1、2022年3月7日星期一1 第七章第七章 （Interrogate of constant term series）一、正項級數及其審斂法一、正項級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法二、交錯級數及其審斂法三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂四、小結與思考練習四、小結與思考練習2022年3月7日星期一2若若,0nu1nnu定理定理 1 正項級數正項級數1nnu收斂收斂部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若若1nnu收斂收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數列部分和數列nSnS有界有界, 故故nS1nnu從而從而又已知又已知故有界故有界.則稱則稱為為正項級數正項級數 .單調

2、遞增單調遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”(Interrogate of positive term series)2022年3月7日星期一32022年3月7日星期一4證證 根據比較審斂法可知所給級數也是收斂的根據比較審斂法可知所給級數也是收斂的 2022年3月7日星期一5pppn131211(常數常數 p 0)的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若, 1p因為對一切因為對一切,Zn而調和級數而調和級數11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級數級數11npnn1發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn1例例2 討論討論 p 級數級數2022年3月7日星期一6, 1p因為當因為

3、當nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強級數考慮強級數1121) 1(1ppnnn的部分和的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強級數收斂故強級數收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知 p 級數收斂級數收斂 .時時,1) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若2022年3月7日星期一7解解 2022年3月7日星期一8,1nnu1nnv,limlvunnn則有則有兩個級數同時收斂或發(fā)散兩個級數同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當當 l = 0 ,1收斂時且nnv;1也收斂nnu(3) 當當 l = ,

4、1發(fā)散時且nnv.1也發(fā)散nnu設兩正項級數設兩正項級數滿足滿足(1) 當當 0 l 時時,定理定理3 (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式)2022年3月7日星期一9解解 2022年3月7日星期一102022年3月7日星期一112022年3月7日星期一122022年3月7日星期一13nnnuu1lim由設設 nu為正項級數為正項級數, 且且,lim1nnnuu則則(1) 當當1(2) 當當1證證: (1),1時當11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂收斂 ,.收斂nu時時, 級數收斂級數收斂 ;或或時時, 級數發(fā)散級數發(fā)散 .,ZN知存在,時當Nn k)(由

5、比較審斂法可知由比較審斂法可知定理定理4 比值審斂法比值審斂法 ( D Alembert 判別法判別法)2022年3月7日星期一14,1時或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此因此所以級數發(fā)散所以級數發(fā)散.Nn 當時時nnuu11nuNu1lim1nnnuu說明說明: 當當時時, ,級數可能收斂也可能發(fā)散級數可能收斂也可能發(fā)散. .例如例如, , p 級數級數:11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但但, 1p級數收斂級數收斂 ;, 1p級數發(fā)散級數發(fā)散 .從而從而(2) 當當2022年3月7日星期一152022年3月7日星期一162022年3月7

6、日星期一17對任意給定的正數對任意給定的正數 ,limnnnu設設 1nnu為正項級為正項級,limnnnu則則;,1) 1(級數收斂時當 .,1)2(級數發(fā)散時當 證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時當,Nn 即即nnnu)()(分別利用上述不等式的左分別利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出結論正確可推出結論正確., )1(1111數數, 且且定理定理5 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法)2022年3月7日星期一18時時 , 級數可能收斂也可能發(fā)散級數可能收斂也可能發(fā)散 .1例如例如 , p 級數級數 :11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu 但但, 1p級

7、數收斂級數收斂 ;, 1p級數發(fā)散級數發(fā)散 .說明說明 :2022年3月7日星期一192022年3月7日星期一20則各項符號正負相間的級數則各項符號正負相間的級數nnuuuu1321) 1(稱為稱為交錯級數交錯級數 .定理定理6 ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯級數滿足條件若交錯級數滿足條件:則級數則級數; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項滿足其余項滿足.1nnur,2, 1,0nun設(Interrogate of staggered series)2022年3月7日星期一21證證: )()()

8、(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調遞增有界數列是單調遞增有界數列,nS212limuSSnn又又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級數收斂于故級數收斂于S, 且且,1uS :的余項nS0nu2nnSSr)(21nnuu21nnnuur1nu故故S2022年3月7日星期一22收斂收斂收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432收斂收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收斂上述級數各項取絕對值后所成的級數是否收

9、斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 用用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數的斂散性判別下列級數的斂散性:2022年3月7日星期一23定義定義 對任意項級數對任意項級數,1nnu若若若原級數收斂若原級數收斂, 但取絕對值以后的級數發(fā)散但取絕對值以后的級數發(fā)散, 則稱原級則稱原級111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂收斂 ,1nnu數數1nnu為條件收斂為條件收斂 .均為絕對收斂均為絕對收斂.例如例如 ：絕對收斂

10、絕對收斂 ；則稱原級則稱原級數數條件收斂條件收斂 .(Absolute convergence and conditional convergence)2022年3月7日星期一24證證: 設設1nnunv),2,1(n根據比較審斂法根據比較審斂法顯然顯然,0nv1nnv收斂收斂,收斂收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂也收斂)(21nnuu 且且nv,nu收斂收斂 ,令令定理定理7 絕對收斂的級數一定收斂絕對收斂的級數一定收斂 .2022年3月7日星期一252211sin(1);(2)( 1).nnnnnnne證證: (1)22sin1,nnn而而211nn收斂收斂 ,21s

11、innnn收斂收斂因此因此21sinnnn絕對收斂絕對收斂 .例例11 證明下列級數絕對收斂證明下列級數絕對收斂 :（補充題）（補充題）2022年3月7日星期一26(2) 令令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂收斂,絕對收斂絕對收斂.2022年3月7日星期一272022年3月7日星期一28其和分別為其和分別為 *定理定理8 絕對收斂級數不因改變項的位置而改變其和絕對收斂級數不因改變項的位置而改變其和. *定理定理9 ( 絕對收斂級數的乘法絕對收斂級數的乘法 ).S則對所有乘積則

12、對所有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級數按任意順序排列得到的級數也絕對收斂也絕對收斂,設級數設級數1nnv1nnu與與都絕對收斂都絕對收斂,S其和為其和為絕對收斂級數與條件收斂級數具有完全不同的性質絕對收斂級數與條件收斂級數具有完全不同的性質.說明說明: 條件收斂級數不具有這兩條性質條件收斂級數不具有這兩條性質. 2022年3月7日星期一291. 利用部分和數列的極限判別級數的斂散性利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2. 利用正項級數審斂法利用正項級數審斂法必要條件必要條件0limnnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審斂法 limn1nunu根值審斂法根值審斂法nn

13、nulim1收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限12022年3月7日星期一30為收斂級數為收斂級數1nnu設Leibniz判別法判別法:01nnuu0limnnu則交錯級數則交錯級數nnnu1) 1(收斂收斂概念概念:,1收斂若nnu1nnu稱絕對收斂絕對收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂條件收斂1nnu稱3. 任意項級數審斂法任意項級數審斂法2022年3月7日星期一31習題習題72 1-8思考練習思考練習1、設正項級數設正項級數1nnu收斂收斂, 能否推出能否推出12nnu收斂收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由由比較判斂法比較判斂法可知可知12nnu收斂收斂 .注意注意:反之不成立反之不成立.例如例如,121nn收斂收斂 ,11nn發(fā)散發(fā)散 .2022年3月7日星期一32),3,