1、§3.矩陣的微分與積分一、 矩陣的微分1.Def1.若，且可導(dǎo)。則稱A(x)可導(dǎo)，記為的為A(x)導(dǎo)數(shù)。2.性質(zhì)：注意：的位置不可變換，特別地（這里是可微函數(shù)）若A(x)與均可導(dǎo)（m=n方陣）則Proof: 由注：性質(zhì)不同于反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，另：事實(shí)上eg1.求的導(dǎo)數(shù)，及的導(dǎo)數(shù)解：eg2.設(shè) 求，解：Df2.設(shè)為可微函數(shù)，為變向量，稱為函數(shù)對X的導(dǎo)數(shù)，記作：（注：這事實(shí)上是多元函數(shù)的梯度，即）Df3.設(shè),且是的可微函數(shù)，則稱為矩陣Z對矩陣X的導(dǎo)數(shù)，記為。eg3.設(shè)其中是的可微函數(shù)，求解： eg4.設(shè) 求eg5.設(shè) 求解： 二、 矩陣的積分1.Df4.設(shè)函數(shù)矩陣，若在a,b上可積，稱為在a

2、,b上的定積分，記為。稱為的不定積分，記為。2.性質(zhì)：（為非0常數(shù)）（B為常數(shù)矩陣）eg6.設(shè) 求解：eg7.設(shè)求解：eg8.設(shè) 求解：1.直接利用定義： 2.利用變上限定積分是上限函數(shù)的求導(dǎo)公式：§4.矩陣的冪級數(shù)在研究矩陣冪級數(shù)之前先研究一下矩陣（主要是方陣）級數(shù)。一、 矩陣級數(shù)1.Df1.：若給定中的一方陣序列，則和式 稱為方陣級數(shù)，記為。其中為通項，m求和變量。稱為（1）的前N項部分和序列（矩陣序列）若，則稱（1）收斂，且其和為SDf2. 表示的 第i行第j列位置上的元素。顯然，收斂個數(shù)項級數(shù)收斂。Df3.若個數(shù)項級數(shù)絕對收斂，則稱絕對收斂。Df4.設(shè)，稱為矩陣A的冪級數(shù)，其

3、中為一復(fù)數(shù)序列，稱為冪級數(shù)的部分和，若，稱收斂于S，并稱S為冪級數(shù)的和矩陣。2.收斂方陣級數(shù)的性質(zhì)：若方陣級數(shù)絕對收斂，則它一定收斂，且任意交換各項的次序，所得新級數(shù)仍收斂且和不變。方陣級數(shù)收斂對任一方陣范數(shù)，正項級數(shù)收斂（證明見）。下面研究矩陣（方陣）冪級數(shù)二、 矩陣冪級數(shù)注：令，則矩陣冪級數(shù)矩陣級數(shù)的形式。因此，矩陣級數(shù)的結(jié)論對矩陣冪級數(shù)的形式是適用的。即：Th1.矩陣冪級數(shù)收斂于其中，,分別表示和的第i行，第j列元素。Th2.矩陣冪級數(shù)絕對收斂對任一范數(shù)，級數(shù)收斂。Proof:若收斂，考慮的斂散性，由矩陣范數(shù)的等價性，與等價，即使（由比較審斂法）收斂。又收斂，因此，絕對收斂。若絕對收斂收

4、斂收斂，即收斂。由矩陣范數(shù)的等價性對任一矩陣范數(shù)，使，有收斂。推論1.若絕對收斂（收斂），則絕對收斂（收斂）其中P,Q為給定的n階方陣，且有Proof：絕對收斂絕對收斂。又由比較審斂法，絕對收斂。下面給出判斷矩陣冪級數(shù)收斂與發(fā)散的方法：Th3.設(shè)復(fù)變數(shù)冪級數(shù)的收斂半徑為R，A的譜半徑為，則：當(dāng)時，絕對收斂。當(dāng)時，發(fā)散。Proof：若，（如取） 收斂存在矩陣,若，設(shè)，其中x為單位向量若收斂，則由推論1.知：也收斂，但在收斂域之外而發(fā)散，矛盾，故，發(fā)散。應(yīng)該注意：時，無法確定。推論2.若的收斂半徑，則對，絕對收斂，即復(fù)變數(shù)冪級數(shù)在整個復(fù)平面上收斂。eg1.的收斂半徑，對,有，故且絕對收斂。eg2.設(shè)，試證明絕對收斂。Proof：的收斂半徑。則只要證即可。對任意的矩陣范數(shù)，都相互等價，不妨取，有：由Th3，絕對收斂。eg3.若， 證明：Proof:即（由上節(jié)Th5. ,）eg4.設(shè)試判斷的斂散性試證明：絕對收斂。解：,設(shè)的收斂半徑為R。 可見，故發(fā)散。的收斂半徑 故絕對收斂。象冪級數(shù)一樣