1、高等數學公式導數公式：基本積分表：三角函數的有理式積分：一些初等函數： 兩個重要極限：三角函數公式：·誘導公式： 函數角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90°-cossinctgtg90°+cos-sin-ctg-tg180°-sin-cos-tg-ctg180°+-sin-costgctg270°-cos-sinctgtg270°+-cossin-ctg-tg360°-sincos-tg-ctg360°+sincostgctg·和差角公式： ·和差化積公式：

2、83;倍角公式：·半角公式：·正弦定理：·余弦定理：·反三角函數性質：高階導數公式萊布尼茲（Leibniz）公式：中值定理與導數應用：曲率：定積分的近似計算：定積分應用相關公式：空間解析幾何和向量代數：多元函數微分法及應用微分法在幾何上的應用：方向導數與梯度：多元函數的極值及其求法：重積分及其應用：柱面坐標和球面坐標：曲線積分：曲面積分：高斯公式：斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關系：常數項級數：級數審斂法：絕對收斂與條件收斂：冪級數：函數展開成冪級數：一些函數展開成冪級數：歐拉公式：三角級數：傅立葉級數：周期為的周期函數的傅立葉級數：微分方程的相關概念

3、：一階線性微分方程：全微分方程：二階微分方程：二階常系數齊次線性微分方程及其解法：(*)式的通解兩個不相等實根兩個相等實根一對共軛復根二階常系數非齊次線性微分方程概率公式整理1隨機事件及其概率吸收律：反演律：2概率的定義及其計算若對任意兩個事件A, B, 有加法公式：對任意兩個事件A, B, 有3條件概率乘法公式全概率公式Bayes公式4隨機變量及其分布分布函數計算5離散型隨機變量(1) 0 1 分布(2) 二項分布若P ( A ) = p *Possion定理有 (3) Poisson 分布6連續型隨機變量(1) 均勻分布(2) 指數分布(3) 正態分布N (m , s2 )*N (0,1)

4、 標準正態分布7.多維隨機變量及其分布二維隨機變量( X ,Y )的分布函數邊緣分布函數與邊緣密度函數8.連續型二維隨機變量(1)區域G 上的均勻分布，U ( G )(2)二維正態分布9.二維隨機變量的條件分布10.隨機變量的數字特征數學期望隨機變量函數的數學期望X 的k階原點矩X 的k階絕對原點矩X 的k階中心矩X 的方差X ,Y 的k + l階混合原點矩X ,Y 的k + l階混合中心矩X ,Y 的二階混合原點矩X ,Y 的二階混合中心矩X ,Y 的協方差X ,Y 的相關系數X 的方差D (X ) = E (X - E(X)2) 協方差相關系數線性代數部分 梳理：條理化，給出一個系統的，有

5、內在有機結構的理論體系。 溝通：突出各部分內容間的聯系。 充實提高：圍繞考試要求，介紹一些一般教材上沒有的結果，教給大家常見問題的實用而簡捷的方法。 大家要有這樣的思想準備：發現我的講解在體系上和你以前學習的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你對它們了解了，掌握了，會提高你的解題能力的。基本運算或。轉置值不變逆值變，3階矩陣有關乘法的基本運算 線性性質 ， 結合律 不一定成立！，與數的乘法的不同之處不一定成立！無交換律因式分解障礙是交換性 一個矩陣的每個多項式可以因式分解，例如無消去律（矩陣和矩陣相乘） 當時或 由和由時（無左消去律）特別的設可逆，則有消去律。 左消去律：。 右消

6、去律：。如果列滿秩，則有左消去律，即可逆矩陣的性質i）當可逆時，也可逆，且。也可逆，且。 數，也可逆，。ii），是兩個階可逆矩陣也可逆，且。 推論：設，是兩個階矩陣，則 命題：初等矩陣都可逆，且 命題：準對角矩陣可逆每個都可逆，記伴隨矩陣的基本性質： 當可逆時， 得， （求逆矩陣的伴隨矩陣法） 且得： 伴隨矩陣的其他性質,，。 時， 關于矩陣右上肩記號：，*i) 任何兩個的次序可交換， 如，等ii)，但不一定成立！線性表示有解有解有解，即可用A的列向量組表示， 則。，則存在矩陣，使得 線性表示關系有傳遞性 當， 則。 等價關系：如果與互相可表示 記作。線性相關，單個向量，相關，相關對應分量成比

7、例 相關向量個數=維數，則線性相（無）關，有非零解如果，則一定相關的方程個數未知數個數如果無關，則它的每一個部分組都無關如果無關，而相關，則 證明：設不全為0，使得 則其中，否則不全為0，與條件無關矛盾。于是。當時，表示方式唯一無關 （表示方式不唯一相關）若，并且，則一定線性相關。 證明：記，則存在矩陣，使得 。有個方程，個未知數，有非零解，。 則，即也是的非零解，從而線性相關。各性質的逆否形式如果無關，則。如果有相關的部分組，則它自己一定也相關。如果無關，而，則無關。如果，無關，則。推論：若兩個無關向量組與等價，則。極大無關組一個線性無關部分組，若等于秩，就一定是極大無關組無關 另一種說法：

8、 取的一個極大無關組也是的極大無關組相關。 證明：相關。可用唯一表示矩陣的秩的簡單性質行滿秩：列滿秩：階矩陣滿秩：滿秩的行（列）向量組線性無關可逆只有零解，唯一解。矩陣在運算中秩的變化初等變換保持矩陣的秩時，可逆時， 弱化條件：如果列滿秩，則 證：下面證與同解。是的解是的解可逆時，若，則（的列數，的行數）列滿秩時行滿秩時解的性質1的解的性質。 如果是一組解，則它們的任意線性組合一定也是解。 2如果是的一組解，則也是的解是的解特別的：當是的兩個解時，是的解如果是的解，則維向量也是的解是的解。解的情況判別 方程：，即有解無解唯一解無窮多解 方程個數：當時，有解當時，不會是唯一解 對于齊次線性方程組

9、， 只有零解（即列滿秩） （有非零解）特征值特征向量是的特征值是的特征多項式的根。 兩種特殊情形： （1）是上（下）三角矩陣，對角矩陣時，特征值即對角線上的元素。 （2）時：的特征值為特征值的性質 命題：階矩陣的特征值的重數 命題：設的特征值為，則 命題：設是的特征向量，特征值為，即，則對于的每個多項式，當可逆時， 命題：設的特征值為，則的特征值為可逆時，的特征值為的特征值為的特征值也是特征值的應用求行列式判別可逆性是的特征值不可逆可逆不是的特征值。當時，如果，則可逆 若是的特征值，則是的特征值。不是的特征值可逆。n階矩陣的相似關系 當時，而時，。 相似關系有i）對稱性：，則 ii）有傳遞性：

10、，則，則 命題 當時，和有許多相同的性質，的特征多項式相同，從而特征值完全一致。與的特征向量的關系：是的屬于的特征向量是的屬于的特征向量。正定二次型與正定矩陣性質與判別可逆線性變換替換保持正定性變為，則它們同時正定或同時不正定，則，同時正定，同時不正定。 例如。如果正定，則對每個 （可逆，！）我們給出關于正定的以下性質正定存在實可逆矩陣，。的正慣性指數。的特征值全大于。的每個順序主子式全大于。 判斷正定的三種方法：順序主子式法。特征值法。定義法。基本概念對稱矩陣。反對稱矩陣。簡單階梯形矩陣：臺角位置的元素都為1 ，臺角正上方的元素都為0。如果是一個階矩陣，是階梯形矩陣是上三角矩陣，反之不一定

11、矩陣消元法：（解的情況）寫出增廣矩陣，用初等行變換化為階梯形矩陣。用判別解的情況。i）如果最下面的非零行為，則無解，否則有解。ii）如果有解，記是的非零行數，則時唯一解。時無窮多解。iii）唯一解求解的方法（初等變換法） 去掉的零行，得，它是矩陣，是階梯形矩陣，從而是上三角矩陣。 則都不為。就是解。一個階行列式的值：是項的代數和每一項是個元素的乘積，它們共有項 其中是的一個全排列。 前面乘的應為的逆序數代數余子式為的余子式。定理：一個行列式的值等于它的某一行（列），各元素與各自代數余子式乘積之和。一行（列）的元素乘上另一行（列）的相應元素代數余子式之和為。 范德蒙行列式個乘法相關的位元素是的第

12、行和的第列對應元素乘積之和。 乘積矩陣的列向量與行向量 （1）設矩陣，維列向量，則 矩陣乘法應用于方程組 方程組的矩陣形式， 方程組的向量形式 （2）設，的第個列向量是的列向量組的線性組合，組合系數是的第個列向量的各分量。的第個行向量是的行向量組的線性組合，組合系數是的第個行向量的各分量。 矩陣分解當矩陣的每個列向量都是的列向量的線性組合時，可把分解為與一個矩陣的乘積特別的在有關對角矩陣的乘法中的若干問題對角矩陣從右側乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各列向量對角矩陣從左側乘一矩陣，即用對角線上的元素依次乘的各行向量 于是，兩個對角矩陣相乘只須把對角線上對應元素相乘對角矩陣的次方冪只須把每個

13、對角線上元素作次方冪對一個階矩陣，規定為的對角線上元素之和稱為的跡數。 于是 其他形式方陣的高次冪也有規律 例如：初等矩陣及其在乘法中的作用 （1）：交換的第兩行或交換的第兩列 （2）：用數乘的第行或第列 （3）：把的第行的倍加到第行上，或把的第列的倍加到第列上。初等矩陣從左（右）側乘一個矩陣等同于對作一次相當的初等行（列）變換乘法的分塊法則 一般法則：在計算兩個矩陣和的乘積時，可以先把和用縱橫線分割成若干小矩陣來進行，要求的縱向分割與的橫向分割一致。 兩種常用的情況 （1）都分成4塊， 其中的列數和的行數相等，的列數和的行數相關。 （2）準對角矩陣矩陣方程與可逆矩陣 兩類基本的矩陣方程 （都

14、需求是方陣，且） （I）的解法： （II）的解法，先化為。 通過逆求解：，可逆矩陣及其逆矩陣 定義：設是階矩陣，如果存在階矩陣，使得，且，則稱是可逆矩陣，稱是的逆矩陣，證作。 定理：階矩陣可逆求的方程（初等變換法） 伴隨矩陣 線性表示可以用線性表示，即可以表示為的線性組合，也就是存在使得 記號：線性相關性 線性相關：存在向量可用其它向量線性表示。 線性無關：每個向量都不能用其它向量線性表示定義：如果存在不全為的，使得則稱線性相關，否則稱線性無關。 即：線性相（無）關有（無）非零解有（無）非零解 極大無關組和秩定義：的一個部分組稱為它的一個極大無關組，如果滿足：i）線性無關。ii）再擴大就相關。

15、定義：規定的秩。如果每個元素都是零向量，則規定其秩為。有相同線性關系的向量組 定義：兩個向量若有相同個數的向量：，并且向量方程與同解，則稱它們有相同的線性關系。對應的部分組有一致的相關性。的對應部分組， 若相關，有不全為的使得， 即是的解， 從而也是的解，則有，也相關。極大無關組相對應，從而秩相等。有一致的內在線表示關系。設：，則 即 ， 即 。與有相同的線性關系即與同解。反之，當與同解時，和的列向量組有相同的線性關系。矩陣的秩定理：矩陣的行向量組的秩=列向量組的秩 規定行（列）向量組的秩。的計算：用初等變換化為階梯形矩陣，則的非零行數即。命題：的非零子式階數的最大值。方程組的表達形式 1 2

16、是解 3 有解基礎解系和通解 1有非零解時的基礎解系是的基礎解系的條件：每個都是的解線性無關的每個解/ 通解如果是的一個基礎解系，則的通解為，任意如果是的一個解，是的基礎解系，則的通解為，任意特征向量與特征值 定義：如果，并且與線性相關，則稱是的一個特征向量。此時，有數，使得，稱為的特征值。設是數量矩陣，則對每個維列向量，于是，任何非零列向量都是的特征向量，特征值都是。特征值有限特征向量無窮多 若，每個特征向量有唯一特征值，而有許多特征向量有相同的特征值。計算時先求特征值，后求特征向量。特征向量與特征值計算是的非零解 命題：是的特征值是屬于的特征向量是的非零解 稱多項式為的特征多項式。是的特征

17、值是的特征多項式的根。的重數：作為的根的重數。階矩陣的特征值有個：，可能其中有的不是實數，有的是多重的。 計算步驟：求出特征多項式。求的根，得特征值。對每個特征值，求的非零解，得屬于的特征向量。n階矩陣的相似關系 設，是兩個階矩陣。如果存在階可逆矩陣，使得，則稱與相似，記作。n階矩陣的對角化 基本定理 可對角化有個線性無關的特征向量。 設可逆矩陣，則， 判別法則可對角化對于的每個特征值，的重數。計算：對每個特征值，求出的一個基礎解系，把它們合在一起，得到個線性無關的特征向量，。令，則，其中為的特征值。二次型（實二次型）二次型及其矩陣 一個元二次型的一般形式為 只有平方項的二次型稱為標準二次型。

18、 形如：的元二次型稱為規范二次型。 對每個階實矩陣，記，則是一個二次型。 稱的秩為這個二次型的秩。 標準二次型的矩陣是對角矩陣。 規范二次型的矩陣是規范對角矩陣。可逆線性變量替換 設有一個元二次型，引進新的一組變量，并把用它們表示。 （并要求矩陣是可逆矩陣） 代入，得到的一個二次型這樣的操作稱為對作了一次可逆線性變量替換。 設，則上面的變換式可寫成 則 于是的矩陣為實對稱矩陣的合同 兩個階實對稱矩陣和，如果存在階實可逆矩陣，值得。稱與合同，記作。 命題：二次型可用可逆線性變換替換化為二次型的標準化和規范化 1每個二次型都可以用可逆線性變量替換化為標準二次型和規范二次型。 也就是每個實對稱矩陣都

19、會同于對角矩陣和規范對角矩陣。 設是一個實對稱矩陣，則存在正交矩陣，使得是對角矩陣。， 2標準化和規范化的方法正交變換法 配方法 3慣性定理與慣性指數 定理：一個二次型用可逆線性變換替換化出的標準形的各個平方項的系數中，大于0的個數和小于0的個數是由原二次型所決定的，分別稱為原二次型的正、負慣性指數。 一個二次型化出的規范二次型在形式上是唯一的，也即相應的規范對角矩陣是唯一的。 用矩陣的語言來說：一個實對稱矩陣合同于唯一規范對角矩陣。 定理：二次型的正、負慣性指數在可逆線性變量替換下不變；兩個二次型可互相轉化的充要條件是它們的正、負慣性指數相等。實對稱矩陣的正（負）慣性指數就等于正（負）特征值

20、的個數。正定二次型與正定矩陣 定義：一個二次型稱為正定二次型，如果當不全為0時，。 例如，標準二次型正定， （必要性“”，取，此時同樣可證每個）實對稱矩陣正定即二次型正定，也就是：當時，。 例如實對角矩陣正定，定義：設是一個階矩陣，記是的西北角的階小方陣，稱為的第個順序主子式（或階順序主子式）。附錄一 內積，正交矩陣，實對稱矩陣的對角化一向量的內積1定義 兩個維實向量的內積是一個數，記作，規定為它們對應分量乘積之和。 設，則 2性質對稱性：雙線性性質：正交性：，且3長度與正交 向量的長度 單位向量：長度為的向量， 若，則是單位向量，稱為的單位化。 兩個向量如果內積為0：，稱它們是正交的。 如果

21、維向量組兩兩正交，并且每個都是單位向量，則稱為單位正交向量組。 例1如果向量組兩兩正交，并且每個向量都不為零向量，則它們線性無關。 證：記，則 則即。 例2若是一個實的矩陣，則。 二正交矩陣 一個實階矩陣如果滿足，就稱為正交矩陣。 定理 是正交矩陣的行向量組是單位正交向量組。的列向量組是單位正交向量組。 例3正交矩陣保持內積，即 證： 例4（04）是3階正交矩陣，并且，求的解。三施密特正交化方法這是把一個線性無關的向量組改造為與之等價的單位正交向量組的方法。 設線性無關正交化：令 （設， 當時，正交。）單位化：令， 則是與等價的單位正交向量組。四實對稱矩陣的對角化 設是一個實的對稱矩陣，則的每

22、個特征值都是實數。對每個特征值，重數。即可以對角化。屬于不同特征值的特征向量互相正交。 于是：存在正交矩陣，使得是對角矩陣。 對每個特征值，找的一個單位正交基礎的解，合在一起構造正交矩陣。 設是階的有個特征值（二重），（三重），（一重） 找的個單位正交特征向量。 找的個單位正交特征向量。 找的一個單位特征向量。 例5（04）是階實對稱矩陣，是它的一個二重特征值，和都是屬于的特征向量。 （1）求的另一個特征值。 （2）求。 解：（1）另一個特征值為。 （2）設是屬于的特征向量，則 此方程組，基礎解系包含一個解，任何兩個解都相關。 于是，每個非零解都是屬于的特征向量。是一個解。附錄二 向量空間 1維向量空間及其子空間 記為由全部維實向量構成的集合，這是一個規定了加法和數乘這兩種線性運算的集合，我們把它稱為維向量空間。 設是的一個子集，如果它滿足 （1）當都屬于時，也屬于。 （2）對的每個元素和任何實數，