1、大興區2018-2019學年度第一學期期末檢測試卷高三數學（理）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選 出符合題目要求的一項。1 .設集合 |A- G<ER|k.T, B JmER|x5-3x<0；,則 ACB 等于（）A. 司 B.C.D. |【答案】C【解析】【分析】求解一元二次不等式化簡集合B,然后直接利用交集運算得答案.2【詳解】解：: x - 3x< 0,，0W xW3,B- 0 , 3,A= （ 2, +8）,An B= （2, 3.故選：C.【點睛】本題考查了交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基

2、礎題.2 .已知。:飛。，則下列不等式成立的是 （）A.-/ B. 6 > 6 C. Igb D. 2 ' > 優a b【答案】B【解析】【分析】利用不等式的基本性質、函數的單調性即可得出.【詳解】解：: a>b>0,.血刮，lga>lgb, 2 a<2 b.a b只有B正確.故選：B.【點睛】本題考查了不等式的基本性質、函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.3 .在復平面內，復數對應的點的坐標為（2 1，則七上I等于（）A. B. |：斗C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意求得z,進一步得到z+1 ,再由復數模的計算公式求解.【詳

3、解】解：由題意，z= 2 - i,則|z+1|=|2- i+1|=|3- i"qT3.故選：D.【點睛】 本題考查復數的代數表示法及其幾何意義，考查復數模的求法，是基礎題.44.執行如圖所示的程序框圖，若輸出的 S的值為1,則輸入的值為（）/推心/JT*+1A"點=3A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環Z構計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案.【詳解】解：模擬程序的運行，可得S= 0, n= 1滿足條件1vi,執行循環體，S, n=2I 2滿足條件2vi,執行循環體，S=,

4、 n = 3I 2 2 31 1 1滿足條件3vi,執行循環體，S二丁十 丁=4;-in = 4i 2 2 3 3 4滿足條件4vi ,執行循環體，S-L4-L I +一. (1.1) + (.L» +(：)+1 x2 2 x 3 3 K4 4二5匕 33 4(-) , n = 54 55由題意，此時應該不滿足條件5V i ,退出循環，輸出 S的值為口，可得4<i <5,可得i的值為5.故選：B.【點睛】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是基礎題.5 .已知數列 聞,則“存在常數，對任意的,且山羊n,都有七% =匚”是“數列

5、 ) n -m為等差數列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】由等差數列的定義不妨令 m=n+1,則有：an+i-an=c,可知，數列 an是以c為公差的等差 數列，由等差數列的通項公式an= ai+ (n-1) d, am= ai+ (m-1) d, (d為公差)得：【詳解】由已知：“存在常數 c,對任意的m, nCN*,且mwn,都有匕J n* m不妨令m=n+1,則有：an+i-an=c,由等差數列的定義，可知，數列an是以c為公差的等差數列，由"數列an為等差數列”則 an=a+ (n-1) d,

6、am= a+ (m-1) d, (d為公差)所以:ii (n - m)dn-m即存在“存在常數 c,對任意的m, nCN*,且mwn,都有七乜=匕"此時，c=d,綜合 得：“存在常數 c,對任意的m, nCN*,且mwn,都有是“數列an為等差數列”的充分必要條件，故選：C.【點睛】 本題考查了數列的定義及等差數列的通項，充分必要條件，屬簡單題.6 .某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為【解析】【分析】 由三視圖還原原幾何體，可知原幾何體為三棱錐，再由棱錐體積公式求解.【詳解】解：由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為三棱錐 P- ABC1之則該幾何體的體積 V - x -風I

7、 ；3 23故選：A.【點睛】本題考查由三視圖求面積、體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.7 .已知口為共面的三個單位向量，且則（"）?（； I ）的取值范圍是（A. f B. A1C. i.J ij D.一：.運用向量垂直的條件：數量積為0,及向量模的公式，和向量數量積的定義，結合余弦函數的值域，即可計算得到.【詳解I解：由IL 則T 0, J I ' J "又;，；為單位向量，則17|=；:，"；=旦則（ ：） ? U r f （ T）二k| j 卜 k i j 】；j k 卜 k=（"；），1 4 1 = |i i ；1cos<

8、; ； 4 j k> 1 志cos< " j . k>K由 TS1，則（|. D ?（" 1）的取值范圍是1f£，1+立故選：D.【點睛】本題考查平面向量的數量積的定義和性質，考查向量垂直的條件，考查余弦函數的值域，考查運算能力，屬于中檔題.8 .A、B兩種品牌各三種車型 2017年7月的銷量環比（與2017年6月比較）增長率如下表：A品牌車型A1A2A 3環比增長率-7.29%10.47%14.70%B品牌車型B1B2B3環比增長率-8.49%-28.06%13.25%根據此表中的數據，有如下關于7月份銷量的四個結論：A1車型銷量比B1車型銷量

9、多;A品牌三種車型總銷量環比增長率可能大于14.70%;B品牌三款車型總銷量環比增長率可能為正；A品牌三種車型總銷量環比增長率可能小于B品牌三種車型總銷量環比增長率.其中正確結論的個數是（）A. B.2；C.卜| D. W【答案】B【解析】【分析】 根據表中數據，對關于 7月份銷量的四個結論，分析正誤即可.【詳解】解：根據表中數據，對關于7月份銷量的四個結論：對于，A車型銷量增長率比 Bi車型銷量增長率高，但銷量不一定多，錯誤；對于,A品牌三種車型中增長率最高為14.70%,所以總銷量環比增長率不可能大于14.70%,錯誤；對于，B品牌三款車型中有銷量增長率為13.25%,所以它的總銷量環比增

10、長率也可能為正，正確；對于，由題意知 A品牌三種車型總銷量環比增長率，也可能小于B品牌三種車型總銷量環比增長率，正確；綜上所述，其中正確的結論序號是.故選：B.【點睛】本題考查了合情推理與命題真假的判斷，也考查了銷售量與增長率的應用問題，是基礎題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共6小題，每題5分，共30分。9.拋物線（二, 的焦點到準線的距離等于 咯案】【解析】【分析】利用拋物線的標準方程可得pL由焦點到準線的距離為p,從而得到結果.【詳解】解：拋物線 x2=y的焦點到準線的距離為 p,由標準方程可得 p-;,.故答案為：:【點睛】本題考查拋物線的標準方程，以及簡單性質的應用，判斷焦

11、點到準線的距離為p是解題的關鍵.10.0+3展開式中，常數項的值為x【答案】【分析】先寫出通項，在通項公式中令x的指數為0,求出k,從而寫出常數項.【詳解】解：Tk + L 點-由 ckx18 .獨令18- 3k= 0, k= 6,故i/人Lj：的展開式中的常數項為 T下中s7=C96=84 x故答案為：84【點睛】本題考查二項式定理中通項公式的應用：求常數項，屬基本題型、基本方法的考查.11 .在&XBC|中，已知 a-b： = c-ab|,則上C|.【答案】4【解析】試題分析：因為所以燒；+川=2ab，所以由余弦定理得： g&cJ 一 七 二四岫二XE ,因為C為三角形內角

12、,所以C=450。lab lab 2考點：本題考查余弦定理的變形應用。點評：利用余弦定理通常用來解決：（1）已知兩邊和它們的夾角，求其他的邊和角；（2）已知三邊，求三個內角。12 .若存在滿足比?二羽 的非負實數%y'口，使f成立，則的取值范圍是【解析】【分析】畫出滿足約束條件的可行域，再根據目標函數-c=xo-yo的幾何意義，即可確定目標函數 z =x-y的取值范圍.V +- V C A【詳解】解：存在滿足的非負實數xo, yo,表示的平面區域，如圖所示:53 個頂點是 A （0, 5）, C （0, 1）, B （、，0）,由圖易得目標函數在（-5, c取得最大值5,在B （0,

13、5）處，-c= Xo-yo取最小值:2,0）處，c得最小值為:，使X0-yo+c=0成立，則c的取值范圍是-*5.故答案為：上工已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵,【點睛】用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的可先將題目中的量分類、 列出表格，理清頭緒,然后列出不等式組(方程組)尋求約束條件,并就題目所述找出目標函數.然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解.13 .直線-kx4k與圓cix . +/=1交于.X, B兩點，當'ABC的面積最大時，k的值為分析可得：當d2，即d=舊時， ABC勺面積最大;解可得k n上也1故答案為：土 T.1【點睛】本題考

14、查直線與圓的位置關系，涉及基本不等式的性質以及應用，屬于基礎題.14 .設函數1二孔I f(2a-x)Tx , a.若,d，則的最大值為；若函數y = fix')-卜有兩個零點，則b的取值范圍是 .【答案】.1(2).【解析】【分析】，當a=0時，f (x),由此分析函數的單調性，據此分析可得答案；1 - x)( XSO，根據題意，由函數的解析式分析可得圖象關于直線x=a對稱，若函數y=f (x) - b有兩個零點，即函數 y=f (x)與y=b有2個交點，結合函數的圖象分析可得答案.【詳解】解；，當a=0時,f (x)f( - x). x<0當xW0時，f (x) = 2x,

15、f (x)在(-8, 0上為增函數， 當 x>0 時，xv 0,則 f (x) = f ( x) =2 x= (；) x, 則f (x)在(0, +8)為減函數，貝U f (x) max= f (0) = 20 = 1 ；，根據題意，當xwa時，f (x) = 2x a,當x>a時，則有2a-xva,此時 f (x) =f(2ax) = 2a x,f (x),其圖象關于直線x= a對稱，(2s x>a若函數y=f (x) - b有兩個零點，即函數 y=f (x)與y=b有2個交點，其圖象如圖:必有0vbv 1,即b的取值范圍為(0, 1)；故答案為：，1,(0, 1) .【點

16、睛】本題考查分段函數的性質， 函數的零點問題，注意分析函數的對稱性， 屬于基礎題.三、解答題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。兀15 .已知函數 f(x) - 4sin( x)sm( + x)-l.(I)求口刈的最小正周期;(n)求口川在區間.:白上的最大值和最小值.| 二【答案】(I)*(n)最大值為2,最小值為0(I)求f(x)的最小正周期,需要把 . 4sinf x - x)jnn(一 + 工)-】化簡為 f (x) - 2sin(2x -勺, 36再由公式即可求出函數的最小正周期;【詳解】解：(I) 1(# 73 HM氧一秘6(一 + X)= 13 J -3=

17、%呻彳854smx) -1,-E0.再由正弦函數的性質求出最大值與最小值即可66貨2、久mxBsx - 2smx -, 5sui2x - 8仁x,31所以Rxj的最小正周期T- -2(n )因為共苜,所以卜二所以當2.J工口，即又時，心0取得最大值為2; 6 13:時，Rx)取得最小值為0解的關鍵是化簡函數的解析式【點睛】本題考查三角函數的最值及三角函數的圖象與性質,及熟練掌握三角函數的相關性質16 .自由購是通過自助結算方式購物的一種形式.某大型超市為調查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了 100人，統計結果整理如下：20以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,7070以上使

18、用人數312176420未使用人數003143630(I)現隨機抽取1名顧客，試估計該顧客年齡在30.5g且未使用自由購的概率；(II)從被抽取的年齡在50J0使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用x 表示這3人中年齡在50,60)的人數,求隨機變量區的分布列及數學期望；(出)為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環保貝物袋.若某日該超市預計有5000人購物，試估計該超市當天至少應準備多少個環保購物袋【答案】(I) ”(H)詳見解析(出)2200100【解析】【分析】(I)隨機抽取的100名顧客中，年齡在30, 50)且未使用自由購的有 3+14 = 17人，由概

19、率公式即可得到所求值；(II)伙所有的可能取值為1,2,3,求出相應的概率值，即可得到分布列與期望；(出)隨機抽取的100名顧客中，使用自由購的有44人，計算可得所求值.【詳解】解：(I)在隨機抽取的100名顧客中，年齡在30,50)且未使用自由購的共有3+14=17人，所以，隨機抽取1名顧客，估計該顧客年齡在30,50)且未使用自由購的概率為(n) X所有的可能取值為1,2,3,所以X的分布列為ki23i5315 3I所以"的數學期望為EX - 1 - -42二. 555(出)在隨機抽取的 100名顧客中，使用自由購的共有 3+1：* 17 46 4 44 娟人,所以該超市當天至少

20、應準備環保購物袋的個數估計為44 5000 - 2200.1001【點睛】本題考查統計表，隨機變量X的分布列及數學期望，以及古典概型，比較綜合.17 .如圖，邊長為 "的正方形ABCL和高為I的等腰梯形BDEI所在的平面互相垂直，EFII BD, EF - -BD, |AC與UD交于點。，點H|為線段OF上任意一點.(I)求證：01平面0民(n )求卜在與平面AI無所成角的正弦值;(出)是否存在點1使平面BCH與平面ADE垂直，若存在，求出,的值，若不存在，說明理OF由.【答案】（I）詳見解析（n）【解析】15（出）存在，且此時1'>1-OF的值為【分析】(I )證明

21、EF / BD, OF / ED,推出 OF / 平面 ADE ;（n）取EF中點M,連結MO,得到 MOXBD,證明MO，平面ABCD ,建立空間直角坐標系O-xyz,求出平面ADE的法向量利用空間向量的數量積求解直線BF與平面ADE所成角;（出）設品.隨），求出平面BCH的法向量，通過平面BCH與平面ADE垂直，貝二, 轉化求解即可.【詳解】證明：（I）因為正方形|abcd|中，AC與川D交于點0, 所以因為EFII BD所以"II DO且 EF-DO所以EFOD為平行四邊形.所以又因為OFC平面ADE, ED匚平面.XDB,所以OF II平面AI光.解：（n）取EF中點M，連結

22、卜10,因為梯形Bdef為等腰梯形，所以 moibd|.又因為平面 ABCD，平面BDUF,卜10仁平面Bdef,平面.BCD平面 B DEF BD,所以VI0,平面ABCD|.又因為，所以OA, OB. Oh：兩兩垂直.如圖，建立空間直角坐標系|o.xyz|,則 :1 _ 1E。F . 1) . F。-，】)， 22忖二(0,-(),說-(11©,血=似；)，drda設平面ADI.的法向量為 =(x、y 7 1，DA R = 0DE n-0x + y -01-y + 2 = 0n-(l, -1,-)設直線Bf與平面ADE所成角為,sinfi = cos = BF,n > |

23、=BF nBFI - |n|J1o4a2243 ii s*1IS所以直線BF與平面ADE所成角的正弦值為 15(出)設而1-乂京,則Oil(1.1 制設平面BCH的法向量為m -(x.yz),1X + -怒14 Zz = 01X4 y - 0k-2|-T.癡人所以a-2平面|BCF與平面RDL垂直，則m，n =k-2由 I ： =- 0,得工一4X所以線段OF上存在點忖使平面BCH與平面ADE垂直,的值為.lor g【點睛】本題考查直線與平面所成角的求法，空間向量的數量積的應用，直線與平面平行的判斷定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力.18 .已知函數Rx) - 0疝/.(I)若曲線y

24、 在 處的切線方程為K- 2y 4 I 0,求的值；(n)求函數以在區間h川上的極值.【答案】(I) 0 (n)詳見解析【解析】【分析】(I)求出ftx產業.疝雙的導數，求出切線方程，然后求解 a即可.(n)求出P(x>-= - - = ,通過當2aw1,即1K，時，當2a>2,當1v2a<2,判斷導函數的符號，函數的單調性，然后求解函數的極值.【詳解】解：(I)因為&7bz1 A所以壯尸一一所以一-乩£因為卜 在x 處的切線方程為x-2y - 0.所以-a -",解得 (n)因為 f(x) - alnx,ui、，, I a v's - 2

25、a所以 i (x) - -t- 一 ,2x x 2x當2a三：，即心：時，“在工刀恒成立，所以卜在I刈單調遞增；所以卜在1*4無極值；當力之，即3三1時，&) “在工刀恒成立，所以卜在I刈單調遞減，所以卜在I刈無極值；當】口”2,即一<a<l時，)變化如下表:kL 、-0+單調遞減極小值單調遞增/因此，口兇的減區間為，增區間為(4/4卜所以當卜4：時，氏上)有極小值為%一%3>1),無極大值.【點睛】本題考查函數的導數的應用，切線方程以及函數的極值的求法，考查轉化思想以及計算能力.U V*19.已知橢圓C:'- - = 1包b . Ui的離心率為左頂點為|A(

26、-二，過橢圓C的右焦點F作互 a b-工相垂直的兩條直線】1二分別交直線l.x4于E.N兩點，.M交橢圓C于另一點P.(I )求橢圓C的方程；(n)求證：直線孫|恒過定點，并求出定點坐標.【答案】(I)二十匚=(n)直線西恒過定點2H4 3【解析】【分析】(I)先得出a=2,再由離心率計算出 c的值，再由a、b、c的關系求出b的值，即可得出橢圓C的方程；(n)設直線li的方程為y=k (x-1),可得出直線12的方程為將這兩條直線分別于直線1的方程聯立，可得出點 M、N的坐標，然后寫出直線 AM的方程，將直線 AM 的方程與橢圓方程聯立，結合韋達定理求出點 P的坐標，再寫出直線 PN的方程，通

27、過直線PN的方程找出直線 PN所過的定點. 【詳解】解：(I)由題意卜， 離心率C- 所以.a 2所以所以橢圓c的方程為匚匚 43(n)由題意，設ry k(x= 1), 11y -1) .令X心 得卜1(4.3。，N(4,-：，又，二。，所以直線1的方程為¥=興優4 2).k 7由T,消元，得。4k" 4 2小婷 1 4ya- 12即P十 后 14kL I?。，2. 2設式如yj,則.？飛 土"一，所以 ”.6-2 .3 + 1?3 + C6 - 2k2 6k 所以風.，3 +1? 3 + k?又N工-F，所以直線PN的斜率為6k 32 " - /2r?

28、十£(於十鄭+103k網 , 、云，6-2k-k(-6-6k") 既 431 k3所以直線pk的方程為y -(-)-京K. 4,k 2k即y = 一永力 直線PN恒過定點小.【點睛】圓錐曲線中定點問題的常見解法(1)假設定點坐標，根據題意選擇參數，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數無關，故得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；(2)從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意.20.設有限數列八:為力一用n(i】E N,定義集合7-3戶叫1三入為數列A的伴隨集合.(I)已知有限數列P： 1,0,1二和數列QL3,9：7,.分別寫出口和的

29、伴隨集合；(n)已知有限等比數列 人23.EknWN'),求.X的伴隨集合M中各元素之和S;Sh 7(出)已知有限等差數列 也的藐，判斷吟，是否能同時屬于科的伴隨集合M，并說 明理由.【答案】(I)數列p的伴隨集合為卜.工3：,數列a的伴隨集合為 £4.電 1 1盤30,36)|； (n) s = (n -l)(2n+'-2)不能【解析】【分析】(I)由數列A的伴隨集合定義可得 P, Q的伴隨集合；(n )先證明對任意iw k或j w 1,則ai+axak+ai (1 w i vj w n, 1w kv lw n),可得求集合 M 中各元素之和時，每個 ai (iwiwn)均出現n-1次，由等比數列的求和公式，計算可得所 求和；50 7(出)假設0.同時屬于數列 A的伴隨集合M.設數列A的公差為d (dw。)，運用等 3 100差數列的定義和通項公式、性質，推理論證得到矛盾，即可判斷.【詳解】解：(I)數列p的伴隨集合為數列Q的伴隨集合為(4,1O,12J8,3O,%)|.(n )先證明對任意i辛k或j豐I,貝/j卜 ¥心 a