1、第三節(jié) 數(shù)學模型 一、概述 數(shù)學模型是所研究系統(tǒng)的動態(tài)特性的數(shù)學表達式，或者說，是系統(tǒng)輸入作用與輸出作用之間的數(shù)學關系。 控制系統(tǒng)中需要建立數(shù)學模型的，不局限于被控對象，系統(tǒng)中的每一個部分都需要建立數(shù)學模型。但相對來說，被控對象之外部分的數(shù)學模型很多是控制儀表及裝置的模型，其特性已經(jīng)研究得比較多，而且變化很少。被控對象則比較復雜，不同的控制系統(tǒng)，被控對象的差異極大。因此，建模的重點是對象的建模。 被控對象千差萬別，建立模型特別是機理建模，需要對被控對象有比較透徹的了解。 1過程對象的特點 過程對象系統(tǒng)相對較大、較為復雜，時間常數(shù)大、滯后大，具有非線性、分布參數(shù)和時變特性，因此建模比較困難，需要

2、在模型的簡化上做工作，更多地需要從實驗中建立模型。 2簡化模型 實際的物理系統(tǒng)是非常復雜的，過程對象也是如此，必須對系統(tǒng)進行適當?shù)暮喕幚恚拍苡行У亟！Ｍǔ５淖龇ㄊ牵?（1）從分布參數(shù)到集中參數(shù) 所有系統(tǒng)的模型本質(zhì)上都是分布參數(shù)的，但分布參數(shù)模型太復雜，難建立也難以處理。因此，通常都是將它簡化為集中參數(shù)系統(tǒng)來建立模型。當然，這僅僅在一定的范圍內(nèi)是有效的。 （2）從非線性到線性 實際的物理系統(tǒng)存在許多非線性，只要系統(tǒng)中任何一個環(huán)節(jié)是非線性的，系統(tǒng)就是非線性的。線性系統(tǒng)的重要特征是可以運用疊加原理，這將使系統(tǒng)建模分析大大簡化。因此，在很多情況下，應該盡量將系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)來建模和分析。 3建

3、模方法 系統(tǒng)的建模方法分為兩大類：機理建模與實驗建模。開始人們傾向于機理建模，認為這樣的模型有理論依據(jù)，物理意義明確。但對于較復雜的系統(tǒng)，做了許多簡化與理想化后，才能建立起機理模型。實驗室建模似乎是迫不得已的辦法，但在數(shù)據(jù)處理能力大大提高的今天，它也有較強的生命力。機理建模就像是“開環(huán)控制”，理論上可以做到很精確，但實際上很難；試驗建模就像是“閉環(huán)控制”，不管對象有多復雜，都可用這種綜合方法來對付它。 對于一個新的建模問題，可以先建立一個比較簡化的機理模型，對之進行一些初步的了解和研究。然后再試圖建立一個比較完善的數(shù)學模型，進行比較全面和精確的研究。最好是機理建模與實驗建模相互印證、相互補充和

4、完善。 二、機理建模 機理建模就是根據(jù)被研究對象的物理化學性質(zhì)和運動規(guī)律來建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。因此，需要掌握對象的能量平衡關系、物料平衡關系、動量平衡關系、化學反應規(guī)律、電路電子原理等知識，難度相當大。因此，必須作出合理的假設，建模才是可行的。通常總是假設系統(tǒng)是集中參數(shù)的和線性的，當然，在這樣的假設條件下，建立的模型只能在一定的工作范圍內(nèi)適用。 但是，各種假設的合理程度如何？簡化的方法是否正確？模型的適用工作范圍如何？這一系列問題，最終還是要通過實驗來驗證和修正。 控制系統(tǒng)中，需要建模的對象包括了各種類型的元器件、儀表與裝置（有電子的、機械的、氣動的、液動的），簡單的如杠桿系統(tǒng)，復雜的如反應器

5、等等。另外測量儀表及變送器、調(diào)節(jié)器和執(zhí)行器，將在后面介紹。這里我們著重介紹化工等過程設備裝置的數(shù)學模型。 1、一階系統(tǒng) 當一個對象可以用一階微分方程描述其特性時，它就是一個一階對象或一階系統(tǒng)。設其微分方程表示為 （2-29） 式中，X為對象的輸入變量，y為對象的輸出變量，對上式取拉普拉斯變換（設初始值為零），得 TsY（s）Y（s）=KX（s） 整理得 （2-30） 用方塊圖表示為（圖2-14） 很多實際的物理對象，其數(shù)學模型是一階系統(tǒng)或可以近似地用一階系統(tǒng)來描述。RC電路和水槽等是最常見的一階系統(tǒng)。 （1）RC電路 在圖215所示的電路中，設ei為輸入電壓，是該系統(tǒng)的輸入變量；電容兩端的電壓

6、為輸出電壓，是該系統(tǒng)的輸出變量；i是流過電阻R的電流。根據(jù)電路原理中的科希霍夫定律，有： eiiRe0 消去中間變量i，得到ei與e0之間的關系式： （2-31） 上式是一階微分方程，說明R-C電路是一階系統(tǒng)。求拉普拉斯變換，并假設初始條件為零，得 RcsE0（s）+ E0（s）Ei（s） 整理得R-C電路系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （2-32） RC電路很直觀，很簡單，電阻和電容的概念比較清晰。許多物理系統(tǒng)如液位系統(tǒng)、熱力學系統(tǒng)和氣動系統(tǒng)有類似的概念。 （2）水槽 如圖2-16所示，水槽的液面高度為h，我們希望這個液位能比較穩(wěn)定，這里將它定為該系統(tǒng)的輸出變量或被控變量。輸入流量 Qi由閥門l加以調(diào)節(jié)，

7、從而保持液位 h的穩(wěn)定， Qi是系統(tǒng)的輸入變量。 對水槽的流出量Q0，閥門2不加以控制，是系統(tǒng)的中間變量。 閥門2相當于一個負載，或者是類似于RC電路中的電阻R，可稱為液阻R： （2-33） 當流過閥門2中的流體狀態(tài)為層流時，有 Q0Kh （2-34） 由以上兩式，可求得此時的液阻R： 由于K是一個常數(shù)，故R也是一個常數(shù)，這與電阻很相似。 對于水槽系統(tǒng)，還可以定義類似于電容的液容C： （2-35） 很顯然，對于橫截面積保持不變的容器，液容等于橫截面積A。 當系統(tǒng)中的液體流動為層流時，系統(tǒng)是線性的；當液體流動狀態(tài)為紊流時，系統(tǒng)是非線性的，但在變量很小的變化范圍內(nèi)，可以線性化。因此，在很小的時間d

8、t之內(nèi)，水槽的液體體積變化量為 Cdh=（qiq。）dt （236） qi和 q。是相對于穩(wěn)定值 Qi和Q0的微小變化量。將中間變量q0消去，得 對上式進行拉普拉斯變換，并設初始條件為零，得 RCsH（s）H（s）RQi（s） 整理得 （2-37） 從上面兩例，可以看到它們的微分方程和傳遞函數(shù)都很相似，與方程（2-29）和（2-30）對照，定義K為一階系統(tǒng)的放大系數(shù)： K=1 R C電路 K=R 水槽系統(tǒng) 定義T為時間常數(shù)，在RC電路和水槽系統(tǒng)中，時間常數(shù)T均等于RC。（K和T的物理意義將在后續(xù)章節(jié)中介紹）。 2、非自衡系統(tǒng) 前面分析的水槽系統(tǒng)，當液位升高時，出口流量q0會自動增加，使液位穩(wěn)定

9、在一定的工作范圍內(nèi)，系統(tǒng)能自動達到一個平衡狀態(tài)，這樣的系統(tǒng)稱為自衡系統(tǒng)，在控制系統(tǒng)中是最常見的，也是比較易于控制的系統(tǒng)。 如圖217所示的系統(tǒng)，是沒有自衡能力的。其輸出流量由一個正位移泵抽出，保持恒定，與液位無關。因此，當Qi發(fā)生變化，使液位h偏離平衡值后，系統(tǒng)不會自動到達平衡狀態(tài)。如果Qi有一個增量且保持不變，則液位將持續(xù)上升，直至溢出。這樣的系統(tǒng)稱為非自衡或無自衡系統(tǒng)。這樣的系統(tǒng)相對于自衡系統(tǒng)比較難于控制。 由方程（2-36），且此時 q0=0，得 （2-38） 所以該系統(tǒng)也常稱為積分對象。 該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （2-39） 3二階系統(tǒng) 當一個對象可以用二階微分方程描述其特性時，它就是一個

10、二階系統(tǒng)或二階對象。設其微分方程表示為 （2-40） 對上式兩邊進行拉普拉斯變換，并設各階初始值均為零，得 a0s2Y（s）+a1SY（s）+a2Y（s）=KX（s） 整理得 （2-41） 很多物理系統(tǒng)的數(shù)學模型可用二階系統(tǒng)來描述，如RC串聯(lián)電路和串聯(lián)水槽等。 （1）RC串聯(lián)電路 設ei為系統(tǒng)的輸入變量，e0為系統(tǒng)的輸出變量，由科希霍夫定律，得 （244） 由上述方程解得RC串聯(lián)電路的微分方程表達式為 （2-45） 對方程（245）兩邊進行拉普拉斯變換，并設初始值均為零，得 整理得，該二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 （2-46） （2）串聯(lián)水槽 對于串聯(lián)水槽，設Qi為系統(tǒng)的輸入變量，Q是中間變量，h1和

11、 Q。也是中間變量，h2是輸出變量。另外，還假設兩只水槽具有同樣的橫截面積A，液位與流出量具有線性關系，則 液阻 ； 液阻 分別列寫兩個水槽的物料平衡方程為 Adh1=（qiq）dt Adh2=（q-q。）dt 式中，qi、q、q。均為相應的Qi、Q和Q0的微小變化量。 由上述四個方程，消去中間變量h1、q和q。，解得輸入變量qi與輸出變量h2之間的微分方程為 （2-47） 對上式兩邊進行拉普拉斯變換，并設初始條件均為零，得到 Qi到h2之間的傳遞函數(shù)為 （2-48） 設 AR1=T1，AR2T2， R2=K，則有 （2-49） 高于二階的對象，研究起來比較復雜，甚至無法進行研究，通常都是將它

12、們近似為一階和二階系統(tǒng)。 三、實驗建模 實驗建模原則上是把被研究對象看作為一個黑箱，通過施加不同的輸入信號，研究對象的輸出響應信號與輸入激勵信號之間的關系，估計出系統(tǒng)的數(shù)學模型。這種方法也可稱為系統(tǒng)辨識方法或黑箱方法。 顯然，任何一個對象都可能有多個輸入變量和輸出變量，當我們要研究的是x1與y1之間的關系時，就應該將施加的輸入信號加在x1輸入端上，并記錄相應的y1的變化。 這種方法對于復雜對象更為有效。對于已知的一階或二階系統(tǒng)，通過實驗方法測取其特性參數(shù)也很方便、實用。常用的方法有： l、階躍擾動法 當對象處于穩(wěn)定狀態(tài)時，施加一個階躍信號到輸入端，記錄輸出端的變化曲線即可。 階躍擾動法的優(yōu)點是

13、階躍信號容易獲得。當對象的輸入量是流量時，只要將閥門開度突然變化一定幅度并保持不變即可，不需要另外的信號發(fā)生器。 對于水槽對象，階躍擾動和相應的反應曲線如圖221所示。由反應曲線可推得對象的數(shù)學模型及相關的參數(shù)。 前已求得，如圖水槽系統(tǒng)是一階系統(tǒng)，Qi到h的傳遞函數(shù)為 由方程（224）可得 由方程（25）得 則 （2-50） 因此，由輸入輸出曲線測得a和Ra的數(shù)值，代入前已推得的的微分方程或傳遞函數(shù)，就得到了完整的數(shù)學模型。 上面介紹的這種在已知系統(tǒng)的數(shù)學模型結構的基礎上，再通過實驗來確定數(shù)學模型中的參數(shù)的方法，又稱為系統(tǒng)的參數(shù)估計。 2矩形脈沖法 這時所施加的輸入信號如圖222所示，相當于在

14、t1時刻施加了一個階躍擾動之后，在t2時刻再施加一個幅度相同但方向相反的階躍擾動。 與階躍擾動方法相比，干擾僅施加較短的時間。因此，幅度可以相對大一些，以提高試驗精度。 3周期擾動法 所謂周期擾動法就是施加周期信號作為擾動。常用的周期信號有短形脈沖波和正弦波。周期信號圍繞平均值上下波動，對系統(tǒng)的影響很小。當輸入為一系列不同頻率的正弦波時，可直接獲得系統(tǒng)的頻率特性。這是周期擾動法的主要優(yōu)點之一。 除了上面介紹的幾種方法之外，還可以直接從正常生產(chǎn)過程的記錄數(shù)據(jù)中分析過程特性，建立數(shù)學模型。這種方法稱為在線辨識。但它需要大量的數(shù)據(jù)、較長時間、較多的數(shù)據(jù)處理技術水平，而且精確度也不夠高。為了提高所得模

15、型的可信度和精度，有時采用多種方法相互驗證，相互補充。 四、過程特性參數(shù) 前面討論的數(shù)學模型中已經(jīng)看到參數(shù)K和T，實際的過程特性參數(shù)中常見的還有。 下面討論這三個參數(shù)的物理意義以及在系統(tǒng)中所起的作用。 1、放大系數(shù)K 仍以水槽系統(tǒng)為例，在輸入流量Qi等于輸出流量Q。，液位 h處于某個穩(wěn)定狀態(tài)時，使 Qi突然有一個階躍變化，階躍幅度為a，并保持不變。由階躍擾動法知道，此時，水槽的液位也有一個相應的變化，經(jīng)過一段時間后，逐步趨于一個新的穩(wěn)態(tài)值，如圖223所示。 圖中，a是輸入流量的變化量，即階躍擾動的幅值；b是液面最終穩(wěn)態(tài)值與原穩(wěn)態(tài)值之差。定義K為該系統(tǒng)的放大系數(shù)： K=b/a=h/Qi=輸出增量

16、/輸入增量 可見，放大系數(shù)K的物理意義就是把系統(tǒng)的輸入變化量放大K倍，稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量。注意，由于b是系統(tǒng)經(jīng)過很長時間進入穩(wěn)態(tài)后的數(shù)值，因此，放大系數(shù)K是系統(tǒng)的靜態(tài)特性參數(shù)。 放大系數(shù)K是非常重要的特性參數(shù)。K越大，表明輸入信號對輸出的控制作用越強。如截面積很小的水槽，較小的輸入流量變化可能產(chǎn)生較大的輸出量液位的變化。而截面積很大的水槽，輸入流量的變化對輸出量的影響很小。 對于一個被控變量，可能同時有幾個輸入變量對之產(chǎn)生影響，這時，應該盡量選擇放大系數(shù)K較大的作為調(diào)節(jié)變量，其他輸入變量作為系統(tǒng)的干擾量。如圖224所示，該系統(tǒng)共有3個輸入變量，選擇x3作為調(diào)節(jié)變量后，x1和x2就被認為是該系

17、統(tǒng)的干擾變量。從調(diào)節(jié)變量x3到輸出變量y之間的關系叫做調(diào)節(jié)通道，xl到y(tǒng)之間的關系叫做干擾通道1，x2到y(tǒng)之間的關系叫做干擾通道2。每個通道都有相應的數(shù)學模型及相應的放大倍數(shù)K。K越大，表明該通道的調(diào)節(jié)能力越強；對于干擾通道，K越大，表明該擾動對輸出變量的影響越大。 2時間常數(shù)T RC電路的數(shù)學模型為 從電路圖中，可以直觀地知道，當電容充電結束后，電流i等于 0，e0ei，即該電路ei到e0的調(diào)節(jié)通道放大系數(shù)K等于1。但e0是逐步達到最終值e i 的，它的快慢取決于T=RC的數(shù)值。T越大，表明電容C充滿電需要的時間越長。這就是時間常數(shù)的物理意義。 同樣，在水槽系統(tǒng)中，對于相同的輸入流量變化量，

18、截面積大的水槽要花更多的時間才能達到穩(wěn)態(tài)液位值。如圖226所示，一個水槽的截面積為A1，另一個的截面積為A2，A2A1，故在相同的輸入流量變化量a的作用下，表現(xiàn)了不同的反應曲線。 時間常數(shù)T可以用實驗方法測得。一階系統(tǒng)的微分方程，當輸入為單位階躍信號時，求得 （2-52） 由該方程，當t=T時， y（T）=1-e-1=0.632 （253） 依次還可求得t=2T、3T、4T、5T等特殊點處的y值。 對y（t）求導數(shù)得 可求得反應曲線起始點的切線的斜率為 將以上計算結果繪于圖2-27中。 由公式（2-53）和圖2-27可見，當反應曲線上升到最終值的632時，所用的時間正好為時間常數(shù)T。因此，從實

19、測的反應曲線上，相應于最終值的632處的時間值就是時間常數(shù)T的數(shù)值。 從圖中還看到，當時間 t=3T時，曲線已經(jīng)很接近最終值，此時計算值為最終值的95；當時間t=5T時，曲線已幾乎與最終值重合，此時的計算值為最終值的993。可見，時間常數(shù)T也是標志系統(tǒng)動態(tài)過程何時基本結束的重要參數(shù)。因此，時間常數(shù)T是系統(tǒng)的動態(tài)參數(shù)。 另外，對于調(diào)節(jié)通道，時間常數(shù)T大，表明系統(tǒng)響應較平穩(wěn)，系統(tǒng)較穩(wěn)定，通常比較容易控制，但調(diào)節(jié)時間較長。時間常數(shù)T小些，系統(tǒng)相對比較難于控制。實際應用中有一個適中的時間常數(shù)較好。 對于干擾通道，時間常數(shù)越大，對調(diào)節(jié)越有利。 3滯后時間 有些物理對象，當輸入信號發(fā)生變化后，輸出信號不會

20、立即出現(xiàn)響應，出現(xiàn)了滯后現(xiàn)象。滯后時間就是用來描述系統(tǒng)滯后現(xiàn)象的特性參數(shù)。滯后現(xiàn)象有兩類：純滯后和容量滯后。 圖228溶解槽系統(tǒng)及其反應曲線 （l）純滯后0 純滯后又叫做傳遞滯后，用0表示。產(chǎn)生純滯后的原因通常是由于物料的傳輸需要一定的時間，如圖228所示的溶解槽濃度系統(tǒng)。 當濃度需要增加一定幅值時，操作進料量操縱板，使料體進料量增加。但是，由于粉體進料量的增加量a要經(jīng)過輸送皮帶的傳送，滯后一定的時間0才能進入溶解槽，系統(tǒng)的輸出量濃度y才會響應。也就是說，從輸入信號料體進料量有了變化，到輸出信號濃度開始變化的這段時間里，溶解槽無法感受到進料的變化。這段時間的長短取決于粉體傳送距離L和皮帶機的輸送速度U，故 （2-55） 上述分析，是以粉體加料斗下方的進料量操縱板處的進料量作為系統(tǒng)的輸入變量的；如果從溶解槽液面處的進料量作為系統(tǒng)的輸入變量來分析并畫圖，則相當于在圖中0時刻才有增量a，輸出變量y幾乎是立即產(chǎn)生響應的。這說明可以把原來的帶有純滯后的一階系統(tǒng)分解為一個獨立的純滯后環(huán)節(jié)和一個獨立的無純滯后的一階環(huán)節(jié)。在反應曲線圖形上，帶有純滯后的一階系統(tǒng)的響應曲線與無純滯后的一階系統(tǒng)的響應曲線比較，形狀完全一致，只是右移了滯后時間0而已。 （2）容量滯后c 所謂容量滯后，是系統(tǒng)的輸入變量變化后，輸出變量的變化相當緩慢，在一段時間內(nèi)幾乎觀察不到，然后，才逐漸顯著地開始變化。這