1、第二節 二重積分的計算(直角坐標部分)教學目的：了解二重積分計算公式導出的方法，理解公式中符號的意義；熟練掌握型區域與型區域上積分公式，熟練掌握極坐標系下的二重積分公式；熟練掌握極坐標與直角坐標系下的二重積分的互化；并能根據條件選擇合適的方法計算積分.重點：型區域與型區域上積分的計算；極坐標系下的二重積分的計算；極坐標與直角坐標系下的二重積分的互化；根據條件選擇合適的方法計算積分.難點：極坐標與直角坐標系下二重積分的互化；選擇合適的方法計算積分.教學方法:直觀教學，啟發式講授教學過程：一、利用直角坐標系計算二重積分1先對后對的二次積分假定, 且,其中: ,則.結論：二重積分必須轉化為二次累次積

2、分進行計算. 注:事實上,條件可以省去.證明: 設是以為底、為頂的曲頂柱體,體積仍用表示.則.過軸上點作平行于的平面,.截得一以長為底,為曲邊的曲邊梯形,其面積為 .當 .2先對后對的二次積分.其中:,.例1計算,由及圍成.解: 積分區域, 則 .另解:.例2計算,由及圍成.解: 如圖, 其中由及圍成；由及圍成.(1) ；(2).(3) .(此方法不好，太復雜了)（另一種解法）則）解 .(積分區域為矩形)例3 化二重積分為二次積分(寫出兩種積分次序).(1)解為矩形區域,所以.(2)是由軸,及圍成的區域.解 則.若將表示為,則 . (3)是由軸,及圍成的區域.解若則.若則 .(4)是由軸,圓在

3、第一象限的部分及直線圍成的區域.解若且及，則.若則 .(5)是由軸與拋物線在第二象限的部分及圓第一象限部分圍成的區域.解若將表示為及則 .若將表示為則 .3型區域與型區域(1) 型區域: 穿過內部且平行于軸的直線與邊界相交不多于兩個交點. 此時.(2)型區域: 穿過內部且平行于軸的直線與邊界相交不多于兩個交點. 此時. (3) 對于任意區域,可將分成若干個型與型區域后分別積分：.例4 計算.解: .（太復雜！）另解: .（簡單多了）注意：選擇計算順序非常重要.例5(87.5) 設積分區域是由曲線與直線在第一象限內圍成的封閉區域,求.（是初等函數但其沒有初等原函數，即必須在型區域上進行積分）解積

4、分區域可表示為 ,.例6(91.5) 計算二重積分.其中是由軸,軸與曲線所圍成的區域;.解積分區域可表示為,.例7 (1)(01.6)求二重積分的值,其中是由直線,及圍成的平面區域.解積分區域可表示為,于是 .(注意一重積分的對稱性)(2)解.練習:選擇合適順序計算下列積分1),其中是由直線和軸圍成的區域.解:將分成,又在上是的偶函數,且關于軸對稱(與均關于軸對稱).2)解:4交換積分順序上述的積分使我們看到積分順序很重要，以下以實例說明如何交換積分順序.例8交換二次積分的次序:(1)解積分區域為,積分區域還可以表示為,于是 原式.(2)解積分區域為,，積分區域還可以表示為 ,于是 原式.（3

5、）(02.3) 交換積分次序:.解積分區域可表示為,其中 ,也可以表示為,故.（4）(92.3) 交換積分次序:.解積分區域可表示為, 故.例9 求證:提示:交換積分次序.解二重積分中的積分區域為 ,區域還可以表示為 ,于是 即 .例10(88.4)求.解積分區域可表示為,(初等函數的原函數不是初等函數).例11(1)計算,是由直線及拋物線圍成的區域.提示:此題若選用型區域上的積分則無法計算出這個二重積分.解取型區域，則區域可表示為, .(2) 計算,是由直線及及軸圍成的區域.（此題若選用型區域上的積分則無法計算出這個二重積分.）解：選用型區域上的積分(3)計算解：例12(06.7) 計算二重

6、積分,其中是由直,所圍成的平面區域.分析：注意積分的順序，使其計算簡單解區域可表示為,故 .例13(1)（本題滿分07.3.11分）設二元函數 計算二重積分，其中【分析】被積函數為分區域函數，利用積分的可加性分區域積分，在計算過程中注意利用區域的對稱性和被積函數的奇偶性進行化簡.【詳解1】由區域的對稱性和被積函數的奇偶性有其中為D在第一象限的部分. 設 , ,.因此 .【詳解2】記，則=【評注】被積函數包含時, 可考慮用極坐標較容易；解法二在計算積分時, 利用了將區域轉化為區域D減去,而后面這兩塊區域均方便積分.例14某城市受地理限制呈直角三角形分布,斜邊臨一條河.由于交通關系,城市發展不太均衡,這一點可從稅收狀況反映出來.若以兩直角邊為坐標軸建立直角坐標系,則位于軸和軸上的城市長