1、沈陽備戰中考數學易錯題專題復習-直角三角形的邊角關系練習題一、直角三角形的邊角關系1.如圖，從地面上的點 A看一山坡上的電線桿 PQ,測得桿頂端點 P的仰角是45。，向前 走6m到達B點，測得桿頂端點 P和桿底端點Q的仰角分別是60°和30°.(1)求/ BPQ的度數；(2)求該電線桿PQ的高度(結果精確到1m) .備用數據： 啟1； ,【答案】(1) /BPQ=30；(2)該電線桿PQ的高度約為9m.【解析】試題分析：(1)延長PQ交直線AB于點E,根據直角三角形兩銳角互余求得即可；(2)設PE=x米，在直角4APE和直角4BPE中，根據三角函數利用 x表示出AE和BE,

2、根 據AB=AE-BE即可列出方程求得 x的值，再在直角 4BQE中利用三角函數求得 QE的長，則 PQ的長度即可求解.試題解析：延長 PQ交直線AB于點E,ABE(1) / BPQ=90 -60 =30°(2)設 PE=x米.在直角 APE中，貝U AE=PE=W / PBE=60 °BE西pe植x米,/ BPE=30 °在直角4BPE中，,.AB=AE-BE=6 米，則 x-ix=6,解得：x=9+3則 BE=(3Q+3)米.在直角 4BEQ中，QE=BeX! (3/3+3) = (3+73 )米. 33,PQ=PE-QE=9+3/3 - (3+73) =6+

3、2 Q =9(米).答：電線桿PQ的高度約9米.考點：解直角三角形的應用 -仰角俯角問題.2.在等腰4ABC中，/B=90°, AM是ABC的角平分線，過點 M作MNLAC于點N,/ EMF=135 :將/ EMF繞點M旋轉，使/ EMF的兩邊交直線 AB于點F,請解答下列問題：(1)當/EMF繞點M旋轉到如圖 的位置時，求證： BE+CF=BM(2)當/EMF繞點M旋轉到如圖 ，圖 的位置時，請分別寫出線段 的數量關系，不需要證明；(3)在(1)和(2)的條件下，tan/ BEM=/, AN=、；2+1 ,貝U BM=E,交直線AC于點BE, CF, BM 之間，CF=3 EC圖5

4、A EE 3MC圖【答案】(1)證明見解析(2)見解析(3) 1, 1+)廠或1-*【解析】【分析】(1)由等腰 ABC中，/B=90°, AM是 ABC的角平分線，過點 M作MNXAC于點N,可得BM=MN , / BMN=135 ,又/EMF=135°,可證明的 BME0NMF,可得 BE=NF NC=NM=BM進而得出結論；(2)如圖 時，同(1)可證BMENMF,可得BE- CF=BM, 如圖時，同(1)可證BMENMF,可得CF- BE=BM；(3)在 RtAABM 和 RtA ANM 中,Bf=NIAH二AH'可得 RtAABM RtA ANM,后分別求

5、出 AB、AC CN、BM、BE的長，結合(1) (2)的 結論對圖進行討論可得CF的長.【詳解】(1)證明：. ABC是等腰直角三角形，Z BAC=Z C=45 ;. AM是/BAC的平分線，MN LAC,.BM=MN ,在四邊形 ABMN 中，/, BMN=360 - 90 - 90 -45 =135°, / ENF=135, °,/ BME=/NMF, .BMEANMF,.BE=NF,. MN LAC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,° .NC=NM=BM, ,.CN=CF+NF .BE+CF=BM;(2)針對圖2,同(1)的方法得， BMENMF

6、, .BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45J°, .NC=NM=BM, NC=NF- CF, .BE-CF=BM;針對圖3,同(1)的方法得， BMENMF,.BE=NF, . MN ±AC, /C=45；/ CMN=Z C=45 ,° .NC=NM=BM, ,. NC=CF- NF, .CF- BE=BM;,、_、 -人 fBM三NM(3)在 RtAABM 和 RtAANM 中，, RtA ABM RtAANM (HL.), .AB=AN=/2+1,在 RtA ABC 中,AC=AB=呵+1, .AC= AB=2+,.

7、CN=AC- AN=2+/2 - (V2+1) =1, 在 RtCMN 中，cm=/2CnV2,.BM=BC- CM= +1 -=1,在 RtBME 中，tanZ BEM=*'3，由（1）知，如圖1, BE+CF=BM.CF=BM- BE=1 -由（2）知，如圖 ，此種情況不成立； 由（2）知，如圖32,由 tan/ BEM=。,3, CF BE=BM, .CF=BM+BE=1回,故答案為1, 1+返:3【點睛】本題考查三角函數與旋轉與三角形全等的綜合，難度較大，需綜合運用所學知識求解3.已知RtABC中，/ACB=90°,點D、E分別在BC、AC邊上，連結 BE、AD交于點

8、P, 設AC=kBD, CD=kAE k為常數，試探究 /APE的度數：（1）如圖1,若k=1,則/ APE的度數為;（2）如圖2,若k=J3,試問（1）中的結論是否成立？若成立，請說明理由；若不成立，求出/APE的度數.（3）如圖3,若k=J3,且D、E分別在CR CA的延長線上，（2）中的結論是否成立，請說明理由.由見解析.【解析】分析：（1）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 FAEAACD,得出EF=AD=BF再判斷出/ EFB=90 ；即可得出結論；（2）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 F

9、AEAACD,再判斷出/EFB=90；即可得出結論；（3）先判斷出四邊形 ADBF是平行四邊形，得出 BD=AF, BF=AD,進而判斷出 ACDHEA,再判斷出/ EFB=90；即可得出結論；詳解：（1）如圖1,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,圖1，/FBE=/ APE, /FACW C=90 ；四邊形ADBF是平行四邊形， BD=AF, BF=AD.1 . AC=BD, CD=AE2 .AF=AC.3 / FAC土 C=90 ；4 .FAEAACD,EF=AD=BF / FEA=Z ADC.5 / ADC+/ CAD=90 ；6 / FEA+Z CAD=90

10、= Z EHD.1. AD/ BF,/ EFB=90 . °,.EF=BF/ FBE=45,°/ APE=45 .°(2) (1)中結論不成立，理由如下：如圖2,過點A作AF/ CB,過點B作BF/ AD相交于F,連接EF,，/FBE=/ APE, /FAC4 C=90 四邊形 ADBF是平行四邊形, BD=AF, BF=AD.,. AC=、，3BD, CD=、.3AE,.殷 CD 3BD AE BD=AF,AC CD 3 .AF AE / FACC=90 , .FAEAACD,AC AD BF J3 , / FEA之ADC.AF EF EF / ADC+Z CA

11、D=90 ,° / FEA+/ CAD=90 = Z EMD.1. AD/ BF, / EFB=90.在 RtEFB 中，tan Z FBE=1FBF/ FBE=30,°/ APE=30 ,°-1,33,作 EH/ CD, DH/BE, EH, DH 相交于 H,連接 AH,(3) (2)中結論成立，如圖/ APE=Z ADH, / HEC=Z C=90 :四邊形 EBDH是平行四邊形,1 .BE=DH, EH=BD2 . AC= ,3 BD, CD=§AE,AC CD ,3BD AE3 / HEA=Z C=90 ；4 .ACDAHEAsAD AC 33

12、 , / ADC=Z HAEAH EH5 / CAD+Z ADC=90 ,°6 / HAE+Z CAD=90 ；h / HAD=90 :AH在 RtDAH 中，tan/ADH= 。3 AD '/ ADH=30 ；/ APE=30 ,°點睛：此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，構造全等三角形和相似三角形的判定和性質.4.已知：如圖，在 RtA ABC中，/ACB=90°,點M是斜邊AB的中點，MD/ BC,且MD=CM, DEL AB 于點 E,連結 AD、CD.(1)求證：MEDsBCA；(

13、2)求證：AMDCMD;(3)17cos/ ABC 的設AMDE的面積為Si,四邊形BCMD的面積為a,當S2=S時，求5【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3） cosZABC=-.7【解析】【分析】（1）易證 /DME=/CBA /ACB=/ MED=90 ,從而可證明 MEDs BCA;（2）由Z ACB=90，點M是斜邊AB的中點，可知 MB=MC=AM ,從而可證明ZAMD=ZCMD,從而可利用全等三角形的判定證明AMD0CMD;一SMD 21(3)易證 MD=2AB,由(1)可知：MEDsBCA,所以 二 一，所以SvacbAB 4c 12c - S1MESa mcb=

14、_ Sa acb=2Si ,從而可求出 Sa ebc=S2 - & mcb-S = -S,由于,從而可25SvebdEB知 ME 5 ,設 ME=5x, EB=2x,從而可求出 AB=14x, BC=7 ,最后根據銳角三角函數的 EB 22定義即可求出答案.【詳解】(1) .MD/BC,/ DME=Z CBA / ACB=Z MED=90 ;.MEDsBCA;(2) / ACB=90，點M是斜邊 AB的中點，MB=MC=AM ,/ MCB=Z MBC, / DMB=Z MBC,/ MCB=Z DMB=Z MBC, / AMD=180 - / DMB,/ CMD=180 - / MCB-

15、 / MBC+Z DMB=180 - / MBC,/ AMD=Z CMD,AMD 與 ACMD 中,MD MDAMD CMD ,AM CM .AMDACMD (SAS ； (3) MD=CM, .AM=MC=MD=MB , .MD=2AB,由(1)可知： MEDsBCA,2GSVACBMD1AB4Sa ace=4Si ,.CM是AACB的中線,1 .Sa mcb= Saacb=2S ,22 c.Sa ebd=& - Sa mcb Si= Si ,5§ MESvebdEBSiMEEB，ME 5EB 2設 ME=5x, EB=2x, .MB=7x, .AB=2MB=14x,MDM

16、E1, ABBC 2.BC=10x,BC 10x5cos/ ABC= - -AB 14x 7【點睛】 本題考查相似三角形的綜合問題，涉及直角三角形斜邊中線的性質，全等三角形的性質與 判定，相似三角形的判定與性質，三角形面積的面積比，銳角三角函數的定義等知識，綜合程度較高，熟練掌握和靈活運用相關的性質及定理進行解題是關鍵5 .問題背景：如圖（a）,點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C,使AC與BC的距離之和最 小，我們可以作出點 B關于l的對稱點B'連接A B與直線l交于點C,則點C即為所求.（1）實踐運用:如圖（b）,已知，。的直徑CD為4,點A在。O上，/ACD=30, B為

17、弧AD的中點，P為 直徑CD上一動點，則 BP+AP的最小值為 .（2）知識拓展：如圖（c）,在RtABC中，AB=10, /BAC=45, / BAC的平分線交BC于點D, E、F分別是 線段AD和AB上的動點，求 BE+EF的最小值，并寫出解答過程.【答案】解：（1） 272 .（2）如圖，在斜邊 AC上截取AB' =AB連接BB'. AD平分/ BAC 點B與點B關于直線AD對稱.過點B作B' MAB,垂足為F,交AD于E,連接BE.則線段B'的長即為所求（點到直線的距離最短）.在 RtA AFB/中，Z BAC=4更 aB ="AB="

18、; 10 ,- - - 1.BE+EF的最/、值為5近【解析】試題分析：（1）找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置，根據題意先求出/C' AE再根據勾股定理求出 AE,即可得出PA+PB的最/J、值：如圖作點B關于CD的對稱點E,連接AE交CD于點巳此時PA+PB最小，且等于 A.作直 徑AC,連接C' F根據垂徑定理得弧 BD=M DE.仃、/ / ACD=30 ,°/ AOD=60 ； / DOE=30 ：/ AOE=90 ,°/ C AE=45 °又AC為圓的直徑，.1. / AEC =

19、90°./C'AC，AE=4 5，C' E=AE=AC'2T2.AP+BP的最/、值是 272(2)首先在斜邊 AC上截取AB' =AB連接BB',再過點B作B' 1AB,垂足為F,交AD于 E,連接BE,則線段B'的長即為所求.6.如圖，將一副直角三角形拼放在一起得到四邊形ABCD,其中Z BAC=45°, /ACD=30°,點E為CD邊上的中點，連接 AE,將4ADE沿AE所在直線翻折得到 AD耳D'咬AC于F 點.若 AB=6V?cm.(1) AE的長為 cm；(2)試在線段AC上確定一點 巳

20、使得DP+EP的值最小，并求出這個最小值； (3)求點D'到BC的距離.C【答案】(1) 47；(2) 12cm； (3) 3vzi/cm.【解析】 試題分析：(1)首先利用勾股定理得出 AC的長，進而求出 CD的長，利用直角三角形斜 邊上的中線等于斜邊的一半進而得出答案： / BAC=45 ,° / B=90 ； AB=BC=6 cm,，AC=12cm.AC 12 Z ACD=30 ,° Z DAC=90 ,° AC=12cm,(cm). 點E為CD邊上的中點，AE=DC= cm.(2)首先得出AADE為等邊三角形，進而求出點E, D'關于直線A

21、C對稱，連接DD交AC于點P,根據軸對稱的性質，此時DP+EP值為最小，進而得出答案.(3)連接 CD, BD,過點D'作D'吐BC于點G,進而得出 ABDCBD ( SSS ,則/D' BG=45D' G=GBS而利用勾股定理求出點 D到BC邊的距離.試題解析：解：(1) 4,3.(2) .RtADC 中，/ACD=30,/ ADC=60 ,E為CD邊上的中點，DE=AE4ADE為等邊三角形. WAADE沿AE所在直線翻折得 AAD' ,E，AAD'的等邊三角形，/AED' =60 / EAC=Z DAC- / EAD=30 ； ：.

22、/ EFA=90, °即 AC所在的直線垂直平分線段 ED： .點E, D'關于直線AC對稱.如答圖1,連接DD交AC于點P, 此日DP+E唯為最小，且 DP+EP=DD. ADE是等邊三角形， AD=AE=y3,12cm. AC垂直平分線 ED； .AE=AD,' CE=CD,' .AE=EC .AD' =cD 七三.在 4ABD 和 CBD 中，,AB = BCU/y = CDr,AABDACBD(SSS , ./D' BG =D' BC=45 . . D' G=GB設D G長為xcm,則CG長為6V7"xcm,在

23、RtAGtD C中，由勾股定理得(6-x)2 = (4) 解得：恒=%2-、而，m=3«2"2 (不合題意舍去). 點D'到BC邊的距離為 ".速cm.答圖2考點：1 .翻折和單動點問題；2.勾股定理；3.直角三角形斜邊上的中線性質；4.等邊三角形三角形的判定和性質；5.軸對稱的應用(最短線路問題)；6.全等三角形的判定和性質；7.方程思想的應用.7.許昌芙蓉湖位于許昌市水系建設總體規劃中部，上游接納清泥河來水，下游為鹿鳴湖等 水系供水，承擔著承上啟下的重要作用，是利用有限的水資源、形成良好的水生態環境打 造生態宜居城市的重要部分.某校課外興趣小組想測量位

24、于芙蓉湖兩端的A, B兩點之間的距離他沿著與直線 AB平行的道路EF行走，走到點C處，測得/ACF=45,再向前走300 米到點D處，測得/BDF=60.若直線AB與EF之間的距離為200米，求A, B兩點之間的 距離(結果保留一位小數)E C D F【答案】215.6米.【解析】【分析】過A點做EF的垂線，交EF于M點，過B點做EF的垂線，交EF于N點，根據RtACM和三角函數tan BDF求出CM、DN,然后根據 MN MD DN AB即 可求出A、B兩點間的距離.【詳解】解：過A點做EF的垂線，交EF于M點，過B點做EF的垂線，交EF于N點.AM=CM=200 米，又. 3=300米，所

25、以 MD CD CM 100米，在 RtBDN 中，/BDF=60, BN=200 米BN業DN o 115.6 米，tan 60 MN MD DN AB 215.6 米即A, B兩點之間的距離約為 215.6米.【點睛】本題主要考查三角函數，正確做輔助線是解題的關鍵8.在平面直角坐標系中，四邊形 OABC是矩形，點O 0,0，點A 3,0，點C 0,4 ,連接OB,以點A為中心，順時針旋轉矩形 AOCB,旋轉角為 0360 ,得到矩形ADEF，點O,C, B的對應點分別為D,E,F.(I)如圖，當點D落在對角線OB上時，求點D的坐標；(n )在(I )的情況下，AB與DE交于點H .求證 B

26、DE DBA ；求點H的坐標.（出）為何值時，FB FA.（直接寫出結果即可）.O點H的坐標為（3,25萬）；_ 54 72【答案】（I *D的坐標為（，一）；（n）證明見解析;25 25（出）60 或 300 .【解析】【分析】（I ）過A、D分別作AM OB,DN OA ,根據點A、點C的坐標可得出OA、OC的 長，根據矩形的性質可得 AB、OB的長，在RtA OAM中，利用/ BOA的余弦求出OM的長，由旋轉的性質可得 OA=AD,利用等腰三角形的性質可得OD=2OM,在RtODN中，利用/ BOA的正弦和余弦可求出 DN和ON的長，即可得答案；（n ）由等腰三角形性質可得/DOA=/

27、ODA,根據銳角互余白關系可得ABD BDE ,利用SAS即可證明 DBA0 BDE; 根據 DBA BDE可得 / BEH=Z DAH, BE=AD,即可證明 BHEADHA,可得DH=BH,設AH=x,在RtADH中，利用勾股定理求出 x的值即可得答案；（出）如圖，過F作FOLAB,由性質性質可得 Z BAF=,分別討論0< w 180寸和 180 < <360 °時兩種情況，根據 FB=FA可彳導OA=OB,利用勾股定理求出 FO的長，由余弦 的定義即可求出/ BAF的度數.【詳解】(I).點 A 3,0，點 C 0,4 ,OA 3,OC 4. 四邊形OABC

28、是矩形， .AB=OC=4,;矩形DAFE是由矩形AOBC旋轉得到的AD AO 3.在 Rt OAB 中，ob Joa2 AB2 5，過A D分別作AM OB,DN OA在 Rt AOAM 中，cos BOA OM OAOA OB OM,. AD=OA, AM ±OB,-18 . OD 2OM在 RtAODN 中：sin BOADN 4ON 3 , cos/ BOA=-j-=5425(n )矩形dafe是由矩形AOBC旋轉得至U的, OA AD 3, ADE 90 ,DE AB 4.OD AD .DOA ODA.又 DOA OBA 90 , BDH ADO 90ABD BDE .又.

29、BD BD ,相DE ADBA .由 ABDE ADBA ,得 BEH DAH , BE AD 3 ,又 BHE DHA ,出HE ADHA . .DH=BH,設 AH x ,則 DH BH 4 x ,在 RtAADH 中，AH2 AD2 DH2，O225即 x 34 x ，得 x ,8AH258.點H的坐標為（出）如圖，過 F作FO>±AB, 當 0< oc< 18叫， 點B與點F是對應點，A為旋轉中心， /BAF為旋轉角，即 /BAF=a, AB=AF=4, FA=FB FOX AB, .OA=1 AB=2, 2OA 1cos/ BAF=,AF 2 . / BA

30、F=60 , ° 即 a=60 °, 當 180° < a<360 的， 同理解得：/BAF =6Q° ，旋轉角。=360 -60 =300 °.綜上所述：a 60或300 .【點睛】本題考查矩形的性質、旋轉變換、全等三角形的判定與性質、銳角三角函數的定義等知識，正確找出對應邊與旋轉角并熟記特殊角的三角函數值是解題關鍵9.如圖，在正方形 ABCD中，E是邊AB上的一動點，點 F在邊BC的延長線上，且CF AE ,連接 DE, DF, EE FH 平分 EFB 交 BD于點 H.(1)求證：DE DF ;(2)求證：DH DF :(3

31、)過點H作HM ± EF于點M,用等式表示線段 AB, HM與EF之間的數量關系，并【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3） EF 2AB 2HM ,證明詳見解析【解析】【分析】(1)根據正方形性質，CF AE得到DE DF .(2)由 AAED 04CFD ,得 DE DF .由 ABC 90, BD 平分 ABC, 得 DBF45 .因為FH平分 EFB,所以EFHBFH.由于DHFDBF BFH 45 BFH ,DFHDFE EFH45 EFH ,所以DH DF .(3)過點H作HN BC于點N ,由正方形ABCD性質，得BD Jab2 ad2 72AB.由 FH 平分

32、EFB, hm EF, HN BC ,得HM HN .因為 HBN 45 , HNB 90 ,所以 BH HNV2HN 72HM .sin 45由EFDFcos45V2DF V2DH ,得 EF 2AB 2HM（1）證明：.四邊形ABCD是正方形,AD CD , EAD BCD ADC 90 .EAD FCD 90 . CF AE。AAEDACFD .ADE CDF .EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90 DE DF .(2)證明： AAED ACFD ,DE DF . EDF 90 , DEF DFE 45 . ABC 90 , BD 平分 ABC, DBF 45 .FH 平

33、分 EFB , EFH BFH .DHF DBF BFH 45 BFH ,DFH DFE EFH 45 EFH , DHF DFH .DH DF .(3) EF 2AB 2HM .證明：過點H作HN BC于點N ,如圖，.正方形 ABCD 中，AB AD, BAD 90 , BD AB2 AD2、2AB. FH 平分 EFB, HM EF, HNBC, HM HN .HBN 45 , HNB 90 ,BHDHHNsin 452HN 2HMBD BH .2aB 2HM. EFDFcos45V2df T2dh , EF 2AB 2HM【點睛】 本題考查正方形的性質、勾股定理、角平分線的性質、三角函

34、數，題目難度較大，解題的關鍵是熟練掌握正方形的性質、勾股定理、角平分線的性質、三角函數10.如圖所示的是一個地球儀及它的平面圖，在平面圖中，點A、B分別為地球儀的南、北極點，直線 AB與放置地球儀的平面交于點 D,所夾的角度約為 67°,半徑OC所在的直線與放置它的平面垂直，垂足為點E, DE=15cm , AD=14cm.(1)求半徑 OA的長(結果精確到 0.1cm,參考數據：sin67° =0.92cos67° =0.39 tan67 ° 2.36(2)求扇形BOC的面積(兀取3.14,結果精確到1cm)【答案】(1)半徑OA的長約為24.5cm

35、; (2)扇形BOC的面積約為822cm2 .【解析】【分析】在RtODE中，DE=15, /ODE=67,根據/ODE的余弦值，即可求得 OD長，減去 AD 即為OA.(2)用扇形面積公式即可求得【詳解】在 RtODE 中，DE 15cm, ODE 67. cos ODEDEDO '150.39 OA OD AD 38.46 14 24.5 cm ,答：半徑OA的長約為24.5cm .(2) ODE 67 , BOC 157 ,-S扇形BOC360157 3.14 24.522360822 cm2答：扇形BOC的面積約為822cm2 .【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應用，本題把

36、實際問題轉化成數學問題，利用三角函數中 余弦定義來解題是解題關鍵.11 .已知AB是。的直徑，弦 CD± AB于H,過CD延長線上一點 E作。的切線交 AB的 延長線于F,切點為G,連接AG交CD于K.(1)如圖1,求證：K已GE;1(2)如圖 2,連接 CABG 若/FGB=/ACH,求證：CA/ FE;2. 3(3)如圖3,在(2)的條件下，連接 CG交AB于點N,若sinE= - , AK= 屈，求CN的長.【答案】(1)證明見解析；(2) AEAD是等腰三角形.證明見解析；(3) 20 .10.13【解析】試題分析：(1)連接 OG,則由已知易得 /OGE=/ AHK=90

37、,由OG=OA可得/ AGO=/ OAG,從而可得/ KGE4 AKH=Z EKG,這樣即可得至ij KE=GE(2)設/FGB形，由AB是直徑可得 /AGB=90,從而可得 Z KGE=90- a,結合 GE=KE可得1 ,ZEKG=90- a,這樣在 4GKE中可得/ E=2 a由/ FGB=-/ ACH可得/ ACH=2 a這樣可得2/E=/ACH,由此即可得到 CA/ EF；(3)如下圖2,作NP, AC于P, AH 3由(2)可知 /ACH=/ E,由此可得 sinE=sinZ ACH= 一，設 AH=3a,可得 AC=5a,AC 5一 一 CH 4CH=4a,貝U tan Z CA

38、H= 一，由(2)中結論易得 / CAK之 EGK士 EKG=Z AKC,從而可AH 3AH得 CK=AC=5a 由此可得 HK=a, tan / AKH= 3, AK=J10 a,結合 AK=Ji0 可得 a=1,HK貝U AC=5;在四邊形 BGKH中，由 /BHK=/ BKG=90 ,可得 ZABG+Z HKG=180,結合 ZAKH+Z GKG=180 ； / ACG=Z ABG 可得 / ACG=Z AKH,在 RtAPN 中，由 tan Z CAH=4 EN 可設 PN=12b, AP=9b,由3 APtan/ACG=里 tan/AKH=3可得 CP=4b,由此可得 AC=AP+C

39、P13b =5,貝U可得 b=,由 CP13此即可在RtA CPN中由勾股定理解出 CN的長.試題解析：(1)如圖1,連接OG.031 EF切。于 G, OGXEF, / AGO+/ AGE=90 ；,. CDLAB于 H,/ AHD=90 ；/ OAG=Z AKH=90 ；1 .OA=OG,/ AGO=Z OAG,/ AGE=/AKH,3 / EKG4 AKH,4 / EKG4 AGE,KE=GE(2)設/FGB形，, AB是直徑，/ AGB=90 ,°/ AGE = Z EKG=90 - %/ E=180 - / AGE- / EKG=2 pc 15 / FGB=- ZACH,2

40、/ ACH=2 3/ ACH=Z E,6 .CA/ FE.(3)作 NF)±AC于 P.7 / ACH=Z E,AH 3 、一1. sin Z E=sinZ ACH= 一，設 AH=3a, AC=5a,AC 5 CH 4貝U CH=J AC CH 4a，tan z CAH=T7T -， AH 31. CA/ FE,/ CAK=Z AGE, / AGE=/AKH,/ CAK=Z AKH,.AC=CK=5a HK=CK- CH=4a, tan Z AKH=AH- =3, AK=7AH2HK2 710a，HK-AK=>J1o, ,10a.10 ,a=1. AC=5, / BHD=Z AGB=90 ； / BHD+/ AGB=180 ,°在四邊形 BGKH 中,/ BHD+Z HKG+Z AGB+Z ABG=360 , / ABG+Z HKG=180 ； / AKH+Z HKG=180 ,°/ AKH=Z ABG, / ACN=Z ABG,/ AKH=Z ACNI,