1、 第一章§1 方程的導出。定解條件1細桿（或彈簧）受某種外界原因而產生縱向振動，以u(x,t)表示靜止時在x點處的點在時刻t離開原來位置的偏移，假設振動過程發生的張力服從虎克定律，試證明滿足方程 其中為桿的密度，為楊氏模量。證：在桿上任取一段，其中兩端于靜止時的坐標分別為 與。現在計算這段桿在時刻的相對伸長。在時刻這段桿兩端的坐標分別為：其相對伸長等于 令，取極限得在點的相對伸長為。由虎克定律，張力等于其中是在點的楊氏模量。設桿的橫截面面積為則作用在桿段兩端的力分別為于是得運動方程 利用微分中值定理，消去，再令得若常量，則得=即得所證。2在桿縱向振動時，假設(1)端點固定，(2)端點

2、自由，(3)端點固定在彈性支承上，試分別導出這三種情況下所對應的邊界條件。解：(1)桿的兩端被固定在兩點則相應的邊界條件為 (2)若為自由端，則桿在的張力|等于零，因此相應的邊界條件為 |=0 同理，若為自由端，則相應的邊界條件為 (3)若端固定在彈性支承上，而彈性支承固定于某點，且該點離開原來位置的偏移由函數給出，則在端支承的伸長為。由虎克定律有其中為支承的剛度系數。由此得邊界條件 其中特別地，若支承固定于一定點上，則得邊界條件。同理，若端固定在彈性支承上，則得邊界條件 即 3. 試證：圓錐形樞軸的縱振動方程為 其中為圓錐的高(如圖1)證：如圖，不妨設樞軸底面的半徑為1，則點處截面的半徑為：

3、所以截面積。利用第1題，得 若為常量，則得4. 絕對柔軟逐條而均勻的弦線有一端固定，在它本身重力作用下，此線處于鉛垂平衡位置，試導出此線的微小橫振動方程。解：如圖2，設弦長為，弦的線密度為，則點處的張力為且的方向總是沿著弦在點處的切線方向。仍以表示弦上各點在時刻沿垂直于軸方向的位移，取弦段則弦段兩端張力在軸方向的投影分別為其中表示方向與軸的夾角又 于是得運動方程 利用微分中值定理，消去，再令得。5. 驗證 在錐>0中都滿足波動方程證：函數在錐>0內對變量有二階連續偏導數。且 同理 所以 即得所證。6. 在單性桿縱振動時,若考慮摩阻的影響,并設摩阻力密度涵數(即單位質量所受的摩阻力)

4、與桿件在該點的速度大小成正比(比例系數設為b), 但方向相反,試導出這時位移函數所滿足的微分方程. 解: 利用第1題的推導,由題意知此時尚須考慮桿段上所受的摩阻力.由題設,單位質量所受摩阻力為,故上所受摩阻力為 運動方程為: 利用微分中值定理，消去,再令得 若常數，則得 若   §3混合問題的分離變量法1. 用分離變量法求下列問題的解：(1) 解：邊界條件齊次的且是第一類的，令得固有函數，且， 于是 今由始值確定常數及，由始值得 所以 當 因此所求解為 (2) 解：邊界條件齊次的，令 得： (1)及 。求問題(1)的非平凡解，分以下三種情形討論。時，方程的通解為 由得由得解

5、以上方程組，得，故時得不到非零解。時，方程的通解為由邊值得，再由得，仍得不到非零解。時，方程的通解為 由得，再由得 為了使，必須 ，于是 且相應地得到 將代入方程(2)，解得 于是 再由始值得容易驗證構成區間上的正交函數系：利用正交性，得 所以 2。設彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動，此時定解問題歸結為 求解此問題。解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，取，則滿足 ，令代入原定解問題，則滿足 滿足第一類齊次邊界條件，其相應固有函數為， 故設 將方程中非齊次項及初始條件中按展成級數，得其中 其中 將(2)代入問題(1)，得滿足解方程，得通解由始值，得 所以 因此所求解為 3用分離變量法求下面問題的解 解：邊界條件是齊次的，相應的固有函數為 設 將非次項按展開級數，得其中 將 代入原定解問題，得滿足方程的通解為由，得：由，得所以 所求解為 4用分離變量法求下面問題的解： 解：方程和邊界條件都是齊次的。令 代入方程及邊界條件，得 由