nnnnnnn122)11(lim)11(lim2 ; 10 exxnnxn11limlim ln1limexpxxx 1limexpxx ; 10 e, 01lim nnu根據級數收斂的必要條件，根據級數收斂的必要條件，原級數收斂原級數收斂;23cos)2(12 nnnn解解,223cos2nnnnnnu ,2nnnv 令令nnvvnnnnnn221limlim11 nnn21lim , 121 ,21收收斂斂 nnn根據比較判別法，根據比較判別法，原級數收斂原級數收斂 1).0(

21、)1()2ln()3(nnanan解解nanunnnnn1)2ln(limlim , )2ln(lim1nnna ,2,2nenn 時時從而有從而有,)2ln(1nnnn , 1lim nnn由由于于, 1)2ln(lim nnn.1limaunnn ,1100時時即即當當 aa原級數收斂；原級數收斂；,1110時時即即當當 aa原級數發散；原級數發散；,1時時當當 a,)11()2ln(1 nnnn原原級級數數為為,)11()2ln(lim nnnn原級數也發散原級數也發散斂？斂？是條件收斂還是絕對收是條件收斂還是絕對收斂？如果收斂，斂？如果收斂，是否收是否收判斷級數判斷級數 1ln)1(n

22、nnn例例解解,1ln1nnn ,11發散發散而而 nn,ln1ln)1(11發發散散 nnnnnnn即原級數非絕對收斂即原級數非絕對收斂,ln)1(1級級數數是是交交錯錯 nnnn由萊布尼茨定理：由萊布尼茨定理：xxnnxnlnlimlnlim , 01lim xx, 0ln11limln1lim nnnnnnn),0(ln)( xxxxf),1(011)( xxxf,), 1(上上單單增增在在 ,ln1單減單減即即xx ,1ln1時時單單減減當當故故 nnn),1()1ln()1(1ln11 nunnnnunn所以此交錯級數收斂，所以此交錯級數收斂，故原級數是條件收斂故原級數是條件收斂.)

23、1)(1(0斂斂域域及及和和函函數數收收求求級級數數 nnxn例例解解, 1)1)(1(0 Rxnnn斂斂半半徑徑為為的的收收, 111 x收收斂斂域域為為, 20 x即即則則有有設設此此級級數數的的和和函函數數為為),(xs.)1)(1()(0 nnxnxs兩邊逐項積分兩邊逐項積分 011)1(nxnx 011)1)(1()(nxnxdxxndxxs 01)1(nnx)1(11 xx,21xx 求導，得求導，得兩邊再對兩邊再對 x)21()( xxxs.)2(12x .1lnarctan)(2克勞林級數克勞林級數展開成麥展開成麥將將xxxxf 例例4 4解解,32)1ln(32 xxxx,)

24、1(32)1ln(216422 nxxxxxnn)11( x xdxxx0211arctan又又 xnndxxxxx02642)1(1 12)1(75312753nxxxxxnn)11( x 1210222)1(2112)1(1lnarctannnnnnnnxnxxxx故故 02202222)1(2112)1(nnnnnnnxnx.)22)(12()1(022 nnnnnx)11( x的的冪冪級級數數成成的的和和函函數數展展開開將將級級數數)1()!12(2)1(12111 xnxnnnn例例5 5解解設設法法用用已已知知展展開開式式來來解解的的展展開開式式，是是分分析析xnxnnnsin)!

25、12()1(1121 112111211)2()!12()1(2)!12(2)1(nnnnnnnxnnx2sin2x 211sin2 x21sin21cos221cos21sin2 xx 01202)21()!12()1(21cos2)21()!2()1(21sin2nnnnnnxnxn 01202)1()!12(2)1(21cos)1()!2(2)1(21sin2nnnnnnnnxnxn),( 形形函函數數，同同時時畫畫出出它它的的圖圖寫寫出出該該級級數數的的和和的的正正弦弦級級數數并并在在為為周周期期內內展展開開成成以以在在將將 2220cos xxx例例6 6解解,cos),(,sinc

26、os2), 0(cos)(1進行奇開拓進行奇開拓內對內對必須在必須在周期的正弦級數周期的正弦級數為為內展開成以內展開成以在在要將要將xnxbxxxfnn ),0 ,(cos, 00), 0(cos)(xxxxxxF令令 0sincos2nxdxxbn 0)1sin()1sin(1dxxnxn1)1(11)1(1111 nnnn mnnnmno2,)1(412,2)1( n, 0 na 012sin1xdxb, 0 12)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上級數的和函數為上級數的和函數為在在 22x ),2 ,()0 ,(cos2, 00),2(), 0(,cos)(xxxxxxs和函

27、數的圖形為和函數的圖形為xyo 2 2的的和和由由此此求求級級數數為為周周期期的的付付氏氏級級數數，并并以以內內展展開開成成將將函函數數 1212)11(2)(nnxxxf例例7 7解解,)11(2)(是是偶偶函函數數 xxxf 100)2(12dxxa, 5 101cos)2(12dxxnxan 10cos2xdxnx 10sin2xnxdn1)1(222 nn 12,42, 022knnkn), 2 , 1( k, 0 nb 122)12cos()12(4252kxkkx故故 122.)12()12cos(425kkxk)11( x, 0 x取取由上式得由上式得 122,)12(14252

28、kk 122,8)12(1kk 121212)2(1)12(11kknkkn而而,141)12(11212 kkkk3481212 nn.62 時時，當當證證明明：624cos2212 xxnnxn例例8 8解解,24)(2xxxf 設設上展開成余弦級數：上展開成余弦級數：在在將將, 0)( xf 020)24(2dxxxa)412(233 ,33 02cos)24(2dxnxxansin)22(sin)24(2002nxdxxnxxxn nxdxncos)22(202 222 n.12n )0(cos6241222 xnnxxn故故624cos2212 xxnnn一一、 選選擇擇題題: :1

29、 1、下下列列級級數數中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11nn； ( (B B) ) 11nnn； ( (C C) ) 1321nn； ( (D D) ) 1)1(nn. .2 2、下下列列級級數數中中, ,收收斂斂的的是是( ( ) ). . ( (A A) ) 11)45( nn； ( (B B) )11)54( nn； ( (C C) )111)45()1( nnn； ( (D D) ) 11)5445(nn. .測測 驗驗 題題3 3、下列級數中、下列級數中, ,收斂的是收斂的是( )( ) (A) (A) 1222) !(nnn； (B) (B)

30、1!3nnnnn； (C) (C) 22sin1nn ； (D) (D) 1)2(1nnnn. .4 4、部分和數列、部分和數列 ns有界是正項級數有界是正項級數 1nnu收斂的收斂的 ( ( ) ) (A)(A)充分條件；充分條件； (B) (B)必要條件；必要條件； (C)(C)充要條件；充要條件； (D) (D)既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件 . .5 5、設、設a為非零常數為非零常數, ,則當則當( )( )時時, ,級數級數 1nnra收斂收斂 . . (A) (A)1 r； (B) (B)1 r； (C) (C)ar ； (D) (D)1 r. .6 6、冪級數、冪級數

31、11)1()1(nnnnx的收斂區間是的收斂區間是( ).( ). (A) (A) )2 , 0(； (B) (B) )2 , 0； (C) (C) 2 , 0(； (D) (D) 2 , 0. .7 7、若冪級、若冪級 0nnnxa的收斂半徑為的收斂半徑為:1R 10R; ; 0nnnxb的收斂半徑為的收斂半徑為:2R 20R, ,則冪級數則冪級數 0)(nnnnxba的收斂半徑至少為的收斂半徑至少為( )( ) (A)(A)21RR ； (B) (B)21RR ； (C)(C) 21,maxRR； (D) (D) 21,minRR . .8 8、當、當0 R時時, ,級數級數21)1(nnknn 是是( )( ) (A) (A)條件收斂；條件收斂； (B) (B)絕對收斂；絕對收斂； (C) (C)發散；發散； (D) (D)斂散性與斂散性與值值無無關關k. .9 9、0lim nnu是是級級數數 1nnu收收斂斂的的( ( ) ) ( (A A) )充充分分條條件件； ( (B B) )必必要要條條件件； ( (C C) )充充要要條條件件； ( (D D) )既既非非充充分分又又非非必必要要條條件件 . .1 10 0、冪冪級級數數 1)1(nnxnn的的收收斂斂區區間間是是( ( )