1、PDE數(shù)值計(jì)算的有限差分法圖像處理的PDE方法對(duì)給定的PDE往往很難求其解析解，尤其是在實(shí)際問(wèn)題中，這就需要求助于數(shù)值計(jì)算以獲取該問(wèn)題的近似解，常用的PDE數(shù)值方法有有限差分法、有限元法和譜法等，其中，有限差分法應(yīng)用得最為廣泛。因?yàn)榇幚淼膱D像通常已經(jīng)是在二維空間中，按等采樣而得到的離散化數(shù)字圖像，這就自然構(gòu)成了有限差分法所需要的等分網(wǎng)格（Grid）。1、有限差分格式有限差分的基本思想是：利用相距有限距離的兩鄰點(diǎn)的函數(shù)值的差與兩點(diǎn)間距離的比值來(lái)近似函數(shù)對(duì)變量的偏導(dǎo)數(shù)。例如，用向前差分來(lái)近似對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)，即對(duì)于空間中的一階偏導(dǎo)數(shù)，除上面的向前差分外，還有向后差分、中心差分等，如下：向前差分：后

2、向差分：中心差分：根據(jù)泰勒展開(kāi)式，有因此可得說(shuō)明向前差分和向后差分是一階精度的。同時(shí)，由于可得說(shuō)明中心差分是二階精度的。當(dāng)偏微分議程中含有二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，同樣采用有限差分進(jìn)行處理，先求出兩個(gè)半點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)中心差分，如下：，然后再利用這兩個(gè)一階差分，作一次中心差分，得：對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù)，同樣采用類(lèi)似的方法來(lái)處理，如下：其中因此，2、顯式、隱式和半隱式方案以一維Burgers方程來(lái)說(shuō)明幾種PDE的數(shù)值計(jì)算方案。首先建立如下圖所示的網(wǎng)格，然后利用上面的有限差分來(lái)近似其中的導(dǎo)數(shù)。（1）顯式方案。假定在時(shí)刻的函數(shù)值已經(jīng)求出，為了計(jì)算下一時(shí)刻的函數(shù)值。我們對(duì)左邊采用向前插分，右邊采用向前插分，則該方程可以

3、表示為即這樣可以直接計(jì)算出所有的層的未知數(shù)據(jù)。（2）隱式方案。如果在建立差分方程時(shí)，右邊所有與有關(guān)的全部采用層的數(shù)據(jù)，如上式可以改寫(xiě)為：這樣一來(lái)，在為已知的條件下，得到了一個(gè)方程組，用來(lái)求解。隱式方案得到的方程組往往是非線性的，雖然可以采用某些方法求解，但相比顯式方案畢竟困難得多。它的主要優(yōu)點(diǎn)是穩(wěn)定性高。（3）半隱式方案。為了利用隱式方案的穩(wěn)定性，有時(shí)將其中的一部分?jǐn)?shù)據(jù)使用層的數(shù)據(jù)，另外一部分采用層的數(shù)據(jù)，這樣的方案稱(chēng)為半隱式?？梢岳冒腚[式方案將非線性方程變?yōu)榫€性方程，在數(shù)值求解上容易得多，同時(shí)還具有高穩(wěn)定性的優(yōu)點(diǎn)，因而半隱式方案是使用較廣泛的一種數(shù)值方案。3、一致性、穩(wěn)定性與收斂性將有限差

4、分離散化，通過(guò)顯式、隱式或半隱式的方案，從一個(gè)偏微分方程得到一個(gè)代數(shù)方程組，根據(jù)初始條件，逐步計(jì)算出。問(wèn)題：這樣計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際的解有多大的差距？（1）一致性。將差分方程用有限差分表示出以后，會(huì)得到如下的形式：如果假設(shè)是PDE問(wèn)題的真實(shí)解，用和替換上式中的左邊和右邊，則等式不再成立，其差值為稱(chēng)之為截?cái)嗾`差。如果假設(shè)在第層是精確的，即（），代入差分方程后所得到與真實(shí)解之間的誤差。例如，對(duì)時(shí)間偏導(dǎo)采用向前差分，而對(duì)空間偏導(dǎo)采用中心差分，則所得到的截?cái)嗾`差可以表示為。不論差分方案是一階精度，還是更高階精度，它至少可以保證當(dāng)時(shí)，有滿足該式的有限差分格式被稱(chēng)為是一致的。（2）穩(wěn)定性。滿足一致性只是差分方

5、程的一個(gè)最基本的要求，它沒(méi)有考慮在多次迭代中誤差的積累和傳播性質(zhì)。當(dāng)在迭代過(guò)程中所產(chǎn)生的誤差始終保持在足夠小的范圍之內(nèi)， 這種有限差分才是實(shí)現(xiàn)PDE的可用的數(shù)值方案。具有這種性質(zhì)的有限差分格式稱(chēng)為穩(wěn)定的。對(duì)有限差分格式的穩(wěn)定性分析沒(méi)有普遍適用的格式，以Fourier分析作簡(jiǎn)單的介紹。首先，對(duì)第層數(shù)據(jù)作序列Fourier變換（SFT），可得當(dāng)序列平移時(shí)，根據(jù)SFT的性質(zhì)，有根據(jù)有限差分，可以得出利用SFT的性質(zhì)，可以求出層數(shù)據(jù)的SFT與第層數(shù)據(jù)的SFT這間的關(guān)系。當(dāng)差分算子為線性算子時(shí)，這種關(guān)系可以表達(dá)為這說(shuō)明，一次迭代計(jì)算可以看成是一個(gè)線性濾波，而就是算子數(shù)字濾波器的傳輸函數(shù)。進(jìn)一步，利用迭代

6、算法的遞推性質(zhì)，可得該式表明，為使初始時(shí)的誤差不至于無(wú)限擴(kuò)大，應(yīng)該要求例 考慮線性對(duì)流方程的穩(wěn)定性。，若對(duì)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都采用向前差分，則可得（1）其中稱(chēng)為網(wǎng)格比。不失一般性，可取，此時(shí)網(wǎng)格比取決于時(shí)間步長(zhǎng)。對(duì)（1）式兩邊做SFT得因此有進(jìn)一步可得因此無(wú)論時(shí)間步長(zhǎng)如何取值，只要，該方案都是不穩(wěn)定的。例 線性熱方程。采用顯式方案，有即其中。進(jìn)行SFT變換得因此有因而當(dāng)時(shí)，只要，則，方案是穩(wěn)定的。對(duì)于隱式方案和半隱式方案，可以采用同樣的方法分析其穩(wěn)定性。（3）收斂性。利用有限差分作數(shù)值計(jì)算時(shí)，同時(shí)需要關(guān)心的問(wèn)題有：差分方程的解與偏微分方程的真實(shí)解之間，在任何網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)的誤差在時(shí)，是否趨向0？如果有這一性質(zhì)

7、，則稱(chēng)其為收斂的。對(duì)于收斂性的判斷較一致性和穩(wěn)定性更為復(fù)雜。我們直接套用一個(gè)結(jié)論：有限差分格式同時(shí)具有一致性和穩(wěn)定性等價(jià)于該差分格式具有收斂性。4、CFL條件其主要目的是討論P(yáng)DE的穩(wěn)定性條件，例如討論為保證迭代的穩(wěn)定性對(duì)網(wǎng)格比提出的要求等。5、邊界條件的離散化實(shí)現(xiàn)方法討論P(yáng)DE的定解問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)PDE的定義域是一個(gè)開(kāi)域，即不含邊界，的邊界用表示。有時(shí)將內(nèi)的點(diǎn)稱(chēng)為內(nèi)點(diǎn)，將上的點(diǎn)稱(chēng)為邊界點(diǎn)。只有內(nèi)點(diǎn)參與PDE計(jì)算，但在計(jì)算中需要用到邊界點(diǎn)的值。以下討論常用的第一類(lèi)和第二類(lèi)邊界條件的實(shí)現(xiàn)。（1）為矩形。對(duì)第一類(lèi)邊界條件（Dirichlet條件），如果假定是的矩形，給定的（）可用四個(gè)一維數(shù)組來(lái)表示，分別是、，其中，定義如下：這樣，除四個(gè)角未確定外，已經(jīng)將擴(kuò)大為的二維數(shù)組，如下：對(duì)于第二類(lèi)邊界條件（Neumann條件），在矩形邊界的情況下，左邊界的法方向與軸一致，因此有因此有。右邊界的法方向與軸方向相反，因此有即。在實(shí)現(xiàn)第二類(lèi)邊界條件的擴(kuò)展時(shí)，邊界點(diǎn)的函數(shù)值是隨時(shí)間發(fā)生改變的，即使中不含有時(shí)間，它們也會(huì)隨內(nèi)點(diǎn)值的改變而改變，因此拓展要在每次迭代中進(jìn)行，這一點(diǎn)區(qū)別于第一類(lèi)邊界條件。那里，如果