1、誤差分析與數值方法穩定性內容結構框圖截斷誤差模型誤差觀察誤差舍入誤差有效數字( x1 ± x2 ) - (a1 ± a2 ) £x1 - a1+x2 - a2x1 × x2 - a1 × a2£- a1+ a1x2 - a2a2x1x1 - a1+ a1x2 - a2a2x1 - a1£防止“大數吃小數” 避免相近數相減避免“小做除、大做乘”2x2a2a2數值方法的穩定性算法減少運算次數避免有效數字的損失函數值計算的誤差估計誤差的四則運算誤差絕對誤差絕對誤差界相對誤差相對誤差界與、矩陣相關內容結構框圖矩陣與的相容性£

2、;AxMAVxV由構造矩陣矩陣的性質：1) r ( A) £ A2) A £ r ( A) + e3) ( I1-AmnA 1 = max å aijA ¥ = max å aijA 2 =lm 1£ j £ n i =11£ i £ m j =1等價性矩F-m1-1-、2-、-x1nn= å xx=x2x ¥ = max xkk2å k1£k £nk =1k =1npp-x p = p å xkk =1矩陣mn2Fåå ij

3、A=ai=1 j =1mnmåå ijA=a1i=1 j =1陣等價性( A H A )ax± A)-1 £ 1矩陣的條件數及其性質矩陣計算與分解內容結構框圖正規矩陣schur分解A = UDU H利用矩陣的特征系統討論矩陣的可對角化條件矩陣的Jordan分解 A = TJT -1滿奇異值分解æ 0 öA = U ç÷V Hè 00 ø約化的奇異值分解ACm×n矩陣schur分解A = U SV H=URUHA11矩陣分解化方程組為一個三角方程組求解Ax=yRx=QTyHousehol

4、der變換矩陣及其性質Doolittle分解A=LU PA=LUCholesky分解A=LLT化方程組Ax=b為兩個三角方程組求解Ly=bUx=yLy=Pb Ux=y Ly=bLT=y矩陣三角分解矩陣的QR分解用矩陣奇異值分解討論矩陣的性質A矩陣奇異值分解<矩陣分析簡介內容結構框圖dX (t )Adt(0)=dX (t ) = AX (t ) + F (t )dtt0òt通解：X (t) = eA(t-t0 ) X (t ) +eA(t-t )F (t )dt0解微分方程組矩陣對一個變量的導矩陣對一個變量的 函數對矩陣變量的導數數矩陣函數導數與的f ( A) = T diag

5、( f (J ) , f (J ) , L, f (J )T -112s矩陣函數矩陣函數計算D¥f ( A) = å a Akkk =1¥矩陣冪級數 å Akk =1¥矩陣級數 å Akk =1Hamilton-Caylay定理對角矩陣法Jordan法矩陣序列A ¥kk =1收斂矩陣lim =AkÛ0r (A) 1®k¥n第一章部分相關習題 P161、（4） 解：設有n為有效數字， 則由定理1.7，得1£´101- na2a1x - a注意：8 £使70 £

6、; 9 ,1< 0.1% ,為使只需則可取a =8。1a1´101- n´101- n=< 0.0012 ´ 82a1即1n = 3Þ10n >´10416查表后得出70 » 8.37x - adxN +1ò NP1711（3）如何計算函數的之比較準確,其中N充分大。1+ x2解：dx= arctg(N +1) - arctgN =N +1ò1+ x2N，則 tga = N注：令a = arctg(N +1),b = arctgNtgb = N + 1由于a - b = arctg(N + 1)

7、- arctgN，由差角公式：tg(a - b ) = tga - tgb 1 + tga × tgb得a - b = arctg tga - tgb ，進而有1 + tga × tgb1arctg(N +1) - arctgN = arctg1+ N (N +1)P49第二章部分相關習題+ a2（1）A = 1æ2ö當a滿足條件 a ¹ -1çè÷1 ø時，A可作 LU分解。-2 öa > 2T當a滿足條件時，A可作 LL 分解,（2）A = æ2ç -2a 

8、7;èøæö22其中L是對叫元素為正的下三角陣，則L=ç -a - 2 ÷èø-1 2-1æ 2ç0 ö÷2 +2 2()2+2（3） A = ç -1-1÷ ,=2則cond (A)=22-2ç÷è 02 øR的對角元（4）R為 對角A的特征，矩陣，A的特征值為U的列，當A為Hermite陣時，R為 實對角陣，為純復對角陣。當A為斜Hermite陣時，R為P55 5.如下矩陣是否存在LU分解,如果存在是否唯一？11

9、öæ 13 öæ 1246A = ç 21 ÷（2） B = ç 21÷（1）23ç÷ç÷ç 47 ÷ç 31÷èøèø（1）解：矩陣A的行列式的性質為：1246312：2 = 0，det(A=)2()()1=1¹ 0=0detAdet A= 1 ¹ 0，321447若A存在LU分解,則æ 1ö÷u11u120 ö001æ 13

10、 ö246ç 2ç 21 ÷ =÷çç÷÷ç 4ç 47 ÷uløèøèæ u1132ö÷u12u13+ uuuu÷1112221323ç÷4u4uluø11123222æ u11ö÷u12u13æ 13 ö17 øu112 4 6即 ç 2u+ uuuç÷11 12221323

11、ç 4÷ç÷4u4uluèø11123222= 1, u12= 2, u13 = 3,進一步有那么2u12 + u22 = a22= 4 Þu22 = 4- 2´2 = 0= 4u12+ l32u22a32= 2 ´ 4 + l32 ´ 0 = 8就有這與a32=6。 故 A 不存在LU分解。（2）解：矩陣B的行列式的性質為：112311=01) = 112= 0，det(B =)2det ( B ) = 1 ¹ 0，det ( B23123若B存在LU分解,則：æ 10 &

12、#246;001l32æ 111öö÷u11u1221÷ = ç 2ç 2ç÷ç÷ç 3÷ç 31÷u3èæ u11øèøö÷u12u13u+ uuu÷1112221323ç÷3u3ul uø11123222æ 1ç 21ö 1æ u11ö÷1 2 3u12u13=u+ uuu即

13、 ç÷113u11 1222 1323ç 3ç÷1èø3u12l32u22ø = 1,= 1,u12u13= 1,u11從而,進一步有：= 0= -12u12 + u22 = a22 = 2 Þ u222u13 + u23 = a23 = 1 Þu23= 1 Þ= l32- 2u33æ 111öæ 10 ö æ1ö÷01l321001B = ç 221÷ = ç 20 ÷ &#

14、231;0-1即ç÷ç÷ ç÷ç 31÷ç 31 ÷ ç0l- 2÷3èø èèøø32，故B存在LU分解, 但是不唯一。其中l32可以P2721.æ a10 ö（4）A = ç÷ ,klim A= O ,k ®¥則a應滿足要是è 00.5ø1（7）設n階矩陣A可逆，òeAt dx = 0de At()11òò

15、;ÞeAt dt = A-1=deAtA-1e AAt- I= Ae00dt a< 1P273 3.設 A=xxH, 其中 xCn 且 x0,如下矩陣序列的收斂性。ü¥ìæö kïçïAíç r ( A ) ÷÷ýþï k =1îï èø注意, A=xxH 的特征值為：xHx, 0, , 0,又故 (A)=xHx。() x Hr 2 ( A)r ( A)( xxHr 2 ( A)ö

16、2xHr 2 ( A)æAA=r ( A)=ç r ( A ) ÷èø從而此矩陣序列的收斂, 其極限為：ö kæAr ( A)A=ç r ( A ) ÷èø¥4證明(A)1時, åk =1A ) - 2=A ( I -k A k證明,方法1¥1f (t ) = åtk< 1, =則t注意, 絕對收斂的函數冪級數,1- tk =0¥1(1 - t )2f ¢(t ) = å¥åk = 0tk

17、- 1令 s (t ) =f ¢ (t ) t =ktkt=k(1 - t )2k = 1則得到新的絕對收斂的函數冪級數æö¥ç å kt÷ (1 - t ) = t ,F (t ) =2s (t )(1 - t )2k< 1t=è k = 0ø由定理3,可知相應的絕對收斂的矩陣冪級數為：æ¥öF ( A) =ç å()2I - A= A ,kA k當(A)1時，÷è k = 0ø而當(A)1時, 由定理1.6可得, (

18、I-A)可逆，故得¥åk =1A ) - 2k A k = A ( I -¥åQ = ( I - A )-1 ,則= A(I - A)-2 ,= A ( I -A )-1 , 取( I - A )-1Ak證明,方法2由于k =1æö¥ç å AkA ( I - A )-1÷ Q =è k =1由性質6、7øéöùæö¥¥¥æ¥æö¥¥= åç Aå An=0åêçåçå A ÷ Q = å A Qk +1kAnn=Akk÷ú÷è n=0øûk =1 ëk =0 èøèøk =1k =1k = 0 , A (I + A + A2 +L)=+L+LA2 (I + A + A2 +L) =+k = 1, k = 2, A3