1、人力資源調度的優化模型摘要本文主要研究人力資源調度的最優化問題。人力資源調度問題中所要處理的數據之間的關系是 比較繁瑣的，所以如何有效地設置決策變量，找出相互關系是我們建立模型的突破口。上述模型屬 于多元函數的條件極值問題的圍，然而許多實際問題歸結出的這種形式的優化模型，起決策變量個 數n和約束條件 m般比較大，并且最優解往往在可行域的邊界上取到，這樣就不能簡單地用微分 法求解，數學規劃是解決這類問題的有效方法。根據所給的“ PE公司”技術人員結構及工資情況表、不同項目和各種人員的收費標準表格，為 了在滿足客戶對專業技術人員結構要求的前提下，使“PE公司”每天的直接收益最大，我們首先對不同項目

2、的不同技術人員的分配個數進行假設，從而得到了“PE公司”每天總收入I和每天總支出C，所以每天的直接收益 U I C，這就是公司每天直接收益的目標函數。在此基礎上我們建立 了基于Matlab軟件上的線性規劃方法一和基于Lindo6.0軟件上的整數線性規劃方法二來求解這個模型。首先我們 Matlab軟件運行這個函數，得到求得的值恰好是整數，滿足題意，在題目的約束條 件下得到的最大公司效益是27150元，此時的人員分布如下表所示：項目技術人員ABCD高級工程師1521工程師6362助理工程師2521技術員1310因為對題中的數據稍做改動時得出的答案就會出現小數的現象，為了更好的解決該問題，我們 又引

3、入了一個很好地能處理整數的軟件Lindo6.0，得到了各個有效的數據。并在模型擴展中運用已建立的程序對所得的結果進行靈敏度分析，即討論在收費標準不變的情況下技術人員結構對公司收 益的影響以及在技術人員結構不變的情況下收費標準對公司收益的影響，并且進一步分析在怎樣的 圍最優解保持不變，并聯系社會實際進行了一定的分析。最后在適當簡化模型的同時，對模型進行 了改進和推廣，預示了高素質人才在現代社會中將發揮著越來越重要的作用。關鍵詞:人力資源調度；決策變量；可行域；靈敏度分析；博弈論.問題重述:“PE公司”是一家從事電力工程技術的中美合資公司， 現有41個專業技術人員,其結構和相應的工資水平分布如表

4、1所示。表1公司的人員結構及工資情況高級工程師工程師助理工程師技術員人數917105日工資（元）250200170110目前，公司承接有4個工程項目，其中2項是現場施工監理，分別在 A地和B地, 主要工作在現場完成；另外2項是工程設計，分別在C地和D地，主要工作在辦公室完 成。由于4個項目來源于不同客戶，并且工作的難易程度不一，因此，各項目的合同對 有關技術人員的收費標準不同，具體情況如表 2所示。表2不同項目和各種人員的收費標準高級工程師工程師助理工程師技術員A1000800600500收費B1500800700600（元/天）C1300900700400D1000800700500為了保證

5、工程質量，各項目中必須保證專業人員結構符合客戶的要求，具體情況如表3所示：表3:各項目對專業技術人員結構的要求ABCD高級工程師工程師助理工程師 技術員總計13> 2> 2> 1< 1025> 2> 2> 3< 162> 2> 2> 1< 111228> 1< 18說明：表中“13”表示“大于等于1,小于等于3”，其他有“”符號的同理;項目D,由于技術要求較高，人員配備必須是助理工程師以上，技術員不能參加; 高級工程師相對稀缺， 而且是質量保證的關鍵， 因此，各項目客戶對高級工程師 的配備有不能少于一定數目的限

6、制。 各項目對其他專業人員也有不同的限制或要 求；各項目客戶對總人數都有限制；由于C、D兩項目是在辦公室完成，所以每人每天有 50元的管理費開支。由于收費是按人工計算的， 而且 4 個項目總共同時最多需要的人數是 10+16+11+18=55，多于公司現有人數 41。因此需解決的問題是： 如何合理的分配現 有的技術力量，使公司每天的直接收益最大？并寫出相應的論證報告。二. 模型假設和符號說明 :1. 模型假設 根據問題的要求，并為了達到將問題進一步明確抽象的目的，在我們的模型中有如 下的假設：1) PE公司是在同一時間接手 A、B、C、D四個工程項目。2) PE公司的各種技術人員分工相當明確，

7、如高級工程師不能兼職工程師的工作。3) PE公司的專業技術人員在接手工程期間不存在著請假，缺席的現象。4) 在PE公司接手這四個工程的間段，市場物價穩定。各級技術人員的收費標準分 別在如下的圍：高級工程師的收費最低不低于 800元，最高不超過 1600元； 工程師的收費最低不低于 500元，最高不超過 1200元； 助理工程師的收費最低不低于 300元，最高不超過 900 元； 技術員的收費最低不低于 150元，最高不超過 600元。5) 假設 A， B， C， X 是如下四個矩陣： a11, a12 , a13 , a14 , a21 , a22 , a 23 , a 24 ,a31 , a

8、32 , a33 , a34 , a41 , a42 , a43 , a44 b11 ,b12 ,b13 ,b14 ,b21 ,b22 , b23 , b24 , b31 , b32 , b33 , b34 ,b41,b42,b43,b44 Cc11 ,c12 , c13 , c14 , c21 , c22 ,c23,c24,c31,c32,c33,c34,c41,c42 ,c43, c44 Xx11 , x12 , x13 , x14 , x21, x22,x23, x24, x31, x32 ,x33, x34 , x41, x42, x43, x44T2. 符號說明x11,x12,x13

9、,x14分別代表的是在A、B C D項目中高級工程師的人數安排X21,X22,X23,X24分別代表的是在A、B、C、D項目中工程師的人數安排X31,X32,X33,X34分別代表的是在A、B、C、D項目中助理工程師的人數安排X41,X42,X43,X44分別代表的是在A B、C、D項目術員的人數安排aii,ai2,ai3, ay分別代表的是高級工程師在 A、B、C、D項目中的每天收費標準 a2i,a22,a23,a24分別代表的是工程師在A、B、C、D項目中的每天收費標準 a3i,a32,a33,a34分別代表的是助理工程師在 A B C D項目中的每天收費標準 a4i,a42,a43,a4

10、4分別代表的是技術員在A、B、C、D項目中的每天收費標準 bi,b2,bi3,bi4分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的高級工程師每天所支付 的費用b2i,b22,b23,b24分別代表的是PE公司在A、B、C、D項目中的工程師每天所支付的 費用b3i,b32,b33,b34分別代表的是PE公司為A B C D項目中的助理工程師每天所支付 的費用b4i,b42,b43,b44分別代表的是PE公司為A、B、C、D項目中的技術員每天所支付的費 用注：PE公司支出費用包括技術人員的工資和C、D項目中每個人員每天的50元管理費。三. 模型的建立：模型I:基于Matlab的線性規劃方法根據題意以

11、及上面的符號說明可以得到下列A, B, C的值A=1000 1500 1300 1000 800 800 900 800 600 700 700 700 500 600 400 500B=250 250 300 300 200 200 250 250 170 170 220 220 110 110 160 160C=AB=750 1250 1000 700 600 600 650 550 430 530 480 480 390 490 240 340 于是得到目標函數：4MaXZ CX(aij bij ) Xiji,j 1s.t.X11X12X13X149X21X22X23X2417X31X3

12、2X33X3410X41X42X43X445X11X21X31X4110X12X22X32X4216X13X23X33X4311X14X24X34X4418X113X125X132X142X2481X11 , X14 , X34 , X41 , X43X12 , X13, X21, X22 , X23 , X24 , X31 , X32 , X33X42X44我們首先來觀察表1和表3,因為A、B、C、D四個工程需要的技術員最低限分別是1、3、1、0,而PE公司的技術員恰好只有5人，所以關于技術員的調度就已經確定， A工程1人，B程3人，工程1人，工程0人。即：X41 1,X42 3, X43

13、1,X44 0。又有C工程中高級工程師的數量已定，X13 2，因此其實只有11個決策變量在影響最終公司 效益。用 Matlab 6.5 軟件中的函數x,fval=linprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解，具體程序看附錄 1:得出數據 X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMax Z=CX=27150通過對高級工程師的人數變化時(其他因素全都不變),分析其對最大公司效益的影 響,分別取高級工程師的人數是9,10,11,12的情況：得出結果如下表所示高級工程師人數X11X12X13X14.91.00005.00002.00001.0000101.

14、70205.00002.00001.2980112.56485.00002.00001.4352123.00005.00002.00002.0000X21X22X23X24,96.00003.00006.00002.0000105.29803.10866.00002.5933114.43523.85066.00002.7143124.00004.01876.00002.9813高級工程師人數X31X32X33X3492.00005.00002.00001.0000102.00004.89142.00001.1086112.00004.14942.00001.8506122.00003.9813

15、2.00002.0187高級工程師人數X41X42X43X4491.00003.00001.00000.0000101.00003.00001.00000.0000111.00003.00001.00000.0000121.00003.00001.00000.0000上述表格缺陷在于人員分配個數出現了小數，這跟實際問題相違背。分析其原因主要 在于：我們用這個 Matlab6.5軟件做出來的就是基于用單純形法引入松弛變量而得出來 的。因為松弛問題是作為一個線形規劃問題，其可行解的集合是一個凸集，任意兩個可 行解的凸集組合仍為可行解。由于整數規劃問題的可行解一定也是松弛問題的可行解(反之則不一定)

16、，所以前者最優解的目標函數值不會優于后者最優解的目標函數值。 在一般情況下，松弛問題的最優解不會剛好滿足變量的整數約束條件，因而不是整 數規劃的可行解，自然就不是整數規劃的最優解。我們用Matlab 6.5中函數 x,fval=li nprog(C,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)求解出來的當高級工程師人數變化時出現了小數現象，就是上述所述的問題。此時，若對松弛問題的這個最優解中不符合整數要 求的分量簡單的取整，所得到的解不一定是整數規劃問題的最優解，甚至也不一定是整 數規劃問題的可行解。基于這個問題我們引入了解這個模型的第二種方法。模型U :基于LinD06.O的整數規劃方法：對于該

17、問題我們有同于4.1的目標函數及約束條件，即MaxZCXi, jij1s.t.X11X12X13X149X21X22X23X2417X31X32X33X3410X41X42X43X445X11X21X31X4110X12X22X32X4216X13X23X33X4311X14X24X34X4418X113X125X132X142X24841Xii , X14 , X34 , X41 , X43X12 , X13 , X21 , X22 , X23 , X24 , X31 , X32 , X33)XjX42X44用Lindo6.0求解問題,程序具體見附錄2:得出數據 X=1,5,2,1,6,3,

18、6,2,2,5,2,1,1,3,1,0TMaxZ=CX=27150結果跟方法一的相同，從而也驗證了結果的正確性。下面著重通過人數變化（其他因素都不變）對公司最大效益的影響進行分析，得出下列 數據：高級工程師人數變化總人數公司效益最大值（單位為元）94127150104227850114328550124429250134529250工程師人數變化總人數公司效益最大值（單位為 元）174127150184227700194328250204428800214529350:224629900234730450244831000254931550265032100275132150285232150

19、助理工程師的人數變化總人數公司效益最大值（單位為 元）1041271501142276301243281101344285901445290701154629550164730030174830510184930990195031470205131950215232430225332910235433390245533870技術員人數的變化總人數公司效益最大值（單位為 元）5412715064227590743280308442847094528910104629250114729590124829930134930270145030410155130410四. 模型分析：主要采用靈敏度分析法

20、：上面表格中除了告訴我們問題的最優解和最優值以外，還能挖掘出許多隱含著的有用信息：1.（在允許圍）每增加一個高級工程師使得公司效益增加700元，如高級工程師的人數從9個增加到10個公司效益就增大了 700元。增加一個工程師使得公司效益增加 550 元，增加一個助理工程師使得公司效益增加 480元，增加一個技術員使得公司效益增加 440元，上面公司效益的增加可以看作人數的潛在價值稱為“影子價格”，|即高級工程師的影子價格是700元，工程師的影子價格是550元，助理工程師的影子價格是 480元， 技術員的影子價格是440元。2. 當目標函數的系數發生變化時（假定約束條件不變），最優解會改變嗎？帶著

21、這個問 題，我們又用Lindo6.0軟件進行了單個系數變化的處理.即在最初的最優解不變的情況 下，求出各系數允許的變化圍（以其他系數不變作為前提，求出一個目標系數變化的圍）。 D公司不需要技術員，C公司對高級工程師的人數是常數 2,所以他們不會對最終公司效 益產生影響，這里就只分析其他的自變量前的系數的變化。列出表格如下：此變 量前 的系 數X11X12X3X14夫1X22X23X24允許 的變 化圍0-1249751- +0- +0-1249551- +551-650551- +0-599公司 效益 變化 幅度15216362此變量X31X32X33X34X41X12兒3前的系 數允許的變化

22、圍0-529480- +0-5800-5300- +0- +0- +公司效 益變化 幅度2521131說明：表格的第一行表示列出的各變量 Xj前系數（表格中就用變量代替表示）。第二行表示在最優解不變的情況下其系數的變化圍。如0-1249是指其前面的系數從0變化到1249元，最優解都是不會變化的。第三行表示當變量前面的系數在這個圍變化時，雖然最優解不發生變化，但是最優 值將發生變化，目標系數變化一個單位時，最優值以表格中列的數值為幅度變化。而還 可以發現這個幅度就是得出的最優解里的相應項目中具體人員分布的人數，我們得出的最優解是X=1,5,2,1,6,3,6,2,2,5,2,1,1,3,1。由上

23、述表格還可以畫出最大公司效益與目標系數的關系圖，這里只列舉 X11，X12,X 13, X22前面目標系數變化時，最大公司效 益和目標系數的變化關系。同理其他的都可以歸結為這四類中的一類。如下圖：紅線表 示的就是上面表格中列的最優解保持不變時，系數變動對最優值的影響區域。對上面圖形說明：各個圖中的黑點(即折線的交點)表示最優解發生變化的臨界點。 用這個分析結果很容易看到，若某一個工程項目只增加其中一種技術人員的收費標 準時(該工程中其他技術人員的收費標準和其它項目中人員的收費標準，人數需求均保 持不變)，可以使公司的最大效益增加，但是人力資源調度不變。這樣公司可以根據這 個標準跟對方商談價格，

24、在一定的人數圍，公司的領導階層可以盡可能地提高收費標準， 為公司獲得最大的效益；同時對需求方來說他則要出低一點的收費標準來得到項目需求 的人數，這樣需求方可以使支出大大減小。這個盡可能低的工資從理論上來說有的甚至 可以達到零值，但是這是不符合實際情況的。主要原因是我們算出來的是理論值，從理 論上來說是可以的。我們不能說只根據理論而去采取使高級工程師的工資為250元(固定工資)，而技術員的工資還是500元這樣的收費標準，即使是人員分配還是符合項目 的要求。這就要求公司和需求方共同商議來達到一個較好的值，所以模型要跟實際聯系 起來才能得到更好的實際意義。3. 對上面的第1點的人員分配做進一步的分析

25、：(1) .對于高級工程師來說，隨著高級工程師單位人數的增加，最大公司效益以700元的幅度遞增。但是當人數增加到 12人時，最大公司效益卻不再增加。此時在達到這 個最大公司效益的上限值時，對應著一個總人數是44( <55)。為什么會出現這個現象呢？ 按照正常的想法應該是高級工程師越多越好。但在此題中對此很好解釋，因為高級工程 師的人數都有一個上限，即他不能像我們想象的那樣可以無限增加直到 55。又由于實際 中高級工程師相對稀缺，而且是質量保證的關鍵。因此各個項目客戶對高級工程師的配 備有不能少于一定數目的限制是需要的。(2) .對于工程師來說，同樣隨著工程師單位人數的增加，最大公司效益以

26、550元的幅度遞增。當人數達到27人時，最大公司效益也不再增加，而是保持在27150元這個值不變。此時的總人數是 51（55），又出現了這樣的現象。顯然這里并不是純粹的如上 面的原因，仔細觀察上面的數據圖可以看到此時 A、B、C三個項目都已經達到了最大的 約束項限制，而在D地卻沒有達到，從這里就可以得出主要原因是在D地，同樣的在D地對工程師的人數需28,又是上面提到的存在上限的問題。（3）. 對于助理工程師來說，隨著助理工程師單位人數的增加，最大公司效益以小一 點的值 480 元的幅度遞增。當人數達到 24人時，已經達到了使最大公司效益不變的值， 此時最大值 33870元，此時總人數剛好達到題

27、目限制的最大值 55人，得到了較好的人 數分配，使得每個工程項目都能有足夠的人力資源來進行工作。（4）. 對于技術員來說， 相對于技術員單位人數的增加， 最大公司效益也是以幅度 440元來遞增。雖然技術員并沒有像上面所說有上限的限制，但是在最大公司效益不再改變 時，技術員有 14 人，此時總人數是 50 人，并不能達到 55人。此時最大公司效益已經 達到了 30410 元。這里雖然沒有像上面所說的上限約束的限制，可是人數還是不能達到 最大分配。這里還是要從題目表格里仔細觀察發現：D地由于技術要求較高，技術員不能參加。這里就給了人數一個很大的限制，所以技術員在是A, B, C三地達到最大滿足后不

28、能再增加了。這個分析結果對實際應用很有價值。像這里 A，B，C, D四個項目共需要55個人， 當公司有足夠的人員來分配給他們時，如果它不加考慮的就分配這樣會出現人員浪費。 比如就拿技術員來說，他達到 14人時公司效益不再增加。公司如果分配了 18人給需求 方，這樣這四個技術員就好似沒有得到任何利潤，就存在著這種浪費現象。實際中公司 接手的項目往往有很多個，這里人員分配就顯得更加重要，否則很可能會出現分配了這 里而在那里得不到滿足。可見考慮這個問題是非常必須的。用這個模型可以很方便的解 決這些問題。五. 模型的改進與推廣：（1）以上的模型還沒有講到各級技術人員分別對公司效益的產生影響。實際情況

29、中，不同級別的技術人員對公司的效益都是不同的，下面我們就以問題為代表來討論高 級工程師、工程師、助理工程師、 技術員在整體上和人均上每天為公司所創的效益。 （注： 在這里我們假設在C、D兩個項目中每人每天不需要 50元的管理開支費。）那么，在整 體上：9 個高級工程師每天為公司所創的純收入為：1000 115005 1300 2 1000 1250 99850（元）17個工程師每天為公司所創的純收入為：80068003900680022001710800（元）10個助理工程師每天為公司所創的純收入為：6002700570027001170105100（元）5個技術員每天為公司所創的純收入為：5

30、00160034001500011052150（元）各級技術人員整體上每天為公司所創的純收入（表1）在人均上：每個高級工程師每天為公司所創的純收入：9850 9 1094.4（元）每個工程師每天為公司所創的純收入：10800 17 635.3（元）每個助理工程師每天為公司所創的純收入：5100 10 510（元）每個技術員每天為公司所創的純收入：2150 5 430（元）從上面表1中可以看出高級工程師和工程師在公司中所起的作用是舉足輕重的，由 此可見一個公司若沒有高技術人員的加盟，它的效益就不會高，在激烈的競爭中就很難 立足，有可能就會面臨破產的悲劇。從表2中可以看出高級工程師每天人均為公司所

31、創的純收入是十分可觀的，正因為如此現在無論各個行業各個部門都希望高素質人才加盟自己的隊伍，而國際上也把科學技術作為衡量一個國家綜合國力的重要標志，這也印證了“科學技術是生產力”的道理，符 合當今社會現實潮流。六. 模型評價：模型的優點如下：1）模型的主體采取L軟件處理數據和對其進行靈敏度分析，準確性高，容量大，邏輯 性嚴格，計算速度快，具有較強的說服力和適應能力。2）動態的分析了各種人員人數變化對公司效益的影響和各種人員收費標準變化對公司 效益的影響。3）從單純的問題分析中，預見到了現今社會對高技術人才的需求程度。模型的缺點如下：1）我們在靈敏度分析中，對模型中最優值的影響因素只是從單個方面的變化考慮。不是十分的全面參考文獻1. 胡運權，郭耀煌運籌學教程清華大學19982. 啟源,金星,葉俊.數學模型.高等教育.20033. 靜， 但琦.數學建模與數學實驗（第二版）.高等教育2003附錄1:A=1 1 1 1 0 0 0 0 0