1、第二講 平面向量的解題技巧【命題趨向】由2007年高考題分析可知：1這部分內容高考中所占分數一般在10分左右2題目類型為一個選擇或填空題，一個與其他知識綜合的解答題3考查內容以向量的概念、運算、數量積和模的運算為主【考點透視】 “平面向量”是高中新課程新增加的內容之一，高考每年都考，題型主要有選擇題、填空題，也可以與其他知識相結合在解答題中出現，試題多以低、中檔題為主透析高考試題，知命題熱點為：1向量的概念，幾何表示，向量的加法、減法，實數與向量的積2平面向量的坐標運算，平面向量的數量積及其幾何意義3兩非零向量平行、垂直的充要條件4圖形平移、線段的定比分點坐標公式5由于向量具有“數”與“形”雙

2、重身份，加之向量的工具性作用，向量經常與數列、三角、解析幾何、立體幾何等知識相結合，綜合解決三角函數的化簡、求值及三角形中的有關問題，處理有關長度、夾角、垂直與平行等問題以及圓錐曲線中的典型問題等6利用化歸思想處理共線、平行、垂直問題向向量的坐標運算方面轉化，向量模的運算轉化為向量的運算等；利用數形結合思想將幾何問題代數化，通過代數運算解決幾何問題【例題解析】1. 向量的概念，向量的基本運算(1)理解向量的概念，掌握向量的幾何意義，了解共線向量的概念.(2)掌握向量的加法和減法.(3)掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件.(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平

3、面向量的坐標運算.(5)掌握平面向量的數量積及其幾何意義,了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題,掌握向量垂直的條件.(6)掌握平面兩點間的距離公式.例1（2007年北京卷理）已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那么（）命題意圖:本題考查能夠結合圖形進行向量計算的能力解： 故選A例2（2006年安徽卷）在中，M為BC的中點，則_.（用表示）命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法,以及實數與向量的積.解：，所以,.例3（2006年廣東卷）如圖1所示，D是ABC的邊AB上的中點，則向量( )（A） （B） （C） （D）命題意圖: 本題主要考查向量的加法和減法運算能力.解：，故

4、選A.例4 ( 2006年重慶卷)與向量=的夾解相等，且模為1的向量是 ( )(A) (B) 或（C） （D）或命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標運算和用平面向量處理有關角度的問題.解：設所求平面向量為由另一方面,當當故平面向量與向量=的夾角相等.故選B. 例5（2006年天津卷）設向量與的夾角為，且，則_命題意圖: 本題主要考查平面向量的坐標運算和平面向量的數量積,以及用平面向量的數量積處理有關角度的問題.解: 例6.（2006年湖北卷）已知向量，是不平行于軸的單位向量，且，則= （） （A） （B） （C） （D） 命題意圖: 本題主要考查應用平面向量的坐標運算和平面向量的數量積,以及

5、方程的思想解題的能力.解:設，則依題意有故選B.例7.設平面向量、的和.如果向量、，滿足，且順時針旋轉后與同向，其中，則（ ）（A） （B）（C） （D）命題意圖: 本題主要考查向量加法的幾何意義及向量的模的夾角等基本概念.常規解法：， 故把2 (i=1,2,3)，分別按順時針旋轉30后與重合，故，應選D.巧妙解法：令=，則=，由題意知=，從而排除B，C，同理排除A，故選(D).點評：巧妙解法巧在取=，使問題簡單化.本題也可通過畫圖,利用數形結合的方法來解決.2. 平面向量與三角函數,解析幾何等問題結合(1) 平面向量與三角函數、三角變換、數列、不等式及其他代數問題，由于結合性強，因而綜合能力

6、較強，所以復習時，通過解題過程，力爭達到既回顧知識要點，又感悟思維方法的雙重效果，解題要點是運用向量知識，將所給問題轉化為代數問題求解.(2)解答題考查圓錐曲線中典型問題，如垂直、平行、共線等，此類題綜合性比較強，難度大.例8（2007年陜西卷理17.）設函數f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函數y=f(x)的圖象經過點，（）求實數m的值；（）求函數f(x)的最小值及此時x的值的集合.解：（），由已知，得（）由（）得，當時，的最小值為，由，得值的集合為例2（2007年陜西卷文17）設函數.其中向量.（）求實數的值;（）求函數的最小值.解：（）

7、，得（）由（）得，當時，的最小值為例9（2007年湖北卷理16）已知的面積為，且滿足，設和的夾角為（I）求的取值范圍；（II）求函數的最大解：（）設中角的對邊分別為，則由，可得，（），即當時，；當時，例10（2007年廣東卷理）已知ABC的三個頂點的直角坐標分別為A(3,4)、B(0,0)、(c,0) （1）若c=5，求sinA的值；（2）若A為鈍角，求c的取值范圍；解：（1），若c=5， 則，sinA；（2）A為鈍角，則解得，c的取值范圍是例11（2007年山東卷文17）在中，角的對邊分別為（1）求；（2）若，且，求解：（1） 又解得，是銳角（2），又例12. （2006年湖北卷）設函數，其

8、中向量, . （）求函數的最大值和最小正周期； （）將函數的圖像按向量平移，使平移后得到的圖像關于坐標原點成中心對稱，求長度最小的.命題意圖:本小題主要考查平面向量數量積的計算方法、三角公式、三角函數的性質及圖像的基本知識，考查推理和運算能力. 解：()由題意得，f(x)·()=(sinx,cosx)·(sinxcosx,sinx3cosx) sin2x2sinxcosx+3cos2x2+cos2xsin2x2+sin(2x+).所以，f(x)的最大值為2+，最小正周期是.（）由sin(2x+)0得2x+k.，即x,kZ，于是（，2），kZ.因為k為整數，要使最小，則只有k

9、1，此時（，2）即為所求.例13（2006年全國卷II）已知向量(sin，1)，(1，cos)，（）若，求；（）求的最大值命題意圖:本小題主要考查平面向量數量積和平面向量的模的計算方法、以及三角公式、三角函數的性質等基本知識，考查推理和運算能力.解：（）若，則sincos0，由此得 tan1()，所以 ；（）由(sin，1)，(1，cos)得，當sin()1時，|ab|取得最大值，即當時，|ab|最大值為1例14（2006年陜西卷）如圖，三定點三動點D、E、M滿足 （I）求動直線DE斜率的變化范圍；（II）求動點M的軌跡方程。命題意圖:本小題主要考查平面向量的計算方法、三角公式、三角函數的性質

10、及圖像和圓錐曲線方程的求法等基本知識，考查推理和運算能力.解法一: 如圖, ()設D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , yxOMDABC11212BE圖3知(xD2,yD1)=t(2,2). 同理 . kDE = = = 12t.t0,1 , kDE1,1.() =t (x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t). , y= , 即x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.即所求軌跡方程為: x2=4y, x2,2解法二: ()同上.() 如圖, =+ = + t = + t() = (1t)

11、+t, = + = +t = +t() =(1t) +t, = += + t= +t()=(1t) + t = (1t2) + 2(1t)t+t2 .設M點的坐標為(x,y),由=(2,1), =(0,1), =(2,1)得 消去t得x2=4y, t0,1, x2,2.故所求軌跡方程為: x2=4y, x2,2例15（2006年全國卷II）已知拋物線x24y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且（0）過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為（）證明·為定值；（）設ABM的面積為S，寫出Sf()的表達式，并求S的最小值命題意圖:本小題主要考查平面向量的計算方法、和圓錐曲線方程,以及

12、函數的導數的應用等基本知識，考查推理和運算能力.解：()由已知條件，得F(0，1)，0設A(x1，y1)，B(x2，y2)由，即得(x1，1y)(x2，y21)， 將式兩邊平方并把y1x12，y2x22代入得y12y2 解、式得y1，y2，且有x1x2x224y24，拋物線方程為yx2，求導得yx所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是yx1(xx1)y1，yx2(xx2)y2，即yx1xx12，yx2xx22解出兩條切線的交點M的坐標為(，)(，1) 所以·(，2)·(x2x1，y2y1)(x22x12)2(x22x12)0.所以·為定值，其值為0()由()知在

13、ABM中，FMAB，因而S|AB|FM|FM|因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當1時，S取得最小值4【專題訓練與高考預測】一、選擇題1已知的值為（ ）A6B6CD2已知ABC中，點D在BC邊上，且則的值是（ ）ABC3D03把直線按向量平移后，所得直線與圓相切，則實數的值為（ A ）A39B13C21D394給出下列命題：·=0，則=0或=0. 若為單位向量且/，則=|·.··=|3. 若與共線，與共線，則與共線.其中正確的個數是（ ）A0B1

14、C2D35.在以下關于向量的命題中，不正確的是（ ）A.若向量a=(x，y)，向量b=(y，x)(x、y0)，則abB.四邊形ABCD是菱形的充要條件是=，且|=|C.點G是ABC的重心，則+=0D.ABC中，和的夾角等于180°A6.若O為平行四邊形ABCD的中心， = 4e1, = 6e2,則3e22e1等于（ ）A. B. C. D.7.將函數y=x+2的圖象按a=（6，2）平移后，得到的新圖象的解析式為（ ）A.y=x+10B.y=x6 C.y=x+6D.y=x108.已知向量m=(a,b)，向量mn且|m|=|n|,則n的坐標為A.（a, b）B.( a,b)C.(b, a

15、)D.( b, a)9.給出如下命題：命題（1）設e1、e2是平面內兩個已知向量，則對于平面內任意向量a,都存在惟一的一對實數x、y，使a=xe1+ye2成立；命題（2）若定義域為R的函數f(x)恒滿足f(x)=f(x),則f(x)或為奇函數，或為偶函數.則下述判斷正確的是（ ）A.命題（1）（2）均為假命題B.命題（1）（2）均為真命題C.命題（1）為真命題，命題（2）為假命題D.命題（1）為假命題，命題（2）為真命題10若|a+b|=|a-b|，則向量a與b的關系是（ ）A. a=或b= B.|a|=|b| C. ab=0 D.以上都不對11O是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三

16、個點，動點P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內心C重心D垂心12 若, , 則=（ ）A 4 B 15 C 7 D 3二、填空題1已知與的夾角為60°，則與的夾角余弦為 .2 已知（4,2,x），(2,1,3),且，則x .3 向量 ，則和所夾角是 4 已知A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1), 點D滿足條件：DBAC, DCAB, AD=BC, 則D的坐標為 .5 設是直線，是平面，向量在上，向量在上，則所成二面角中較小的一個的大小為 三、解答題1.ABC中，三個內角分別是A、B、C，向量時，求.2.在平行四邊形ABCD中，A（1，1

17、），點M是線段AB的中點，線段CM與BD交于點P.（1）若求點C的坐標；（2）當時，求點P的軌跡.3.平面內三個力，作用于同丄點O且處于平衡狀態，已知，的大小分別為1kg，kg，、的夾角是45°，求的大小及與夾角的大小.4.已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a5b垂直，a4b與7a2b垂直，求a與b的夾角.5.設a=(1+cos,sin), b=(1cos,sin),c=(1,0),(0,)(,2),a與c的夾角為1，b與c的夾角為2,且12=，求sin.6.已知平面向量a=（，1），b=（，）.(1)證明：ab；(2)若存在實數k和t，使得x=a+(t23)b,y=ka+tb,

18、且xy，試求函數關系式k=f(t);(3)根據（2）的結論，確定k=f(t)的單調區間.【參考答案】一、選擇題1.B 2D 3A4A5. 答案：C提示：若點G是ABC的重心，則有+=0，而C的結論是+=0，顯然是不成立的，選C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11B 12D二、填空題1 2 2 360° 4（1，1，1）或 53解：由, ,有，, 解得, 4.解：設D(x, y, z), 則，（x-1, y, z）,(-1, 0, 1), (-1,1, 0), (0, -1, 1) 又DBAC-x+z=0, DCAB-x+y=0, AD=BC 聯立解得x=y=z=1或x=y=z=所以D點為（1，1，1）或。三、解答題1，2.解：（1）設點C坐標為（, 又,即. . 即點C（0，6）. （2）解一：設，則 . ABCD為菱形.故點P的軌跡是以（5，1）為圓心，2為半圓去掉與直線的兩個交點. 解法二： D的軌跡方程為.M為AB中點, 的比為 .設.的軌跡方程 .整理得.