1、山東省泰安市泰山中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)四模試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有 一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合 M 二0, 1, 2, N=UI x-3aH-2<0,貝 IJMGN二A.1B. 2C.0, 1D. 1, 22 .已知復(fù)數(shù)z滿足(1+力臼莊+小3為虛數(shù)單位，則廣A.1- 2B i+yC. /D. + /2 22 23 .若向量 a, 6滿足回=1, (46)_La, (2/6) J_6,則例=A. 1B. 2C. D.應(yīng)24 .已知拋物線E：/二2ry(p>0)的焦點(diǎn)為F, 0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OF為菱形0BFC的一條對(duì)角

2、線， 另一條對(duì)角線BC的長(zhǎng)為2,且點(diǎn)B, C在拋物線E上，則斤A. 1B. >/2C. 2D. 2近5.已知S.是等差數(shù)列&的前A項(xiàng)和,則"S.>A4對(duì)恒成立”是“小島”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4卡 AB7 .已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)Xlogjz?) W3,則m的取值范圍是A. (0, 2B. -,228 .如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AOB1 分別為AD, BC的中點(diǎn)，則異而直線AN,CD,當(dāng) (-8, 0時(shí)，f(x)二一/+2x,若實(shí)數(shù) s滿足C. (0, 8D. -,88)=CD=3

3、, AD=BC=2,點(diǎn) M, N/CM所成的角的余弦值是次C-1-第8題圖6.函數(shù)/。)= "一1)8$N一；1<<乃且%工0)的圖象可能為XA.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是A.某大學(xué)為了解在校本科生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校 四個(gè)年級(jí)的本科生中抽取一個(gè)容量為300的樣本進(jìn)行調(diào)查。已知該校一、二、三、四年級(jí)本 科生人數(shù)之比為6： 5： 5： 4,則應(yīng)從一年級(jí)中抽取90名學(xué)生B. 10件產(chǎn)品中有7件正品，3件

4、次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率為L(zhǎng)2C.已知變量又與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得工=3, y=3. 5,則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是y =0. 4x+2. 3D.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球是兩 個(gè)互斥而不對(duì)立的事件10.已知定義在(0,£)上的函數(shù)F(x), f (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，且恒有cosxf (x)+sinx£(x) 2V0成立，則A. /(£)>V2/()B. /(£)>/)6 463c.心節(jié)心D.歷心R心7 36411.設(shè)函數(shù)g(x)=sin3x(a>

5、;0)向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)f(x),已知f(x)在0,2句 SCO上有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A. f(x)的圖象關(guān)于直線x = £對(duì)稱2B. f(x)在(0, 2開(kāi))上有且只有3個(gè)極值大點(diǎn)，f(x)在S，2開(kāi))上有且只有2個(gè)極小值點(diǎn)C. f(x)在(0, 2為上單調(diào)遞增12 29D. 3的取值范圍是上，二5 1012.如圖，在矩形ABCD中，M為BC的中點(diǎn)，將4418沿直線AM翻折成ABM 連接員D, N為B,D的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是A.存在某個(gè)位置，使得CNJ_ABiB. CN的長(zhǎng)是定值C.若 AB=BM,則 ANLLB1DD.若AB=BM=1

6、,當(dāng)三棱錐及一AMD的體積最大時(shí)，三棱錐Bt-AMD的外接球的表面枳是4萬(wàn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13 .某藥廠選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有 志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為12, 13）, 13, 14）, 14, 15）, 15, 16）, 16, 17, 將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二 組，第五組，如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，則第三組的人數(shù)為14 .（工一1）（1一回4的展開(kāi)式中式的系數(shù)為 . X15 .已知函數(shù)/>（幻=（°83（*+1）一2/*（）,則一一2020）二 .

7、 /（a + 3）,x<016 .已知直線2： 3廿4川片0,圓C： x'+/-4.什2=0,則圓C的半徑產(chǎn) ；若在圓C Jt存在兩點(diǎn)A, B,在直線上存在一點(diǎn)P,使得NAPB=90° ,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17. （10 分）請(qǐng)從下而三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.啟+而辰=-6 £+3=52AABC的面積為3厲在ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c,己知642, cosA=-t 求a：-3-求cos(2C + &

8、#163;)的值. 618. （12 分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底而ABCD為正方形，PA_L平而ABCD, PA二AB, E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn).（D求證：AE_L平面PBC；試確定點(diǎn)F的位置,使平面AEF與平而PCD所成的銳二面角為300.19. （12 分）已知等差數(shù)歹的公差40,左二7,且加4，5為成等比數(shù)歹U.求數(shù)列QJ的通項(xiàng)公式；若數(shù)列6J滿足一一L = 勺（eN*）,且6k1,求數(shù)列8的前項(xiàng)和L. %2320. （12 分）某工廠為了提高生產(chǎn)效率，對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造，為了對(duì)比技術(shù)改造后的效果，采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長(zhǎng)度（單位：

9、天）數(shù)據(jù)，整理如下：改造前：19, 31, 22, 26, 34, 15, 22, 25, 40, 35, 18, 16, 28, 23 , 34, 15, 26, 20, 24, 21改造后：32, 29, 41, 18, 26, 33, 42, 34, 37, 39, 33, 22, 42, 35 , 43 , 27, 41, 37, 38, 36（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異？超過(guò)30不超過(guò)30改造前改造后（2）工廠的生產(chǎn)設(shè)備的運(yùn)行需要進(jìn)行維護(hù)，工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)， 保障維護(hù)費(fèi)兩種.對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為

10、T天（即從開(kāi)工運(yùn)行到第AT天,ACN4）進(jìn)行維 護(hù).生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周 期內(nèi)，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)，而不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi)：若生產(chǎn) 設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外，還產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi).經(jīng)測(cè)算，正常維護(hù)費(fèi) 為0. 5萬(wàn)元/次：保障維護(hù)費(fèi)第一次為0. 2萬(wàn)元/周期，此后每增加一次則保障維護(hù)費(fèi)增加 0.2萬(wàn)元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期（以120天計(jì)）內(nèi)的維護(hù)方案：T=30, k=l, 2, 3, 4. 以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率，求一個(gè)生產(chǎn)周期n(ad -be)2附：K內(nèi)

11、生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的分布列及均值.(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)P心*)0. 0500.0100. 001k3.8416. 63510. 82821. (12 分)2已知橢圓Q：二+二= l(n>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是雙曲線a：工一 V =1的左、右焦點(diǎn), er lrnr且C,與儀相交于點(diǎn)(33(1)求橢圓a的標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)直線上y = 6-L與橢圓C1交于A, B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓是否恒過(guò)定點(diǎn)?若恒 過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)：若不恒過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.22. (12 分)已知函數(shù)/(x) = (x 2)e*+x + 2, F (x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)

12、證明:當(dāng)*>0 時(shí),f(x)>0：證明：g(x) = (l-sin觀小一f'(x)+2-2在(一肛乃)上有且只有3個(gè)零點(diǎn).數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)13. 1814. 515. -116- " -16,4四、解答題：17. (10 分)解：方案一：選擇條件：(1) AB + AB.BC = AB.(AB + BC) = AB.AC = be cos A =-6-8-/. bc=242 分be = 24b.c = 2解得、b = -4(舍去)c = -6:.a2 =b2 +c2 2bccosA = 36 4-16 - 2 x 6 x 4 x ( -) = 64a=8(2

13、) cos C =lab_ 64 + 36 162x8x6=7 "8= H 邛6分17/ cos2C = 2cos2 C-l = 32sin 2C = 2 sin C cos C = 8分32:.cos(2C + ) = cos 2Ccos - sin 2Csin 666方案二：選擇條件:6410分（1）由：2解得,Z?-c = 2b = 6或 c = 4b = -4,(舍去)-11-/ a2 =b2 +c2 2Z?ccosA = 36 + 16 2x 6x4x() = 644（2）同方案一方案三：選擇條件:(1) VcosA = -4AsinA = 4S&wc = '

14、;csinA =be = 24b-c = 2解得工俗=T A,(舍)c = -6a2 =b2 +c2 -2hccosA = 364-16-2x6x4x(-) = 64a=8（2）同方案一18. (12 分) 解：（1） ；PAJ_平面ABCD, BCu 平面 ABCDAPA1BCVABCD為正方形AAB1BC又 PAAAB=A, PA, ABu 平面 PAB，AEu 平面 PABAAE1BC 4分VPA=AB, E為線段PB的中點(diǎn)AAE±PB又 PBDBC=B, PB, BCu 平面 PBC，AE，平面PBC 6分(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-rz設(shè)正方形AB

15、CD的邊長(zhǎng)為2,則A(0, 0, 0),B(2, 0, 0),C (2,2,0), D (0, 2,0) P (0, 0, 2) E (1, 0,1)/. AE = (1,0,1), PC = (2,2,-2), PD = (O,2,-2)8分設(shè) F (2, X, 0) (0W<W2),衣= (2,40)設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n (xi, zO ifAE = 0則V _nAF = 00,+ & =°2xj + 2 = 0x = -4令yi=2,則, n =(一2,2.2)10 分 設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為止(用，加%)nfPC = 0則 _nfPD = 0.k +

16、 >2-=0 I 乃一Z2=0 令 n=l,則(0,1,1):平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30° , .icos3oi=M= R+a =正 / 一 -砸一功X&萬(wàn)+4一萬(wàn)' 解得入=1, 當(dāng)點(diǎn)F為BC中點(diǎn)時(shí)，平面AEF與平面PCD所成的銳二面角為30°12分19. (12 分)解：(1) &,&, 5合成等比數(shù)列工(q + 5d» = 5al.(% + 2d)整理得4。：=251.57f5 . a1=一或 6 =一一4 22當(dāng)/ = "(/時(shí)92_5 ,«2 =76=51,滿足題意,4 = 2當(dāng)=

17、一|，/ 時(shí)，5 ,Clx = d14由'2解得"=-J,不合題意, _3:.an =5 + 2(n -1) = 2/7 + 3(2)由(1)知，當(dāng)時(shí),(n-1)(5+ 2/1 + 1)2=2+2-3，當(dāng) n22 時(shí)，-=2 %11111 1+，+ 4 =111瓦4仇區(qū)bn a-=n2+2n - 3又n(n + 2)當(dāng) =1時(shí)，h =-!- = - 1 lx(l + 2) 3:電= n(n + 2)10分+1 、/? + 2 >12分_Um_!j_)- 3川+5212 n + n + 2) 4(+ 1)(+ 2)20. (12 分)解：(1)超過(guò)30不超過(guò)30改造前51

18、5改造后155=10 > 6.6352 40(5x5-15x15)'20 x 20 x 20 x 20/-有99%的把握認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異.4分（2）由題知，生產(chǎn)周期內(nèi)有4個(gè)維護(hù)周期，一個(gè)維護(hù)周期為30天，一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)，生產(chǎn) 線需保障維護(hù)的概率為P=1.4設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)的次數(shù)為，則J 8 4,1 一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的正常維護(hù)費(fèi)為0.5x4 = 2萬(wàn)元，保障維護(hù)費(fèi)為=（0.1$+ 0.*）萬(wàn)元，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)需保障維護(hù)4次時(shí)的生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為（0.+。V + 2）萬(wàn)元.設(shè)一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)的一產(chǎn)維護(hù)費(fèi)為X,則X的所有可能取值為2, 2.2, 2.6, 3.2

19、, 48分P(X=2) =81 "2561P(X=2.6) = C：1-1_ 27128P(X =256所以，X的分布列為E(X)=2xIP(X=3.2) = C"I 1-364X22.22.63.24P81256276427128641 25681 27 ” 27 3 x 1f 22 xf 2.6xf 3.2 xf 4x2566412864256162+ 237.6 +140.4+ 38.4 + 4 582.4 .=2.275256256，一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)的均值為2.275萬(wàn)元10分12分21. （12 分）解：（1）將出£代入£一丁= 3 3

20、 "解得/=i:.a1 = m2 + 1 = 22分將殍，制代入+=1I 33 J 2 6解得=1，橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為y+r = l4分(2)設(shè)4(%,)1),5(&,y2)，, 1y = -、.整理得廠 )1+)廣=112 (9 + 185卜2一12 日 16 = 0,2k-16，X + X, =T .不然)=9 + 18二 1 - 9 + 18 攵 2 = 144代 +64（9 +182） > 06 分法一：由對(duì)稱性可知，以AB為直徑的圓若恒過(guò)定點(diǎn)，是定點(diǎn)必在y軸上.8分M4 =(內(nèi),% - %),河8 = (W，n - %)加 MB =為 + (M - >o

21、)= xIx2 + y1y2-y0(yI+y2) + jj=Xg +心也一*I +/)一 九攵(0+%2 )一 =(1 + 二)中2 - g + %)(3 + )+ V： + | >'() + 118(y： l*+9 %+6)，。15yo 1=0,，解得汽=1，月+6% -15 = 0/.以線段AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（0,1）.10分12分法二：設(shè)定點(diǎn)為（飛0），則 瘋=（七 一如 乂一%），耐=仁一玉），、2一%）MAMB = (Xl-x0)(x2-x0)+(yl-y)(y2-yQ)+%)+£+ 3 :卜兒女（$+）一| 十弁=玉 - X。(X + 士 ) + 片 +

22、)' 1>2 - >0 ( X +)'2 ) + >?0-17-10分12分=（1 +公卜/一%+ （% + :卜（%+工）+ X： +）'： +彳為+ 518(玉+- 1)K - 12xk + 9%)2 + 9y。2 + 6% -15=0£ + y； -1 =。/ =。解得 >,()=19xj+9y()+6yo-I5 = O二以線段AB為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（。/）.22. (12 分) 證明：(1) fx) = (x-)ex+ 令 k (工)=" _ 1)爐 +1,則 Z/(x) = X/當(dāng)x>0時(shí)，(x)>0,.r(x)在(o,+s)上單調(diào)遞增， ."(0)=0，寸，r(x)>o, .j(x)在(o,+s)上單調(diào)遞增， 又"0)=0，.去>00寸，y(x)>o.4分(2) g(x) =