1、【精品文檔】如有侵權，請聯系網站刪除，僅供學習與交流北京四中初二數學第一學期期末幾何總復習.精品文檔.初二數學第一學期期末幾何總復習編稿：白真 審稿：范興亞 責編：高偉知識網絡全等三角形知識結構圖地位和作用全等三角形是平面幾何內容的基礎，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質的有力工具，是解決與線段、角相關問題的一個出發點運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關系、角相等、兩直線位置關系等常見的幾何問題軸對稱知識結構圖地位和作用本章的圖形與幾何內容是繼全等三角形之后的進一步推理論證內容，也是繼平移變換后的第二種合同變換(保距變換)，即要用軸對稱的觀點分析現

2、實生活中的幾何圖形，又要深入挖掘一些特殊圖形的性質，為后續學習如四邊形、圓等做好充分的準備，同時培養學生的美學觀知識要點梳理知識點一：全等三角形概念1能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形2兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應頂點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角3全等三角形對應邊相等，對應角相等知識點二：三角形全等的判定1三邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS”2兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”3兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA”4兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊

3、”或“AAS”5斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”知識點三：作軸對稱圖形1幾何圖形都可以看作由點組成，我們只要分別作出這些點關于對稱軸的對應點，再連接這些點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形2對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要做出圖形中的一些特殊點(如線段端點)的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形知識點四：軸對稱變換1由一個平面圖形可以得到它關于一條直線成軸對稱的圖形，這個圖形與原圖形的形狀、大小完全相同2新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關于直線的對稱點3連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分4用坐標表示軸對稱： 點(x

4、，y)關于x軸對稱的點的坐標為(x，-y)；點(x，y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x，y)知識點五：等腰三角形等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質外，還有許多特殊的性質，這些特殊性質，都和它是軸對稱圖形有關，因此，把這部分內容安排在軸對稱之后，從軸對稱的角度，得出“等邊對等角”、“三線合一”等性質，并進一步討論了等腰三角形的判定方法以及等邊三角形的性質等內容1等腰三角形定義：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形2等腰三角形的性質：(1) 等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角)(2) 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高相互重合(三線合一)3等腰三角形的判定：如

5、果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)知識點六：等邊三角形1等邊三角形定義：三條邊都相等的三角形叫等邊三角形2等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于603等邊三角形的判定：(1)三個角都相等的三角形是等邊三角形(2)有一個角是60的等腰三角形是等邊三角形知識點七：其它常用的三角形性質130角的直角三角形的性質： 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半2三角形中邊與角之間的不等關系：(1) 在一個三角形中，如果兩條邊不等，那么它們所對的角也不等，大邊所對的角較大(大邊對大角)(2) 在一個三角形中，如果兩個角不

6、等，那么它們所對的邊也不等，大角所對的邊較大(大角對大邊)經典例題精析類型一：由角平分線想到構造全等不管軸對稱圖形還是兩個圖形軸對稱，我們不難發現對應點與軸上一點(此點作為頂點)組成的角被軸平分，根據這一特點，在做題中如果遇到角平分線我們就會聯想到，以角平分線為軸構造對稱(全等)，從而把角、線段轉移達到解題目的1如圖1，已知：ABC中，AD平分BAC，交對邊CD于D，且AB=AC+CD，求證：C=2B 圖 1 圖 2解析：在AB取一點E，使AE=AC，連接ED，如圖2顯然，ADCADE， C=AED，AE=AC，CD=ED，又 AB=AC+CD， ED=EB， EDB=B， AED=2B C=

7、2B2如圖3，在ABC中，AB=AC，A=100，BD為B的平分線，求證：BC=BD+AD圖 3 圖 4解析：在BC上取點E、F，使BE=BD，BF=BA如圖4 BD平分ABC，A=100， ABDFBD，FD=AD，BFD=100， DFE=180-100=80 AB=AC ABC=C DBE=20 DEF=(180-20)2=80 DFE=DEF DE=DF=AD, C=(180-100) 2=40, EDC=DEF-C=80-40=40, DE=EC, AD=EC, BC=BE+EC=BD+AD3如圖5，在ABC中，ACAB，AD平分BAC，P為AD上任一點，連結PB，PC。求證：圖 5

8、 圖 6解析：在AC上取點E，使AE=AB，連結PE，如圖6由AD平分BAC，得BAP=CAP，又 AE=AB，AP=AP， APEAPB， PE=PB，在EPC中，PC-PEEC,即PC-PBAC-AE， PC-PBAC，E、F是AC、AB上的點，并且，求證：CE=BF圖 11 圖 12解析：作射線CG，使GCB=FBC，CG交BE于G，如圖12由已知，顯然BCFCBG， BF=CG，且FBM=GCM， CEG=A+ABE，CGE=GBC+BCF+MCG， CEG=CGE， CE=CG， CE=BF7如圖13，ABC為等腰直角三角形，ABC=90，AB=AE，BAE=30，求證：BE=CE圖

9、 13 圖 14解析：作正方形ABCF，連結EF，如圖14由作圖知，FAE=60，又 AE=AB=AF， AEF為等邊三角形， AE=FE，顯然，ABEFCE， BE=CE8小明家門前一長度為的直圍墻AB，小明家現決定修建面積為的三角形形狀的花壇，其中以圍墻為一邊，新修建兩邊，如果要使建設費用最省，請問如何修建，并說明理由思路點撥：如圖15，作直線CDAB且兩平行線的距離為，點P為CD上的動點，要使費用最省，就得使AP+BP的值最小，作點A關于CD的對稱點，交CD于E，當共線時，即點P為與直線CD的交點，由兩點間線段最短，得最小，故最小，顯然，所以，從而為AB的中垂線，那么費用最省 解析：作墻

10、所在線段AB的中垂線，垂足為O，在中垂線上取一點P，使，沿著ABP的邊AP、BP修建即可，如圖16 圖 15 圖 16類型三：特殊三角形的線段關系9如圖17，已知在ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，PDAB于點D，PEAC于點E，求證：PD+PE是一個定值圖 17 圖 18解析：連接AP，過點C作CFAB于點F，如圖18由，得：，即，(定值)總結升華：本例的結論可用文字語言敘述為：等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于腰上的高【變式1】如圖19，如果點P不是在邊BC上，而是在BC的延長線上，其它條件保持不變，那么PD與PE之間又有怎樣的關系呢？【答案】連接AP，過點C作CFAB于

11、點F，如圖19 由， ， 得：， 即，(定值) 即，當點P在BC延長線上時，PD與PE之差為一定值圖 19 【變式2】如圖20，若ABC為等邊三角形，邊長為，在ABC內部任取一點O，記O到三邊的距離依次為、求證：為定值 圖 20 圖 21【答案】如圖21，連接PA、PB、PC，故是一個常數【變式3】若ABC為等邊三角形，邊長為，在ABC外，且C內部任取一點O，記O到AB、AC、BC的距離依次為、求、之間的數量關系【答案】如圖22，連接OA、OB、OC，則有如下面積關系：即：，化簡為圖 2210如圖23，在等邊三角形ABC中，D、E分別在邊BC、BA的延長線上，且AE=BD，求證：CE=DE 圖

12、 23 圖 24 圖 25解析：（法一）過E作EFCD于點F，如圖24 ABC是等邊三角形， B=60， BEF=30， BE=2BF，則BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF) CD=2CF， CF=DF， 在CEF和DEF中，CF=DF，CFE=DFE=90，EF=EF， CEFDEF， CE=DE（法二）如圖25，延長CD到G，使DG=BC，則CG=AE， 所以EBG為等邊三角形，可證明ECBEDG11如圖26，在ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，點P在ABD內部，求證： 圖 26 圖 27解析：作點P關于AD的對稱點，連接并延長交PC于點Q，連接，如圖27 因為A

13、B=AC，AD是BC邊上的高， 易得 因為， 故【變式1】如圖28，ABC的邊AB和BC上的高線不短于其對應邊的邊長，試求該三角形的各個角的度數圖 28 圖 29【答案】如圖28，設AD、CE分別是BC和AB上的高線，則， 但由題設知， 所以， 從而D、B、E重合，如圖29 所以ABC是以B為直角的等腰直角三角形，因此B=90，A=C=45類型四：特殊三角形與幾何變換12如圖30，設O是等邊ABC內的一點，已知AOB=115，BOC=125，求以線段OA、OB、OC為邊構成的三角形的各角的大小 圖 30 圖 31解析：將BOC繞B點順時針旋轉60，使BC與AB重合，此時O點位于點P處連接OP，

14、如圖31易知BOCBPA，故OB=BP，OC=PA，BPA=BOC=125 PBO=60，PB=BO， OP=OB故OPA是以線段OA、OB、OC為邊構成的三角形， BOC=125， PAO=360-125-115-60=60，POA=115-60=55，OPA=6513(1) 如圖32，四邊形ABCD中，AB=AD，BAD=60，BCD=120，證明：BC+DC=AC(2) 如圖33，四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=60，P為四邊形ABCD內一點，APD=120，證明： 圖 32 圖 33 解析：(1)連接AC，延長CD至F，使得DF=BC，如圖34 易證ABCADF，ACF為正三角形，故BC+CD=CDDF=CF=AC(2)以AD為邊做正三角形ADE，連接AC、PE、CE，如圖35 由上可知，PE=PA+PD 易證BADCAE，故CE=BD在PCE中，PE+PCCE 當C、P、E三點共線時，PE+PC=CE故，即 圖 34 圖 3514如圖36，在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上取兩點M、N，使MCN=45，記AM=m，MN=x，BN=n，求證：以、為邊長的三角形的形狀是直角三角形圖 36 圖 37解析：(法一