1、范例：以新課標教材人民教育出版社A版(2004年)必修2131 柱體、錐體、臺體的表面積與體積 一、教學目標 1知識與技能 (1)通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法。 (2)能運用公式求解柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉換關系。 (3)培養學生空間想象能力和思維能力。 2過程與方法 (1)讓學生經歷幾何體的側面展開過程，感知幾何體的形狀。 (2)讓學生通過對照比較，理順柱體、錐體、臺體三者間的面積和體積的關系。 (3)在解決問題的過程中滲透化歸的數學思想，培養學生通過化歸解決問題的能力和意識，體驗合情推理的方法和作用。(在解決后面的問題時能主動

2、用化歸思想。) 3情感、態度與價值觀 (1)通過學習，使學生感受到幾何體面積和體積的求解過程對自己空間思維能力的影響，從而增強學習的積極性。 (2)培養學生質疑的意識，以促進學生思維嚴謹性的形成。(學生并不習慣于質疑，可以通過教師的質疑逐步引導，培養理性的精神。) 二、學情分析 學生已具備一些直觀的對簡單幾何體的認識，理性思維還不很成熟，所以在實際教學時，要使學生對已有知識經驗的認識上升到新的高度，從而激發學生進一步學習的欲望。 三、教材分析 1本節的作用和地位 本節內容是高中的一個重要內容，它能使學生的認識在理性方面有所提高，通過本節內容的學習可使學生掌握一種重要的數學思想方法化歸，因此本節

3、內容十分重要。 2本節主要內容 該部分內容中有一些是學生熟悉的，比如正方體、長方體、圓柱、圓錐的表面積和體積。其他空間幾何體一般棱柱、棱錐、棱臺和圓臺的表面積、體積問題是本課時要解決的。在解決這些問題的過程中，首先要對學生已有的知識進行再認識，提煉出解決問題的一般思想化歸的思想，總結出一般的求解方法，在此基礎上通過類比獲得解決新問題的思路，通過化歸解決問題，深化對化歸、類比等思想方法的應用，這也是學習下一章內容時要用的基本方法。 3重點、難點分析 在解決具體問題時，要用相似三角形求得線段的長，這是本課時的難點。特別是對于基礎比較好的學生，如果要完成教材旁白中所說的證明棱臺的體積公式，其難度也是

4、比較大的。 因此確定本課時的教學重點、難點是： 教學重點：柱體、錐體、臺體的表面積和體積計算，培養學生通過化歸解決問題的能力和合情推理的能力。 教學難點：臺體的表面積與體積公式推導，以及“特殊到一般”認識規律和“創造條件促成事物的轉化”思想在推導公式過程中的滲透與應用。 4課時要求：2課時 四、教學理念 課程標準強調學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。因此教學中要“以人為本”，積極引導學生參與到知識獲得的過程中，讓學生獲得分析問題、解決問題的能力。 五、教學策略 課程標準的要求是：了解球、棱柱、棱錐、臺體的表面積和體積計算公式(不要求記憶公式)。而且，新課程的編排體系

5、是從整體到部分，從宏觀到微觀，也即在本課時學習之前學生對空間中點、線、面的位置關系尚無理性認知，所以，在本課時學習過程中最好通過直觀感知、合情推理的方式展開教學。 六、教學環境 本課時涉及的內容比較多，而且其中很多都是再現性的，因此必須借助適當的信息技術手段提前將需要再現的圖形準備好，提高課堂教學的效率。提前制作一些由一個棱柱切開成3個棱錐的模具，上課后供學生操作使用。 七、教學過程 引言：通過學習空間幾何體的結構特征、空間幾何體的三視圖和直觀圖，我們了解了空間幾何體與平面圖形之間的關系。從中反映出一個思想方法，即平面圖形與空間幾何體的互化，尤其是空間幾何體問題向平面問題的轉化，這種化歸的思想

6、方法將貫穿立體幾何的研究過程，是一個重要的思想方法，在今后的學習中大家應該重視這一思想方法的應用。 (設計意圖：挖掘舊知識中蘊涵的數學思想方法，使得隱性知識顯性化，在本課時的學習中發揮先行組織者的作用。) 本課時研究的是柱體、錐體、臺體的表面積與體積。空間幾何體的表面積是幾何體表面的面積，即幾何體各個面的面積的和。空間幾何體的體積是幾何體所占空間的大小。問題1 （1）試著完成下表1中你會的部分。 (2)比較表11和表12中空間幾何體的側面積與表面積你完成的部分，是否蘊涵著上述化歸思想，并請具體給出闡釋。 (設計意圖：通過完成(1)達到幫助學生復習掃清學習障礙、同時了解學生基礎的目的。通過完成(

7、2)進一步明確化歸思想方法，為后繼解決問題提供思路。)活動方式：學生獨立完成之后教師利用展臺展示學生完成的情況，講評糾錯。表1-1部分平面圖形的面積 表1-2部分空間幾何體的表面積與體積 預設的結果：學生可以完成表12中正方體、長方體的表面積和體積，圓柱、圓錐的側面積、表面積和體積。 在教師的引導下，學生進一步明確其中蘊涵的空間幾何體問題可以轉化為平面幾何問題求解的化歸思想方法，運用這種方法時，第一步是要得到空間幾何體的展開圖；第二步是依次求出各個平面圖形的面積；第三步將各平面圖形的面積相加即可。 實際情況：學生在寫圓錐的側面積時因為對扇形面積公式中字母含義認知不清，所以出現錯誤。于是對比表1

8、l進一步解決了利用弧長和半徑表示的扇形的面積公式，之后又利用扇形面積公式求得圓錐的側面積。 在基礎比較差的班級上課時，學生只能寫出正方體和長方體的表面積和體積。學生計算正方體、長方體的表面積時由于熟悉并沒有展開，而是直接計算求解，但是在回答問題“是否蘊涵有上述化歸思想?”時學生還是能很清楚地解釋的。備用圖 圖21 正方體及其展開圖 圖22 長方體及其展開圖 圖23 圓柱體及其展開圖 圖24 圓錐及其展開圖問題2 (1)類比上述求法，利，用化歸的數學思想方法，完成練習1和練習2；機動練習1 如圖25，已知三棱錐SABC的棱長為，各面均為等邊三角形，求它的表面積。 圖25 圖26 機動練習2 如圖

9、26，四棱臺的上、下底面均是正方形，邊長分別是8 cm和14 cm，側棱長都是5 cm，求它的側面積。 (2)思考如何求出任意一個棱柱、棱錐、棱臺的表面積?它與哪些平面圖形有關系?之后在表22中寫出求這幾類空間幾何體的表面積的思路。 (設計意圖：鞏固已有方法。具體問題是學生思維的開始，具體問題可以縮短學生進入解題狀態的時間， 同時通過具體問題的解決使學生有切實的感受，提供了推廣的基礎。) 活動方式：學生獨立完成，展示交流點評。 預設的結果：先完成練習1和練習2，之后抽象得出一般解法。 實際的情況：學生在解決問題時，思路比較順暢，幾乎不存在問題，但是實際計算時出現了問題，表現在計算正三角形的面積

10、時出錯：， 于是求得最后結果，還有學生的計算結果是；計算梯形的面積時出現的錯誤是：錯認為5是梯形的高。在練習2中只要求計算梯形的側面積，但是有學生并沒有認真審題，仍然計算全面積。回答如何計算棱柱、棱錐、棱臺的側面積、表面積時學生的思路都沒有問題。問題3 類比上述方法，求圓臺的側面積和表面積，數據如圖27所示。 圖27 圓臺體及其側面展開圖 (設計意圖：鞏固已有方法，解決新問題。) 活動方式：學生獨立完成，展示討論，形成正確的解題步驟。 預設的答案：(略) 實際的情況：學生的思路沒有問題，但是具體的計算有問題，表現在兩個方面：第一是不能選擇引入簡單的變量，比如有學生設，使得計算復雜；第二是根據三

11、角形相似列式時出錯，比如有學生列出的比例式是等。 針對上述情況實際教學時，將學生寫的解答過程在展臺上展示，通過提問“對應邊是誰”，糾正錯誤。 問題4 將正方體、長方體的體積公式分別改寫為：，其中；，其中。據此猜想棱柱的體積公式是什么? (設計意圖：根據已有知識經驗獲得一般的結論，培養學生合情推理的意識和習慣。) 預設的答案：，其中表示棱柱的高。 實際的情況：比較順利地完成。 問題5 根據圓錐體積與圓柱體積的關系，猜想棱柱的體積公式是什么? (設計意圖：根據已有知識經驗獲得一般的結論，培養學生合情推理的意識和習慣。) 預設的回答：，其中表示棱錐的高。實際的情況：比較順利地完成。 問題6 我們知道

12、等底同高的三角形的面積相等，類比這個結論針對三棱錐你能得到什么猜想? (設計意圖：培養學生根據空間圖形與平面圖形的關系將平面幾何中的結論在空間進行推廣的意識和能力，為完成下面的任務做準備。) 活動方式：學生獨立思考，完成猜想，必要時教師予以幫助。 預設的答案：如果兩個三棱錐的底面積相等，高也相等，那么這兩個三棱錐的體積相等。實際的情況：在學生基礎較好的班完成得比較順利，在基礎較差的班完成得比較困難，學生不能將平面幾何中的三角形、面積與空間中的三棱錐、體積聯系起來。問題7 你能利用上述猜想解釋嗎? 圖28 (設計意圖：雖然此處還不能進行理論的論證，但是在猜想的基礎上可以引導學生進行說理，培養學生

13、的理性思維習慣。) 預設的活動方式：展示操作，由老師利用模型或圖428進行解釋。 實際情況：都是學生完成的。(在學生基礎較差的班級實際教學時沒有進行到這里。) 學生不善于改變方向換角度看問題。學生在解釋圖28中三棱錐1與2的體積相等選擇的底面是，頂點是點和點。這樣的選擇能直接解釋底面積相等，但是就目前的幾何知識還解釋不了高相等，雖然學生解釋了如何做高。又有學生解釋時選擇的底面分別是和，頂點是C。這個選擇比較容易理解，但是還不夠直觀，也許是因為手頭沒有模具的原因，后來在老師的提示下將兩個三棱錐“扳倒”，使得和所在的面著地，那么頂點重合高相當，而不需要從頂點到底面做高，既直觀又避開了沒有學過的知識

14、。問題8 類比棱臺、圓臺側面積的求法，你能解決求棱臺、圓臺體積的問題嗎? 如何求?如圖29，設圓臺的上、下底面積分別為和，高為，試求其體積。 圖29 預設的答案：轉化為棱錐、圓錐的體積差問題求解。 活動方式：學生獨立思考完成。 預備的解決過程(以圓臺為例)：如圖29，設，上、下底面的半徑分別為，和，圓臺的上、下底面積分別為和。因為 所以所以 實際情況：學生只給出思路，具體的計算課后完成。 機動練習3 看圖填空 機動練習4 四棱臺的上、下底面均是正方形，邊長分別為3 cm和5 cm，高是6 cm，求此棱臺的體積。 圖210(設計意圖：檢驗教學效果。)實際情況：在課堂上沒有做這兩個練習。 問題9

15、結合圓柱、圓錐及圓臺的結構特征，再觀察它們的表面積公式、體積公式，你能發現什么關系? (設計意圖：從運動變化的觀點分析三者之間的關系。) 預設的答案： 柱體、錐體、臺體的體積之間的關系：實際情況：只完成了表面積之間的關系。由于棱臺的體積公式沒有在課堂上推導，所以沒有要求學生思考體積之間的關系。問題10 (1)通過本節課的學習你有什么收獲，請從數學知識、思想方法、解決問題的經驗等方面談談。(2)在本節課的學習過程中你有哪些疑問或者質疑? (設計意圖：問題(1)是引導學生對本課時的學習進行歸納總結； 問題(2)引導學生對合情推理過程進行質疑，培養學生思維的嚴謹性，同時激發學生進一步探究的好奇心，為

16、第五章的學習埋下伏筆。)活動方式：學生獨立思考，匯報交流。實際情況：學生能小結出化歸的多種途徑，但是談到質疑，學生只提出一個問題：還沒有講棱臺的體積怎么求。對于這個問題我的回答是：“為什么沒有講?”學生能類比解決。學生沒有其他質疑，于是教師提出問題：(1)為什么計算圓臺的側面積時可以用兩個三角形相似?學生說根據定義圓臺的兩個底面平行。教師進一步追問：兩底面平行就能推出兩直線平行嗎?并舉出反例進一步激起學生的疑問。(2)做三棱錐的高是從一點向平面做垂線，你怎么確定這條線是垂直的? 這些問題都需要到下一章才能解決。八、目標檢測作業作業：P27練習，習題13A組1，2，3。(設計意圖：初步運用公式解

17、決問題。設計理念：將作業作為課堂教學的延伸、聯結和必要補充，而不單是模仿訓練。)九、教學反思1.以研究方法及學生的認知發展規律為主線，旨在發揮數學的教育功能根據上述的設計思路，這一節2課時的劃分辦法是：第一課時研究柱體、錐體、臺體的表面積，及教材中的例1；第二課時，解決教材中的例2、例3及相關的公式應用問題，之后完成對球的表面積與體積的學習。這個設計思路在實際教學中得以充分的實現，學生從一開始對“化歸”思想的陌生，不知道該如何解釋“類比”，及化歸的具體辦法，可見他們已經能將之顯性化。通過本課時的學習，學生應該比較清楚立體幾何初步學習的基本思路，對后繼的學習有幫助。2注重先行組織者的作用解釋研究

18、方法在實際教學時，引導學生回憶本章前面學習了哪些知識，其中蘊涵著什么數學思想。通過復習揭示了具體知識中蘊涵的化歸思想，這是本課時的核心思想，它貫穿本課時教學的全過程，很好地發揮了先行組織者的作用。3注重學生的已有知識經驗的作用，并力求通過本課時的教學使得學生認識再上一個層次；注重設計與生成的有機結合在學生基礎較差的班級上課時，確實困難，因為有學生連正方體、長方體的表面積和體積都寫不對，更不用說寫出圓柱、圓錐的表面積與體積了。怎么辦? 落實與完美不可兼得時選擇“斷臂維納斯”之美。于是在課堂上“就地臥倒”，和學生一起填寫表格，一點一點地落實，并且是看著學生把該填的都填上，否則這一節課就只能是“教師

19、講課”了。在這一節課上沒有按照預設的完成任務，但是學生是有收獲的，聽課教師也是有收獲的。聽課教師說聽了這節課后要寫文章“普通班學生數學缺乏興趣，問題出在哪里?”或者“如何真正針對普通班學生數學缺乏興趣，落實因材施教原則”。學生“感覺收獲特別大!”“整節課，學生在一種愉快而又緊張(他們怕被提問但又想被問)的思考中，結束了這節課的學習。”在教學實踐中，注重學生的參與，并且是思維層面的參與，并通過環環相扣的問題串實現。什么是思維層面的參與，可以通過一個具體的事例解釋：比如求圓臺的側面積，筆者的處理方式是問題提出后，教師“閉嘴”，由學生獨立思考解決，之后再交流。常見的教學方式是，提出問題之后教師先分析

20、思路，確定解法之后由學生完成。后一種方式中學生活動的思維含量較低，屬于“苦力”行為，而且容易養成學生的依賴性，導致在考試中“不怕難題怕新題的現象”。在評課時，授課所用班級的原課任教師也說到，“學生的配合并不是太好，原因是學生不習慣這種教學方式。”事實上只有一開始就把問題交給學生，才能真正發現問題，生成教學，才能培養學生獨立性，才能培養學生分析問題的能力。4注重直觀感知，合情推理，但是爭取不失時機地進行說理和推理課程標準對該部分內容的要求是“了解”，并且不要求記憶公式。但是在寫教學設計時一直有一個困惑：難道就直接把公式給學生嗎?那樣做符合高中的課程目標和學生的思維規律嗎?在寫教學設計時還是希望不

21、失時機地給學生滲透說理和推理，并在教學實踐中予以落實，這樣做導致的結果就是容量加大，在規定的2課時內實在是難以完成，包括對實驗班的學生。這一節課在我省最好學校的最好班級、城市優質高中的實驗班(該校班級分為實驗班、普通班)、城市優質高中的普通班(該校班級分為特優班、實驗班、普通班)分別上過，每次上完課的感覺都是緊張，容量大，聽課教師的感覺也是如此，但是這一課時完不成上述教學設計的內容，那么必定在2課時內完不成這一節的教學內容，就像在普通班“就地臥倒”之后，必須用3課時完成，而這個普通班還不是最差的班級。所以現在依然困惑是教學設計超標了，還是課時給少了?對于這一節有兩種解決課時的辦法：第一種辦法是

22、不用本教學設計，只把結論給學生，但對這種方法多數教師都持懷疑態度，這樣教就可以了嗎? 第二種辦法是用3課時完成，并如下劃分3課時：柱體、錐體、臺體的表面積及其應用1課時，體積及其應用1課時，球的體積、表面積和本節習題處理1課時。5教材處理有變化，但變化中有不變的規律尊重教材的處理思路教材處理中有兩點做了明顯的變化：其一是調整了教材處理的順序，將圓柱、圓錐的表面積與體積問題提前，因為這些內容在義務教育階段已經學過；其二是將問題分化，即將表面積分化為側面積與底面積。重點解決側面積問題。實踐證明這樣處理是正確的，不論在哪種類型的班級上課，只要解決了側面積問題，表面積問題就水到渠成，一帶而過。但是變化

23、中不變的一條是遵循教材的研究思路，與同題授課的老師相比更注重研究思路在教學過程中發揮的作用，在評課中同題授課的教師也認為筆者的處理方式更好。所以建議教師在研讀教材時不但要看顯性的知識，還要看隱性的知識，將明線暗線相統一。(注：該案例由山西省教科院薛紅霞老師提供)思考與練習：1教學設計與教案的關系是什么?選擇一個中學數學內容具體詳細寫一個教學設計與教案，并作比較。2你認為數學課堂教學設計要遵循哪些原則?選擇一個中學數學內容具體來說明。3下面是某老師設計的函數的最大值與最小值教學目標：知識和技能目標(1)明確閉區間。，6)上的連續函數(J)，在d，凸上必有最大值與最小值。 - (2)理解上述函數的

24、最值可能存在的位置。 I (3)掌握用導數方法求上述函數的最大值與最小值的方法與步驟。 I 過程和方法目標 I (1)在學習過程中，觀察、歸納、表述、交流、合作，最終形成認識。 I (2)培養學生的數學能力，能夠自己發現問題、分析問題并最終解決問題。 I 情感和價值目標 ÷ (1)認識事物之間的區別和聯系，體會事物的變化是有規律的唯物主義 思想。 (2)提高學生的數學能力，培養學生的創新精神、實踐能力和理性精神。 請你對該老師設計的這個教學目標作出點評。 4下面是某老師設計的數學歸納法及其應用舉例的學情分析： 知識準備：學生對等差(比)數列、數列求和、二項式定理等知識有較全面 的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸 納的概念是模糊的。 能力儲備：學生經過中學前5年的數學學習，已具有一定的推理能力，數 學思維也逐步向理性層次躍進，并逐步形成了辯證思維體系。但學生自主探究 問題的能力普遍還不夠理想。 學生情況：我所在的學校是省屬重點中學，所教的兩個班級是平行班，學 生基礎還不錯。我按照大綱要求，結合學生情況，補充了一些問題情境和數學 實例以烘托重點，突破難點。 你認為該老師的這個學情分析有什么缺陷? 5數學課堂的教學反思有哪些方法?你常用哪種方法進行課后反思?請 你判斷以下的課