1、二倍角的正弦、余弦、正切”教學設計設計理念： 根據皮亞杰的認知發展理論，在個體從出生到成熟的發展過程中，智力發展 可以分為具有不同的質的四個主要階段： 激活原有認知結構、 構建新的認知結構、 嘗試新的 認知結構、 發展新的認知結構。 發展的各個階段順序是一致的， 前一階段總是達到后一階段 的前提。階段的發展不是間斷性的跳躍， 而是逐漸、持續的變化。 皮亞杰的認知發展階段論 為發展性輔導中學生智力發展水平的評估和診斷，提供了重要的理論依據。教學內容： 普通高中課程標準實驗教科書（數學）必修4（人教 A 版），第三章、第一節、第 145148 頁。“二倍角的正弦、余弦、正切”是在研究了兩角和與差的

2、三角函數的基礎上研究具有 “二倍角” 關系的正弦、 余弦、正切公式， 它既是兩角和的正弦、 余弦、正切公式的特殊化， 又為以后求三角函數值、 化簡和證明提供了非常有用的理論工具， 通過對二倍角公式的推導 知道： 二倍角公式的內涵是“揭示具有倍數關系的兩個角的三角函數的運算規律”，通過推導還讓學生了解高中數學中由“一般”到“特殊”的化歸數學思想，因此這節課也是培養學 生運算和邏輯推理能力的重要內容，對培養學生的探索精神和創新能力都有重要意義。教學目標： 根據新課程標準的要求、本節教材的特點和學生對三角函數的認知特點，我 們把本節課的教學目標確定為：1、能從兩角和的正弦、余弦、正切公式出發推導出二

3、倍角的正弦、余弦、正切公式， 理解它們的內在聯系，從中體會數學的化歸思想和數學規律的發現過程。2 、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通過對二倍角公式的正用、逆用、變形使 用，提高三角變形的能力，以及應用轉化、化歸、換元等數學思想方法解決問題的能力。3 、通過一題多解、一題多變，激發學生的學習興趣，培養學生的發散性思維、創新 意識和數學情感，提高數學素養。學情分析：我們的學生從認知角度上看，已經比較熟練的掌握了兩角和與差的三角函數的基礎上。從學習情感方面看，大部分學生愿意主動學習。從能力上看，學生主動學習能力、 探究的能力、較弱。教材分析：對公式的引入改變了教材中直接填結果的做法，而是通過提出

4、問題，設置情景對和角公式中的角 二、.的關系特殊情形二 時的簡化，讓學生探討發現、推證得出二倍角公式，這樣學生會感到自然， 好接受，并可清晰知道和角的三角函數與二倍角公式的 聯系，同時讓學生學會怎樣發現數學規律，并體會到化歸（這里是將一般化歸到特殊）這一基本數學思想在發現中所起的作用，對教材的例題則有所增減，處理方式也有適當改變。教學重點、難點重點：使學生在掌握了和角、差角公式后如何將和角公式化為二倍角公式，以及公式的兩種變形和公式成立的條件；如何學會去發現數學規律，并體會化歸、轉化等基本數學思想在發現中所起的作用，能正確應用這些公式進行三角化簡、求值、證明等。難點：靈活應用二倍角公式變形的態

5、式，熟練解三角綜合題。教學過程一、復習啟發、設置情景、引出正題1、（復習性提問）：請同學回顧兩角和的公式（學生回答，教師板書）sin（ct + sin a cos + c c*s a sin ,5cos（a += coscos/9- sinsin 0y 皿 tan« + tantan （cr -b =二'1 - tan a tan2、（探索性提問）當上述公式中角 匸、具有特殊化關系二時，公式變為什么形 式？請一名學生到黑板上演示簡化，其他同學在座位上做。學生板書:皆in（切 + =sin 已ex e + 亡g& n 當in 2a- 2占慌 a c os ac<i

6、s（£T+ cr） = cos acos<r- sin ctsin ex cos2cr = cos cc- sin a、 tan ec 十 tan U小2 tan Gtan（0f+ 民）n tan 2a=1- tan detail cr1- tanJ a3、集體訂正后，引導學生觀察其結構，并指名回答觀察結果（學生回答：左邊角均為】二，右邊角均為二，具有“二倍”關系）4、引入正題師：肯定學生觀察結論準確，并加以說明公式中蘊含著“對稱”、“和諧”之美教師板書（放幻燈片）sin 2zf= 2sin二倍角公式簡記為cos 2a -匚os cr - sin a2 tan erten 2c

7、e=r；1 - tan Jb.即為我們今天要學習的二倍角公式【設計意圖：復習已學公式，對其特殊化。讓學生學會從“一般”到“特殊”的化歸方 法，從而達到“溫故知新”的教學目的】二、引導探究、深化認識1、回憶推導過程，讓學生明確二倍角公式是和角公式的特殊情形。知道二者之間的聯2、（探索性提問）對：cos 2盤=閔/ a-sm 2心中的平方聯想到s山圧+皿岸 心=1 , G口有無其他變式?（學生探索、總結得出兩種變式：I. -： - I - $）3、（深化性提問）：有了這組二倍角公式，我們是否可以放心大膽的應用呢?（學生：不能，要注意公式成立的條件）引導學生聯想和角公式的條件，禾U用類比的方法，探索

8、出二倍角公式的條件C2sjt . cosZn - cos or - sin 盤（盤 亡尺）:tan =2 tan a z 天& 口憑卞 仝 m h且盤h 十上打，七e7n l-tana:4 22指出：尤其注意 匚-成立的條件【設計意圖：引導學生應用聯想、類比的教學思想、得出公式成立的條件】4、（探索性提問）在匚中，當左邊的7T（7 = -h 匕（上 E Z）時，雖然右邊的存在，但左邊的 二二二工存在，能否用'一求t二；二？該怎樣求?引導學生：改用誘導公式:tan 2a = tan+此打）=1311（加 + 七殲=tan 7T= 0【設計意圖：引導學生對特殊情形，另辟蹊徑，尋找求

9、解依據，培養學生細致、靈活 的探索習慣】5、二倍角公式中的倍數關系是相對的，為深化對二倍角公式的理解，出示一組填空題（放幻燈片）（1）填角sin 4T= 2sin coscos3_- sin1_ - 2cos3_-1 三 1 - Ssin 32tan_1 - tan2(2)(填-二 L 號)般情況下:sin 2住_ 2;in a, cos 2揺_ 2 匚加 e,tan 2fl?_ 2tan 分【設計意圖：通過填空，讓學生靈活理解“二倍角”的含義，根據學生易混點，類比公式，展開訓練，達到“跨越障礙、突破難點”之目的】三、鞏固公式，學習應用出示四道例題，學生分組訓練，每組一題，做完后組內交流，訂正

10、答案，最后教師引導學生小結方法、技巧、要點、解題規范等。放幻燈片（第一組學生做）例 1、不查表，求下列函數值 sin 6730 cos 673(2) cos5-sin1-83 2tan 22.5e '1 tar? 22 亍(4)15-cos 15_ l-2sia3 【設計意圖：通過直接應用公式、間接應用公式、一題多解，鞏固二倍角公式】（第二組學生做）例2、已知：-，求讓丄二 V：皿件二丄1的值。講評：此題目中對角 二有范圍限制，做題中應注意什么？僅知道：工二值,欲求二倍角正 弦、余弦、正切，先需要知道什么？ 在求值時，要靈活應用亠三種等價形式 并注意在求解過程中要盡量使用已知的原始數據

11、，減少錯誤的可能性【設計意圖：由淺入深，鞏固公式，培養學生規范、科學解題的能力 ，教給學生小結解題 經驗，做后反思】1- tan2 61 + sin 4-cos 4& 1+sin 43+ cos4（第三組學生做）例3、證明講評：證法1等價證:2 tan 日1 + sincos 4 _ 2 tan證法2：等價證：丄一一 id /證法3:巧妙應用“ 1”，即用“-丄代換，后略。【設計意圖：讓學生學會等價證明、轉化證題及一題多證，以培養學生數學思維的靈活性、散發性及創造性思維，加深鞏固二倍角公式和綜合應用已學過的技巧證題】（第四組學生做）例4、利用三角公式化簡講評：此題技巧是：先將“切化弦”

12、，然后用已學過的知識和二倍角公式化簡【設計意圖：復習應用所學知識解簡單三角綜合問題，培養學生綜合解題應用能力】四、提煉總結放幻燈片（1）在兩角和的三角函數公式 “廠' -'-"中，當*時，就可得到二倍角的三角函數公式'J '丄。說明：后者是前者的特例。（2 ）-'兒中角耳沒有條件限制，而“中，只有JT fc?r 口7T -, 3斤 a 否 一+ 且口杏一-ZJ時才成立。a a（3）二倍角公式不僅限于二4是耳的二倍形式，其他如上門是-門的二倍，；是的3a二倍，三二是的二倍等等都適用，要熟悉這些多形式的兩個角的倍數關系，才能熟練地 應用好二倍角公式

13、，這是靈活應用公式的關鍵。匚8 2口有三種形式： cow 2二eq捫 銳一曲血 耳二2匚尿 a- 1二1一 2sin a。要依據條件靈活應用公式，另外逆用此公式時更要注重結構形式。【設計意圖：使學生對本節課所學知識的結構有一個清晰的認識，抓住重點、難點, 關鍵進行課后復習鞏固 】五、作業布置：必做：教科書 P150習題3.1A組14、15【設計意圖：培養學生自覺學習的習慣，檢查學習效果，及時反饋，插漏補缺】選做：（1 ）用十 二表示口匸匕、：門二二（即推導三倍角公式）C ,求的值4國 cost（2）已知：-。【設計意圖：對學有余力的學生留出自我發展的空間，嘗試能力，拓展創新】設計思路：1、本節

14、公式比較多，首先要搞清楚各公式之間的內在聯系，也就是要很好地理解上面的知識結構圖，其次理解如何由和角公式推導倍角公式，然后明確倍角的含義， 熟練地運用倍角公式進行求值、化簡等三角運算及恒等變形。2、在三角式的運算及恒等變形過程中，除了倍角公式外，也離不開前面所學的同角三角函數關系、誘導公式以及和角公式等，它們是一個有機整體。在解題過程中要求學生先分 析條件與求解目標之間的差異，選擇恰當的公式進行轉化溝通，然后明確解題思路， 設計解題步驟，完善解答過程，培養邏輯思維能力。3、我們通過一題多解，使我們學會數學思考與推理，訓練發散性思維，培養創造新意 識，提咼數學素養。4、以公式特殊情形-：；化簡為切入點以學生探索、推導、應用為主線 以學生發展能力為目的板書設計:1、探索袴殊情形”引岀課題廣1L 2aT &