1、冀教版第 25 章第 2 節 平行線分線段成比例河北省唐山市遷安（縣）市第三初級中學 張艷軍一、內容及內容解析“平行線分線段成比例” 是課程標準圖形的性質及其證明中列出的九個基本事實之一，是平面幾何的一個重要定理，也是研究相似形的最重要和最基本的理論。它一方面可以直接判定線段成比例，另一方面，當不能證明要證的比例成立時，常用這個定理把兩條線段的比“轉移”成另兩條線段的比。把平行線分線段成比例應用在三角形上，就得到了定理的一個重要推論，這個推論是判定三角形相似的理論基礎。在學習平行線分線段成比例定理要讓學生有足夠的體驗，很難達到對定理的理解， 進而影響了后續知識的掌握。 所有的新知識， 都要通過

2、自身 “再創造” ，納入到自己的認知結構中，成為有效而能發展的知識，優化和發展了數學認知結構。因此在教學過程中，要給學生充足的研討時間，化未知為已知，掌握相應的數學思想方法，發展學生的認知，這樣才能達到對基本事實的理解，進而為后續學習奠定基礎。二、目標及目標解讀1 .經歷探索“平行線分線段成比例”的過程.2 .掌握“平行線分線段成比例”基本事實：兩條直線被一組平等線所截，截得的對應線段成比例 .3 .在得出“平行線分線段成比例”基本事實的過程中，進一步滲透類比、歸納、轉化等數學思想方法，發展學生的數學思維，鍛煉學生識圖能力和推理論證能力 .4 .體驗數學活動與人們生活的密切聯系，增強應用數學的

3、意識.在本節課的教學中，根據學生的認知基礎以及之前學習的知識體系，確定上述教學目標。 “活動一”中，我以學生熟知的三角形、平行四邊形和梯形三個圖形作為探究的特殊圖形，根據題目中所給出的條件，去發現得出相同的結論，從而抽象三個圖形的共同特征，得到“等距平行行線”截任意直線，截得的兩部分長度相等，糾其實質就是“等距平行行線”截得的兩條線段之比等于兩平行線之間的距離之比，并且非常特殊，這個比值為 1： 1，以“活動一”作為探究問題的載體，使學生經歷探究基本事實的過程。結合“活動一”向學生滲透我們研究數學問題的思想方法：類比，轉化，從特殊到一般。由“活動一”進入“活動二”是一個由特殊到一般的過程，改變

4、三條平行線之間的距離，繼續探究任意直線被這組平行線所截，截得的兩條線段之比與平行線間距離之比的關系，利用第一組圖形發現結論的方法，設計研究方案，利用測量法或轉將非等距平行線轉化為等距平行線的方式，發展學生的數學思維，在探究問題的過程中，鍛煉學生的幾何識圖能力和推理論證能力，引導學生自主建構“平行線分線段成比例”基本事實，進而應用基本事實解決問題。三、教學問題診斷分析“平行線分線段成比例” 基本事實是等距平行線截任意直線的推廣， 我采用 “以舊導新”的方法進行，即通過復習舊知識體系，結合特殊圖形得出基本圖形，類比推廣導出新知，降低問題難度。根據教材內容來看，本節的難點是對對應線段，以及對應線段成

5、比例的理解，由于圖形和比例式變式較多，學生在找對應線段時常常出現錯誤；在研究平行線分線段成比例時，常用到代數中列方程的方法，利用已知比例式或等式列出關于未知數的方程，求出未知數，運用代數方法研究幾何問題。因此，在得出“平行線分線段成比例”基本事實之后，要幫助學生通過不斷變化的幾種最具典型性和代表性的變式圖形，深化對基本事實的認識。后面通過練習的設計，實現了對知識的典型應用，讓學生較深刻地理解了所學的內容，四、教學支持條件分析本節課改變了以 “講授”為主，以“灌輸”結果為特征的數學教學模式，充分體現了教師為主導，學生為主體的教學原則。就學生的學情來看，七年級已經系統學習過平行線的相關內容，在九年

6、級本節課前面已經學習了比例線段，在本節課新授課之前，曾經經歷過以“觀察猜想操作證明”等步驟探究問題的方式來學習新知，因此具備一定的學習經驗。教學過程中，給予學生探究問題的時間，并且組內進行充分討論交流，達到對于問題的辨析性認識，學生利用測量法得出猜想結論需要進行理論提升和驗證，因此，在教學過程中補充演繹證明，從而認可結論的正確性。此處，結合學生的猜測以及測量之后，充分利用媒體優勢，使用幾何畫板再次演示發現結論的正確性，從而為學生進一步理解“平行線分線段成比例”基本事實提供了有利的依據。25.2 平行線分線段成比例單位 : 遷安市第三初級中學編者：張艷軍 審核領導：張杰新 日期： 2019 年

7、10 月第 3 頁【自學培課題：平行線分線段成比例【課前培訓】訓】1.經歷探索平行線分線段成比例的過程.1.先自己對新學內容進第一步 要2.掌握基本事實：兩余直線被一組平等線所截， 截得的行簡單梳理，并對自己求先讀題， 自己分析，教 學對應線段成比例.3.在得出“平行線分線段成比例”基本事實的過程中，的疑點進行標注。用雙色筆勾目進一步滲透類比、歸納、轉化等數學思想方法，發展2.在小組長的帶領卜，畫出重點、標學生的數學思維，鍛煉學生識圖能力和推理論證能力.討論要用針對性，尤其難點，自己 解答，對問4.體驗數學活動與人們生活的密切聯系，增強應用數學的意識.是解答出現問題的思 路及方法。題要啟自己重

8、的認識，并難占八、“平行線分線段成比例”基本事實的理解及應用3. "學幅記錄自己的 疑惑點，獨“平行線分線段成比例”基本事實中對應線段的理解.的嚴密性，要對展示的重 難 占 八、1.利用“活動一”作為鋪墊，引導學生認識等距平行線內容進行概括性的展學要認真；截直線獲得的結論，引導學生自主建構“平行線分線不，只展不要點。第二步：與段成比例”的基本事實.2.通過歸納“兩直線被一組平行線所截”不同形式的圖補充學生要用簡潔的對子交流、突形之間的比較，加深對“平行線分線段成比例”基本語言對知識進行補充討論、互查， 通過對學、 群學，讓各 小組進行充破事實的理解.和提出異議，對探究點“平行線分線段

9、成比例定理”是平面兒何的一個重要 定理，它是研究相似形的最重要和最基本的理論，是進行分析。4.小組長注意及時對分交流，生課程標準圖形的性質及其證明中列出的九個基本本組成員進行培訓，注成最佳問題事實之一。它一方面可以直接判定線段成比例，另一意本組學生的課堂參解決方案；方面，當不能證明要證的比例成立時，常用這個定理與。第三步：適把兩條線段的比“轉化”成另兩條線段的比。把平行時聚焦、展 示，并通過 教師點撥形教 學 反線分線段成比例定理應用在二角形上，就得到了定理 的一個重要推論，這個推論是判定三角形相似的理論【教學過程】導入語：七年級我們學成科學、規基礎。然而，關于平行線分線段成比例定理，學生沒習

10、了 “平行線”，上節范的問題解思有足夠體驗，很難達到對定理的理解，進而影響了后課我們研究了 “比例線決辦法或格 式，從而形 成數學方續知識的掌握。所有的新知識，都要通過自身“再創造”，納入到自己的認知結構中， 成為有效而能發展的段”，那么，當“平行 線”遇到“比例線段”法.知識，優化和發展了數學認知結構。因此在教學過程時，又會產生什么奇妙中，要讓學生經歷“觀察一一猜想一一歸納一一驗證”的結論呢？讓我們共等一系列的數學活動，不斷體會數形結合和從特殊到同去探索和發現。下面一般的數學思想方法。要給學生充足的研討時間，化我們首先進入“活動未知為已知，從而不斷完善學生的認知體系。一”第10頁學習過程 【

11、活動一】觀察下面一組圖形，回答下面的問題A已知：在AABC中, AD=DB, DE BC./E.BD結論:已知：在平彳T四邊形 ABCD中, AE = EB, AD EF BC.已知：在梯形ABCD中, AE=EB, AD EF BC.結論： 結論：1.結合前兩組圖形，你能發現什么相同的結論？ 你是如何發現上述結論的?2.觀察三組圖形，它們的共同特征是什么？你能用一個簡單的圖形來描述這個共同特征嗎？3.結合問題2中的圖形，用幾何語言描述:教學過程從學生熟悉的三角形和平行四邊形入 手，觀察圖形，回答問題.1 .分析題目中已知條件，學生根據已 有知識體系，獲得盡可能多的結論 .【設計意圖】從學生的

12、認知體系入手， 發散思維，為下面的繼續學習奠定基 礎.注意：此處要給學生較為充足的時間； 指導學生以小組為單位，分類匯總得 出的結論，匯報結果，發現問題 .2 .通過對比結論，能得到兩個圖形的 相同結論有哪些？【設計意圖】異中求同，變中求定， 引導學生發現問題的本質特征.【課堂預設】學生中出現的相同結論 可能集中在“三線八角”基本圖形， 以及一條邊被平分上.教師引導：“三 線八角”在七年級時已經做過重點研 究，不作為本節課的重點內容.引發學 生得出邊被平分.追問：你是如何發現這個結論的？ 學生可能通過猜測或測量或證明等方 式，預計以測量居多.【教師點撥】測量法是我們常用的一 種研究數學問題的方

13、法，以后還要廣 泛運用.可通過“測量法”或“演繹證 明”的方式來說明猜想的正確性 .3 .繼續出示第三組圖形，你能發現與 前兩組圖形相同的結論嗎 ？ 學生有了之前的學習經驗，預計能快 速得到答案.4 .繼續觀察三個圖形，你能發現它們 具備什么樣的共同特征，才會產生相 同的結論嗎？請同學們嘗試用一個簡 單的圖形來描述這個共同特征.【設計意圖】通過對于特殊圖形的觀 察理解，提升學生的識圖能力，認識 圖形的內在不變性，抽象簡單圖形 . 預計會出現多種情況，教師注意引導 分析：(1)三個圖形中，哪些條件是固定不 變的？(不變的量：本質特征)(2)哪些條件是可以變化的.(變化 的量：靈活應用)5 .揭示

14、課題：平行線分線段成比例 回顧“活動一”的整個研究過程，從 特殊圖形出發，由共同特征抽象基本 圖形，得到一個一般性結論，這體現 了我們在研究數學時的基本思想：類 比、從特殊到一般.【活動二】如圖2,兩條直線AC、DF被三條互相平行的直線Adhli、12、13所截，截得的四條線段分別為AB, b|E 1-Vl2BC, DE, EF,平行線1I2之間的距離為di,:FC,F l3平行線12、13之間的距離為d2 .平行線12、13之1圖2 間的距離為d2.【猜想】 "_ =, 2=.由此得出結論： BCEF2 .請驗證你的猜想.(提示：可以設di=1, d2 =2或其它距離均可)3 .【

15、探究結論】兩條直線被一組平行線所截，.讓學生體會從特殊圖形到一般結論的 抽象的過程.等距平行線截任意直線 截得的兩條線段相等，即被截得的兩 條線段之比等于兩平行線間的距離之 比，并且比值為 1： 1.此處利用“幾 何畫板”演示這個一般性的發現.規范 幾何語言.【大家思考】平行線間的距離可以改 變嗎？當平行線間的距離發生改變 時，被截得兩條線段與兩平行線間的 距離還成比例嗎？【設計意圖】由等距平行線到一般平 行線，落實數學從特殊到一般、類比 的思想.學生應該很容易猜想：成比例.帶著 這樣的猜想，讓我們進行入“活動二” 1.學生大膽猜想結論；2 .問題2進行開放性設置，沒有給出 一致性的驗證方法，

16、但基于學情，給 予提示.【設計意圖】問題開放化，引發學生 深度思考，便于發現問題.3 .學生在完成驗證猜想的過程中，教 師要特別關注學情，去發現學生中出 現的好的想法或誤區.預計學情：(1)測量法；(2)個別同學能夠將不等距的平行 線，轉化為“活動一”中的等距平行 線，從而化“未知”為“已知”； 4.通過上述探究，得出“平行線分線 段成比例”基本圖形，并且規范幾何 語言.追問：(1)大家如何理解“對應線段”，結 合圖形進行說明；(2)如何理解“對應線段成比例”(3)除了基本比例式，你還能再寫出 幾組比例式嗎？【設計意圖】突出重點，突破難點 . 提出的問題，可結合上節課比例的基 本性質，得出大致

17、類型：(1)“上下型”(2) “上全型” (3) “下全型”還可視學生情況拓展到“上上”“下下” “全全”之比相等.“活動三”應用基本事實.1 .分析圖形和條件，選取適合的 比例式.2 .找兩名同學到黑板同步板演， 便于發現問題；3 .大屏幕展示正確結果，進行比 對.4 .強調基本事實應用過程中應該 注意的問題.【設計意圖】此處練習，“拋磚引玉”，重在讓學生對本節課產 生一個完整性的認識.然后分析 從“基本圖形”到“變式圖形” 中常見圖形.【活動三】如圖，11 / 12 / 13 , AB=3, BC=6, DE=2.求 EF 的長.lil2l3注意：在利用“平行線分線段成比例”定理的過程中，

18、最重要的 是： ,從而利用比例的基本性質求出線段的長度【目標檢測1題組一1.如圖1,兩條直線11, 12被三條平行線13、14、15所截，交點分別是A, D, F 和 B, C, E.卜列等式中正確的是:（填序號）AD CEDF BC 'BECE'丁 AD BC=BE AF 'DF ADCE BC2.如圖2,直線11若 AC=3,CE=4,BDDFBDBF3.如圖 2,直線 11 / 12 / 13，若 AC: CE=2: 3,若 DF=9,則BD=.一，一AB .4.已知，如圖 3, AD / BE/ CF, = k.求證：DE=kEF. BC目標檢測涉及兩組練習【設計意圖】題組一中第1、2、3小題以填空 題的形式對“基本事實”直接應 用，圖形變式不多，側重夯實基 礎，加強基本應用，幫助學生實 現理解并掌握“基本事實”； 第4小題，以平行線截兩條直線 作為問題背景，衍生出一個基本 的比例式變形證明，讓學生靈活 運用“基本事實”，體會應用形 式的多樣化.限時完成練習，同步板演， 基礎 問題，學生比對，特殊問題，強 化分析.題組二1.如圖，直