1、大學物理 (一) 力學主講:劉維一參考書：大學物理(新版) 上冊，吳百詩主編科學出版社大學物理（新版）學習指導，張孝林主編，科學出版社基礎知識：矢量： 有大小，有方向，加法符合平行四邊形法則微積分： 導數：求變化率的數學運算積分：求和的數學運算第一章質點運動學第一節質點的概念有質量，沒有體積質點是理想模型。忽略了物體的形狀、大小所產生的效果,突出了質量、位置和力三者之間的主要矛盾質點質點組剛體彈性振動波第二節位移矢量與運動學方程質點位置的確定方法：1、選定參照點2、從參照點到質點作一矢量用矢量即可確定質點的位置質點的運動學方程當質點在空間移動時，質點的位置矢量隨時間發生變化：這就是質點的運動學

2、方程直角坐標系下的運動學方程選擇直角坐標系oxyz分量形式：分別表示x，y，z三個方向，其大小為1。直角坐標系的特點：三個基矢量的方向不變。由質點的運動學方程可以得到質點的全部運動信息：軌跡、速度、加速度例：質點的運動學方程為：x=Rcos(t)y=Rsin(t)消去時間 t 即得到軌跡方程： X2y2R2r(t)r(t+t)r第三節由位移求速度和加速度（重點）位置矢量與位移矢量的方向速度是位移隨時間的變化率速度就是運動學方程對時間求導數運算在直角坐標系下：分量形式為：速度的大小：例題1、質點的運動學方程為：求：t0，1秒時的速度。解：加速度是速度隨時間的變化率加速度就是速度對時間求導數運算也

3、是運動學方程對時間求二階導數在直角坐標系下速度表示為：寫成分量形式為：加速度的大小：xytP(x,y)vvyvx書中的例題1.1, 1.4(P.6;P.15)一質點作勻速圓周運動，半徑為r，角速度為，求：直角坐標系中的運動學方程。運動學方程：x=Rcos(t)y=Rsin(t)消去時間t，得到軌跡方程：x2+y2=R2為圓周運動運動學方程對時間求導得速度：vx=-Rsin(t)=-Vsin(t)vy=Rcos(t)=Vcos(t)V=R速度的大小：V2= vx2+ vy2速度對時間求導得加速度：ax=- R2cos(t)ay=- R2sin(t)R2=( R22)/R=V2/R 向心加速度a2

4、= ax2 + ay2xyMABab書中例題：1.2, 1.6（p.7;p.17）（重點）直桿AB兩端可以分別在兩固定且相互垂直的直導線槽上滑動，已知桿的傾角t隨時間變化，其中為常量。求：桿中M點的運動學方程。解：運動學方程為：x=a cos(t)y=b sin(t)消去時間t得到軌跡方程：x2/a2 + y2/b2 = 1橢圓運動學方程對時間t求導數得速度：vxdx/dt-asin(t)vydy/dtbcos(t)速度對時間t求導數得加速度：axd vx/dta2cos(t)ayd vy/dtb2sin(t)加速度的大小：a2ax2ay2書中例題1.3, 1.5, 1.7（p.7;p.16;

5、p.18）已知：運動學方程：x 0.31t27.2t 28y 0.22t29.1t 30求：t15s時的位置矢量和方向。解：t15s時，x0.31×152+7.2×15+28=66y=0.22×1529.1×15+30=57r 66 i57j運動學方程對時間t求導數得速度：vxdx/dtd/dt(0.31t27.2t 28)-0.62t+7.2vydy/dtd/dt(0.22t29.1t 30)=0.44t9.1v (-0.62t+7.2)i(0.44t9.1)jt15s時，v (-0.62×15+7.2)i(0.44×159.1)j

6、2.1i2.5jv3.3 （m/s）速度對時間t求導數得加速度：axd vx/dtd/dt(-0.62t+7.2)0.62 (m/s2)ayd vy/dtd/dt(0.44t9.1)0.44 (m/s2)a-0.62i0.44ja0.76 （m/s2）第四節由加速度求速度、位移問：如果知道質點的加速度，能否確定質點的速度？實例：自由落體實驗：（1）自由下落；（2）上拋；（3）下拋已知質點的加速度和質點的初始速度，則可運用導數的逆運算不定積分初條件，確定出質點的速度。已知質點的速度和質點的初始位置，則可運用導數的逆運算不定積分初條件，確定出質點的運動學方程。如已知：axax（t），且tt0時，v

7、v0，xx0加速度求積分得速度：vxax（t）dtvx（t） C其中C為常數，由初條件確定。驗證：dvx（t） C)/dt dvx（t）/dtax由初條件確定C：當tt0時，vv0，帶入vx表達式：v0vx（t0） C得：Cv0vx（t0）vxvx（t） v0vx（t0）速度求積分得運動學方程：xvx（t） v0vx（t0）dt x（t）v0vx（t0）tC其中C為常數，由初條件確定。當tt0時，xx0，帶入x表達式： x0x（t0）v0vx（t0）t0C得：Cx0x（t0）v0vx（t0）t0xx（t）x0x（t0）v0vx（t0）（tt0）例題：已知：a1004t2，且t0時，v0，x0求

8、：速度v和運動學方程va dt（1004t2）dt100t4/3t3+Ct0時，v0，得：C0 v100t4/3t3x v dt（100t4/3t3）dt50t21/3t4+Ct0時，x0，得：C0 x50t21/3 t4第五節幾個簡單實例勻速直線運動a0，tt0時，vxvx0 ，xx0vx0 dtCtt0時，vxvx0 得 Cvx0vxvx0x vx0 dtvx0 t Ctt0時，xx0 得 Cx0vx0t0xx0vx0（tt0）勻變速直線運動ax常數a，tt0時，vxvx0 ，xx0vxa dta tCtt0時，vxvx0 得 Cvx0a t0vxvx0a（tt0）x （vx0 a t0a

9、t）dtvx0 t a t0 t1/2 a t2Ctt0時，xx0 得 Cx0vx0t01/2 a t02xx0vx0（tt0）1/2 a t02a t0 t1/2 a t2x0vx0（tt0）1/2 a （tt0）2拋物體運動取平面直角坐標系，ax0 ；aygt0時，v0xv0 cos ；v0yv0 sinx0；y0vx0dt Cx；vyg dtgtCyt0時，v0xv0 cos ；v0yv0 sinvxv0 cos；vyv0 singtxv0 cosdt；y（v0 singt）dtv0 costCx；v0 sint1/2gt2Cyt0時，x0；y0得：Cx0；Cy0 xv0 cost；yv

10、0 sint1/2gt2消去時間t得到軌跡方程：yx tg（g/2v02cos2）x2 為拋物線第六節典型習題習題指導P9. 1.4（重點）xh在湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過一高處的滑輪拉船靠岸，當繩子以v通過滑輪時，求：船速比v大還是比v小？若v不變，船是否作勻速運動？如果不是勻速運動,其加速度是多少？xLh解：l（h2x2）1/2當x>>h時，dx/dtv，船速繩速當x0時，dx/dt加速度：將代入得：分析：當xà, 作業：P.49：1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.24第一章補充內容（擴展內容）P平面極坐標系中的速度和加速度平面極坐標：質點P的位置用(r,

11、)表示。平面極坐標中基矢量：大小：1，方向：方向：大小：1，方向：與垂直方向平面極坐標的特點：基矢量的方向是隨著方向的變化而變化。平面極坐標中P點的位置矢量表示為： （1）其中r表示的大小，表示的方向。（1）式就是質點P的運動學方程。P點的速度：基矢量的導數：的大小：其中r1大小：方向：同理，的大小：其中r1大小：方向：由此得到：寫成分量形式：P點的加速度：寫成分量形式：例題R一質點沿半徑為R的圓周運動。求：t時刻質點的速度和加速度。解：選極坐標運動學方程：SR，S/R代入得： 法向加速度 切向加速度第二章 牛頓運動定律第一節牛頓的三個定律牛頓第一定律和第三定律作為自學內容。牛頓第二定律： F

12、ima寫成導數形式： 在直角坐標系下的分量形式：這種寫法的好處是數學關系明顯，對解決問題非常方便。第二節變力問題的處理方法（重點）力隨時間變化：Ff（t）在直角坐標系下，以x方向為例，由牛頓第二定律：且：tt0 時，vxv0 ；xx0則：直接積分得：其中c由初條件確定。由速度求積分可得到運動學方程：其中c2由初條件確定。例題：飛機著陸時受到的阻力為Fct，（c為常數）且t0時，vv0 。求：飛機著陸時的速度。解：根據牛頓第二定律：ctm dv / dt當t0時，vv0，代入得：v0c1力隨速度變化：Ff（v）直角坐標系中，x方向f（v）m dv dt經過移項可得：等式兩邊同時積分得：具體給出f

13、（v）的函數試就可進行積分運算。例題：（重點）質量為m的物體以速度v0投入粘性流體中，受到阻力fcv （c為常數）而減速，若物體不受其它力，求：物體的運動速度。解：根據牛頓第二定律： 移項變換： c/m dtdv/v 積分得： 由初條件定c1：當t0時，vv00lnv0c1 c1lnv0力隨位移變化：Ff（x）直角坐標系中，x方向：經過移項可得：f（x）dxmv dv等式兩邊同時積分得：例題：（重點）光滑的桌面上一質量為M，長為L的勻質鏈條，有極小一段被推出桌子邊緣。x求：鏈條剛剛離開桌面時的速度。解：鏈條所受的力F是個變力：Fm(x)g根據牛頓第二定律：第三節幾種常見的力M1M2R萬有引力與

14、重力萬有引力的大小： 其中M與M為兩質點的質量，R為兩質點間的距離，G為比例常數，稱為引力常數。萬有引力是所有物體之間都存在的引力。對于日常物品，萬有引力的作用非常小，以至于感受不到。天體之間萬有引力的作用就非常明顯了。海潮的漲落就是月亮和太陽的萬有引力作用形成的。在地球表面物體所受到的重力mg就是萬有引力。其中M是地球的質量，R是地球的半徑。彈性力物體受到外力作用會發生了形變，物體要恢復原來的形狀，便產生了彈性力。彈性力的方向一般是恢復形變的方向。物體相互接觸時所產生的相互作用力，實質就是彈性力。只是大多數物體的形變非常小，不被人們察覺。最典型的彈性作用力是彈簧的彈性力。fkx其中x表示彈簧

15、離開原長的距離，k為彈性系數，負號表示力的方向與x的方向相反。在以后的課程中，專門有一章詳細講解這個力的特征。摩擦力靜摩擦力：其大小和方向取決于其它力被動力大小：0 最大靜摩擦 fmax0 N，其中 0為靜摩擦系數，(無量綱)，N為物體接觸面間的正壓力。方向：與運動趨勢相反。如果靜摩擦力的方向分析錯了也沒關系，只是在最后的結果中有一個負號，表明與分析的方向相反。滑動摩擦力大小： f N其中 為滑動摩擦系數，(無量綱)N為物體接觸面間的正壓力。方向：與相對運動方向相反。非慣性參照系與慣性力慣性參照系：參照系本身沒有加速度。牛頓第二定律只適于慣性參照系。很多情況參照系具有加速度。實驗：汽車上一光滑

16、的桌面上放著一個小球。車靜止時：車上的人、桌、球相對靜止。車以加速度a運動時：車上的人、桌依然相對靜止，小球以a加速度運動。aa在車上的人看來，球在沒受力的情況下做加速。在地面上的人看來，球在原地沒動，只是車開走了。車上的人盡管相對車沒有動，但他能夠感覺到車加速。因為車作為參照系時，自身具有加速度，所以慣性定律不適用，故稱之為非慣性參照系。在非慣性系中，牛頓第二定律不適用了，要想繼續用牛頓第二定律，就必須在質點上加一個慣性力。F慣ma慣性力沒有施力者，故找不出其反作用力。人能夠感受到加速度。感受加速度的器官在內耳。例：有一個小球通過一根細線掛在車頂，當車靜止時小球鉛直向下，當車以加速度a開動時

17、與鉛垂線夾角。a求：加速度與之間的關系。解：在車上觀察，小車靜止。由于車有加速度a，Tmamg則小球受慣性力f慣ma。取直角坐標系oxyx：maT sin0y：T cosmg0ag tg愛因斯坦：當光線通過大質量物體附近時將彎曲。？太空靜止實驗室 太空以g加速度地球上的實驗室運動的實驗室 與太空中以g加 速度運動的實驗光線平直穿過 光線彎曲室相同以g加速度運動的實驗室光線彎曲的大小：距離：300公里，光速：300000公里/秒tx/v300/300000=10-3y=1/2 gt2=1/2 x9.8x10-6=5x10-6(米)5（微米）如何驗證愛因斯坦的結論？地球上質量最大的物體就上地球本身

18、，但也無法測出彎曲的距離。只有在天體中測量。未彎曲的光線地球月亮遙遠的恒星太陽彎曲的光線牛頓力學的適用范圍m0（微觀粒子）時，牛頓力學不適用，量子力學。Vc（速度接近光速）時，牛頓力學不適用，相對論n（大量粒子）時，牛頓力學不適用，統計力學典型例題書中例題 2.9（p76）（非質點問題的處理方法）試證明在圓柱形容器內，以勻角速度繞中心軸作勻速旋轉的流體表面為旋轉拋物面。xyNmg證明：這是一個典型的非質點問題。處理非質點問題的方法：在流體表面取一小的體元m，這一微小的體元可以看成質點。分析小體元受力：重力mg：垂直向下；支持力N：液體的其它部分對小體元作用力的合力。選坐標系：以容器中心與液面的

19、焦點為原點，選直角坐標系0xy，如圖x方向：N sinmx2 （向心加速度anx2）y方向：N cosmg兩式相除得：tan x2/g，運用導數的基本性質：tan dy/dx ，可得：等式兩邊同時積分，y：0y；x：0x得：典型的拋物線方程。書中例題P82，例2.14 (變質量，變力問題)長為L質量為M的均勻柔繩，盤繞在光滑的水平面上，從靜止開始，以恒定加速度a豎直向上提繩，當提起的高度為l時，作用在繩端力的大小是多少？當以恒定速度v豎直向上提繩，當提起的高度為l時，作用在繩端力的大小又是多少？解：隨著繩子不斷提升，被提起繩段的質量不斷增大，是典型的變質量問題。這時牛頓第二定律應寫成：這是牛頓

20、第二定律最正根的寫法。m和v都是變量，根據導數的運算法則：被提起繩段的質量為：m（M/L）y被提起繩段受力為：F (提繩的力)；mg (重力)根據牛頓第二定律：將m的表示式代入得：整理：dy/dtv; dv/dta移項： 上式中，v是未知量，由于加速度是常量：當y0時，v0，得到 c0， v22ay若以恒定速度v向上提，a0，v為常量，則：作業：P.90：2.12, 2.13, 2.15, 2.21第三章 功和能rF第一節功和功率功的定義：力F與位移r的標積：AF·rFr cos變力作功 （重點）質點在移動過程中，力在變，力與位移的夾角在變。解決變力作功問題的方法：取一無窮小的位移d

21、r，在dr移動過程中，F可看成是不變的，由此得到元功：dAF( r )·dr經過積分即可得到由r0到r1所作的功：在直角坐標系中：F( r )Fx i +Fyj+Fzk ；drdx i dy j dz kdAFx dx +Fy dy+Fzdz書中例題3.1 (P.95)已知：F6x；cos0.700.02x求：質點從x110m到x220m過程中F所作的功。解：dAF cos dx6x（0.700.02）dx積分得：合力作功質點受幾個力的作用FF1F2+Fn所作的功為：注意：F是矢量，F1F2+Fn是矢量和；A是標量，A1A2+An是標量和。矢量求和要用平行四邊形法則，標量求和就是代數

22、和。功率：單位時間內所作的功xyzmg第二節幾種常見力的功重力的功重力是恒定力，在直角坐標系下：Fx0； Fy0； Fzmg書中例題3.2 (p.98)yy/2一條長L，質量M的均勻柔繩，A端掛在天花板上，自然下垂，將B端沿鉛直方向提高到與A端同高處。求：該過程中重力所作的功。解：提升高度y時，提的鏈長y/2提起部分受的重力dy上的元功為：彈性力彈性力表示為：Fxkx （胡克定律）元功為：dAFx dxkx dx從x1到x2做的功為：這里要特別注意的是：x必須取彈簧的原長為0點。書中例題3.3 (p.99)非胡克定律的彈簧：Fkxax3，其中k、a均為常數。求：從x1到原長過程中，彈性力做的功

23、。補充例題：例1準靜態地提起一條長L，質量M的均勻柔繩，需要作多少功？解：單位長度繩的質量：M/L， x長度的繩子質量例2 習題3.5（P135），3.5）hHxdx蓄水池面積S，水深h，水面距地面H。求：抽出水需要作多少功？解：離地面x處，深dx的一層水的質量dmSdx，將dm水提到路面所需作的功：dAdm g x Sgxdx例3風力F作用于向北運動的船，風力方向變化的規律是：BS，其中S為位移，B為常數，為F與S間的夾角。如果運動中，風的方向自南變到東，求：風力作的功。解：元功：dAFdscos； 其中 BS積分限：風向由南變到東，則由0變到/2；S由0變到/2B小結：AFScos例1：F

24、變； 例2：S變； 例3：變書中例題3.12水平面內有一半徑為R的圓，在圓內離圓心O距離為S處有一質量M很大，了視為固定的力心O，力心對單位質量的有心引力為r，r為力心至質量為m的質點Q位矢的大小，質點Q被限制在圓周上運動。求：（1）質點Q從B點由靜止出發到r點有心力所做的功 （2）質點通過第二象限所經歷的時間SdRRd解：B（1）如果采用極坐標，有心力只有r分量，沒有分量，F=-mr如果將余弦定理帶入，兩個結果一樣。（2）由動能定理第三節動能定理質點的動能定理由牛頓第二定律： 等式兩邊同時標乘dr，則：等式兩邊同時積分得：力對質點作的功質點動能的增量動能定理注意：1動能是標量，是能力的一種表

25、現形式。2動能定理說明了作功與動能的關系。即：合力作正功時（A>0），質點動能增加；【加速】 合力作負功時（A<0），質點動能減少。【減速】3方程左邊的結果取決于F的具體函數形式，與力對質點的作用過程相關。功是過程量；方程右邊與過程無關，只由始末運動狀態確定。動能是狀態量。書中例題3.11（p111）（重點）長為L的勻質鏈條，一部分在水平桌面上，另一部分自然下垂。鏈條與水平面間靜摩擦因數為0，滑動摩擦因數為.y求：1）滿足什么條件時，鏈條開始滑動？2）若下垂部分長度為b時，鏈條開始滑動，當鏈條末端剛剛離開桌面時的速度是多少？解：1）最大拉力：b0g， 摩擦力：0(Lb0)gb0g

26、= 0(Lb0)g2)重力和摩擦力做的功分別為：根據動能定理：質點組的動能定理由n個質點組成的系統中，第i個質點所受的力：FiFi內Fi外Fi內：內力，質點組內質點與質點之間的相互作用力。Fi外：外力，質點組外的力對質點組內的質點的作用力。對第i個質點應用動能定理：對n個質點求和得：質點組的動能定理：注意：內力總是成對出現的，按照牛頓第三定律，這一對力的矢量和為0，但這一對力所作的功的和不一定為0。功是標量，其和為代數和。xyba第四節勢能保守力與非保守力力所作的功僅由質點的始末位置決定，與路徑無關，這種力稱為保守力。例：重力作的功：Fx0；Fymg質點由a移到b，重力作的功：從上式看到，從a

27、點到b點無論走哪條路徑，重力作的功都式一樣的。因為在水平移動時，重力不作功，只有垂直運動時，重力才作功。重力時保守力。彈簧的彈性力，萬有引力，庫倫力等都是保守力。 在一定空間內每一處的保守力的大小和方向都確定，這個空間就稱為保守力場。摩擦力是非保守力。拉著箱子走不同路徑時，摩擦力作功不相同。勢能在保守力場中，質點的始末位置一定，力作的功便確定。根據動能定理，作功的結果是使質點的動能發生變化。這說明在保守場中，兩點之間的能量不同，而且這一能量只與位置有關。當質點的位置改變時，這一能量便釋放出來，轉變成質點的動能。這就是保守場的勢能。勢能大小的確定：選空間上的一點M0為勢能0點；由空間上M點到勢能

28、0點M0過程中，保守力所作功的大小為該點的勢能。注意：勢能的大小由相對位置決定，沒有絕對大小；勢能0點的選取是任意的。對于彈簧的彈性勢能，勢能0點通常選彈簧的原長。i重力勢能：選地面為勢能0點，距地面高h處的勢能為：其中負號表示重力mg的方向與z軸的方向相反。ii彈簧的彈性勢能：選彈簧的原長位置為坐標原點，原長位置為勢能0點，彈簧由原點拉至x處的勢能：注意：因為彈性勢能與x2成正比，（x+x）2與x2x2不同，彈簧的勢能0點要選原長位置時，才有這么簡捷的表達式。而重力勢能與x成正比，重力勢能0點的選擇可以是任意的。當保守力作正功時，質點動能增加，勢能減少；【勢能動能】當保守力作負功時，質點動能

29、減少，勢能增加；【動能勢能】書中例題3.5（p103）mgN物體質量m，彈簧的勁度系數為k，自彈簧原長，無初速度加上物體。求：彈簧的最大壓縮量ymax。解：重力和彈簧的彈性力都是保守力。初：動能0；重力勢能mgymax，彈性勢能0末：動能0；重力勢能0，彈性勢能1/2 kymax2重力勢能轉換成彈性勢能mgymax1/2 kymax2ymax2mg/k在整個運動過程中，重力勢能減小，動能增加，彈性勢能增加；當Nmg時，物體受力為0，但這時物體具有動能，所以要繼續壓縮彈簧，直到動能為0，這時N>mg，物體在N的作用下往回運動，直到所有的彈性勢能轉換成重力勢能才停下來（動能為0）。物體在力的

30、平衡點處（Nmg）上下振動。勢能曲線與平衡穩定性由保守力可以求出勢能函數；同樣如果知道勢能函數也可以求出保守力：（以一維情況為例）保守力作的元功： dA保Fxdx保守力作正功，勢能減少；保守力作負功，勢能增加。dEdA保Fxdx由此可得： 質點在平衡位置處：Fx0，則dE/dx 0xEpX0xEpX0xEpX0穩定平衡不穩定平衡隨遇平衡dE/dx 0 dE/dx 0dE/dx 0第五節機械能守恒定律在保守力場中，質點由M1點運動到M2點保守力所作的功就是這兩點之間的勢能差：AEp1Ep2根據動能定理，保守力作功的結果是使質點的動能發生變化：由此得到：此式說明，在只有保守力作用時，質點的動能和勢

31、能可以互相轉換，但動能和勢能之和保守不變。動能與勢能的總和稱為機械能。上式即為機械能守恒定律。在有非保守力存在時，機械能就不守恒了。末狀態與初狀態機械能之差，就是非保守力作的功。A（Ek2Ep2）（Ek1Ep1）A非以上結論對質點組也依然適用。C書中例題3.15（p126）物體M懸于彈簧上，彈簧的彈性系數為k，彈簧的原長與圓環的半徑相等。B不計摩擦力求：物體自彈簧的原長無初速度的沿圓環滑至最低點B時所獲得的動能。解：不計摩擦力，所以圓環只起到約束的作用。重力和彈性力都是保守力。初：重力勢能mg（RRcos60o），彈性勢能0，動能0末：重力勢能0，彈性勢能1/2 kR2，動能Ek機械能末機械能

32、初Ek1/2 kR2mg（RRcos60o）Ek3/2 mgR1/2 kR2第六節能量守恒定律能量除了機械能以外還有很多種形式，如熱能，化學能，電能，核能等等。能量不能消失，也不能創造，只能從一種形式轉換成另一種形式。質量可以轉換成能量質能關系式：Emc2在核裂變時，裂變前后的質量不相等，有一部分質量轉換成能量。作業：p.136 3.6 3.11 3.17 3.19 第四章 動量和沖量第一節 質點動量定理動量牛頓第二定律： (1)牛頓原來的寫法： (2)(2)式的寫法比(1)式的寫法更具有普遍性。當m為常數時，(2)式由導數運算可得(1)式;當m為變量時，(1)式解決不了問題，但(2)式能解決

33、。Pmv就是大家非常熟悉的物理量動量(2)式可解釋成：力的效果是使質點的動量發生變化。力質點動量的變化率沖量由(2)式兩邊同乘dt可得：等式兩邊同時積分得：(3) 沖量的定義：注意：(1)沖量是矢量。沖量的方向：與力F的方向沒有必然聯系，它由F對時間的積分決定。元沖量dIFdt的方向與F的方向相同。(2) 沖量與力的作用過程有關，是過程量。沖量的大小：即與F(t)函數形式有關，還與時間間隔（積分限）有關。tFFF(t)t0t1在許多實際問題中，往往不知道F（t）的函數形式，或者F（t）根本不能用解析式表達出來，這時常用力對時間的平均值（平均力）來表示沖量。這實質是利用了數學分析中的中值定理。動

34、量定理(3)式即為動量定理的數學表達式。(4)在積分式中，F（t）的函數形式往往不知道，或者很復雜，甚至積分限t0與t1也很難確定，但其積分的結果卻是已知的。(4)式左邊與力的作用過程有關，即與F(t)和t0、t1有關；(4)式右邊與作用過程毫不相關狀態量動量只與質點的運動狀態有關，與力的作用過程無關，故稱其為狀態量。用語言表達(4)式：力對質點的作用過程的結果質點運動狀態的變化。反過來看，要使質點由一種運動狀態變到另一種運動狀態，可以有無窮多種過程來實現。使質點由P變到P，F大，則t小；F小，則t大；乒乓球（m小）； 籃球（m中）； 鉛球（m大）用拍打t小 先接后傳t大落地書中例題4.1（1

35、43）已知：m10kg，F大小如圖，摩擦系數0.2，v0=0F304t7求： t6s時木箱的速度。解：F的表達式：t00到t14s，F30N，t4s到7s，F7010t。t26s時，木箱的速度為v根據質點動量定理：將具體數值代入得：書中例題4.4（146）（重點）已知：質量為M，長為L的勻質鏈條，上端懸掛，下端剛和稱盤接觸，使鏈條自由下落。xL求：下落長度x時，稱的讀數。解： 稱的讀數 NmgFmg是落在稱上的鏈條的重量，F是鏈條下落時具有速度v的一小段與稱盤碰撞，速度由v變成0時給稱盤的沖力。根據動量守恒定律：Fdtdm v dm 0dmM/L dx, v22gx稱的讀數是落在稱盤上鏈條質量

36、的3倍。（參見P82，例題2.14）第二節 質點系動量定理內力與外力內力：系統內質點間的相互作用力。外力：系統外的物體對系統內質點的作用力。內力與外力的劃分沒有嚴格界線，根據研究對象而定。質點系動量定理系統（質點系）的動量：系統內各個質點動量的矢量和：對于由n個質點組成的系統中，每個質點所受的力有內力（質點間的相互作用力）fij和外力Fi。每個質點的動力學方程（牛頓第二定律）為： （5）將（5）式兩邊相加得：左：根據牛頓第三定律，f12f21， , f1nfn1內力總是成對出現的，并且為一對作用力與反作用力，所以內力相加的結果為0。左右= ， 此為系統的動量。（5）式為：式積分得：（7）和外力

37、的沖量系統動量的變化由（7）式看到，內力不改變系統的動量。（7）式為質點系的動量定理。第三節 質點系動量守恒定律當外力和為0時，（7）式為：（8）（8）式為質點系動量守恒定律一般情況下，外力為0的情況很少，但如果在某個方向上的投影為0的情況很多，根據動量的矢量性，在這個方向上質點系動量守恒。如： 則：注意：動量的概念是由牛頓第二定律引入的，牛頓第二定律只在一定條件下適用，而動量和動量守恒定律則不限于這個范圍。書中例題4.7 (p154)已知：長L4m，質量M150kg的船靜止在湖面上，人的質量m50kg，人從船頭走到船尾。不計水的阻力。Ss求：人和船相對岸各移動的距離。解：人與船組成系統。MV

38、mvS和s分別表示船和人相對岸移動的距離，得：MSsmSsL將 SLs 代入 得sLS413（m）hHvrV書中例題4.8 (p155)在水平方向外力為0，水平方向的動量守恒。mvxMV0系統沒有耗散力，機械能守恒。選水平面為重力勢能0點：其中vr2vx2vy2vxvrcosV ；vyvrsin可得：碰撞問題：（1）完全彈性碰撞：動量守恒，動能守恒。質量 碰前 碰后m1，m2v10，v20；v1，v2動量守恒： m1 v1m2 v2m1 v10 m2 v20動能守恒： 1/2 m1v12+1/2m2v22=1/2m1v102+1/2m2v202兩個未知數，兩個方程，解得：（2）完全非彈性碰撞：

39、動量守恒，動能不守恒。質量 碰前 碰后m1，m2v10，v20；v （共同速度）動量守恒： （m1m2 ）v2m1 v10 m2 v20（3）非完全非彈性碰撞：動量守恒，動能不守恒。質量 碰前 碰后m1，m2v10，v20；v1，v2動量守恒： m1 v1m2 v2m1 v10 m2 v20回復系數： 兩個未知數，兩個方程，有解。從以上三種碰撞情況看到，動量總是守恒的，動量守恒的實質是作用力等于反作用力。書中例題4.10 (P157)質量為M的園盤，懸掛在彈性系數為k的輕彈簧下端，有一質量為m的圓環從離園盤高h處自由下落，與園盤做完全非彈性碰撞，碰撞時間很短，此后盤與環一起下降，試求下降的最大

40、距離l2 。解：因為有完全非彈性碰撞過程，所以整個過程機械能不守恒。整個過程分為3個過程：（1）圓環自由下落（勢能變動能）；（2）完全非彈性碰撞（動量守恒）；（3）機械能守恒。第一過程：自由下落碰前的速度：mgh1/2 mv2 ，第二過程：完全非彈性碰撞園盤受重力（Mm）g和彈簧的彈性力F，這兩個力都是有限大小的力，碰撞過程的作用時間極短t0，這兩個力的沖量（Mm）gt0；Ft0，因此滿足動量守恒條件。mv（mM）V第三過程：機械能守恒彈簧的勢能0點選彈簧的原長l0。重力勢能0點選最大拉伸長度l2。初始：終了：碰前拉伸長度：Mgkl1； （l1l2）彈性勢能：1/2 k l12；1/2 k（

41、l1l2）2；重力勢能：（mM）g l2； 0動能：1/2（mM）V2；0根據機械能守恒定律：將l1和V的值代入解得l2：第四節 質心與質心運動定理質心的定義M為系統的總質量。在直角坐標系中的投影為：例：由m1和m2組成的質點組（系統），坐標分別為x1，y1；x2，y2；其質心坐標為：代入具體數值：m11，m29；x10，y10，x210，y20xc（1×09×10）/（19）9m19，m21；x10，y10，x210，y20xc（9×01×10）/（19）1由此可直觀地看到，質心靠近質量大的質點一側。質心不限于質點組，連續的物體可看成是有無限多的質點組

42、成，這時求和變成了積分。質心與重心：在地球表面附近的小物體，質心和重心是一致的；在太空中有質心的概念，沒有重心的概念；對于一座大山，各處的重力加速度的大小和方向都不能看成常量，這時質心和重心就不重合了。書中例題4.13(P164)dmx質量為M，長為L的勻質細桿的重心解：在連續的桿上取一體元dmdmM/L dx根據質心的定義：質心運動定理由質點系的動力學方程：P7, (6)式分子分母同乘總質量m得：也可寫成：此式與質點的動力學方程形式完全一樣。說明質心的運動規律，相當于將系統中所有質點的質量都集中在質心，所有的外力（無論作用在哪個質點上）也都集中在質心上的一個質點的運動規律。注意：一個系統中，

43、只有質心具有這個特性，其它點沒有這個特性。這正是質心的特殊之處。內力對質心的運動狀態不產生任何影響。書中例題4.14 (P.166)用質心運動定理解4.7題。解：人和船組成質點系，在水平方向上外力為0。根據質心運動定理，系統質心的加速度ac0。系統原來處于靜止狀態，人走動后，質心依然保持不變。走動前 走動后人相對岸的位置坐標： x1 ；x1船的質心坐標： x2；x2走動前;走動后走動后的位置變化：船相對岸移動了S， x2x2S 人相對船移動了l，人相對岸移動了lS，x1x1lS質心坐標保持不變：xcxc人相對岸的距離：lS413火箭飛行問題開始時火箭的質量為M0，火箭殼體的質量為M，燃料相對火

44、箭噴出的速度為u，開始時，火箭靜止，不計重力和其它力。求：燃料燒盡后，火箭的速度。MMdmdmvv+dvv+u解：火箭噴出燃氣，產生動力，速度增加，質量減小。火箭在dt時間內，噴出質量dm的燃料，dm相對火箭噴出的速度為u，。火箭 燃料質量 速度 質量 速度 系統動量t： m v dm v （mdm）vtdt： m vdv dm vu dm(vu)m(vdv)在不計外力的情況下，系統動量守恒：（mdm）vdm(vu)m(vdv)mvdmvdmvdmumvmdvmdvudm積分：此式稱為齊奧爾科夫斯基公式。火箭之父，航天之父。（18571935）1898年他寫了用于空間研究的反作用飛行器的論文，

45、提出了計算火箭速度的齊奧科夫斯基公式，并建議使用液體推進劑和多級火箭。為了宣傳他的理論，齊奧科夫斯基在1929年出版了他的著名科幻小說在地球之外，描寫2017年以后的年代里，一群來自不同國家的科學家和工程師們乘坐火箭驅動的飛船到太空旅行，他們先繞地球飛行，然后降落在月球上，隨后繼續飛行到火星附近，最后返回地球。補充例題習題指導44（P74）兩個形狀完全相同、質量都為M的弧形導軌A和B，放在底板上，AB導軌與地面相切，有一質量為m的小物體，從靜止狀態由A的頂端下滑，高度為h。所有接觸面均為光滑的。試求：小物體在B導軌上能上升的最大高度。解：第一過程：m從A下滑，水平面方向外力為0，動量守恒。下滑

46、過程沒有摩擦力，機械能守恒：當m滑到水平面時，m的速度為v，A的速度為vA：MvAmv0mgh1/2 MvA21/2 mv2解得：第二過程：m沿B上升過程，m上升到最大高度H時，相對B導軌的速度為0，兩者以共同的速度u運動。水平面方向外力為0，動量守恒；沒有摩擦力，機械能守恒。mv（Mm）u1/2 mv21/2（Mm）u2mgH解的H為：習題4.14一行李質量為m，垂直地輕放在傳送帶上，傳送帶的速率為v，它與行李間的摩擦系數為u。求：（1）行李在傳送帶上滑動多長時間？（2）行李在這段時間內運動多遠？（3）有多少能量被摩擦所消耗掉？解：（1）行李的滑行時間為t，行李所受到的滑動摩擦力為mg，根據動量定理：mgtmv0tv/g行李在這段時間從靜止滑動（加速）與傳送帶一起以速度v運動。（2）設行李在時間t內運動長度為x，根據動能定理：（3）行