1、 數(shù)列極限幾種求法初探梁德君（湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院 湛江 524048）摘要：極限論是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，極限的問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)分析的困難之一，也是許多科學(xué)領(lǐng)域的重要思想之一，然而數(shù)列極限又是極限的基礎(chǔ)。同時(shí)涉及數(shù)列極限的問(wèn)題有很多，包括極限的求法，數(shù)列極限的證明，極限的存在等。因?yàn)闃O限的重要性，從而怎樣求極限也顯得尤其重要。一般極限還可以用定義來(lái)求，但對(duì)于一些復(fù)雜極限，直接按照極限的定義求就顯得非常困難，不僅計(jì)算量大，而且不一定能求出最終結(jié)果，下面初步總結(jié)了極限的幾種求法，并且以實(shí)例來(lái)加以說(shuō)明。關(guān)鍵詞：數(shù)列極限，定義法，級(jí)數(shù)性法，迫斂性，單調(diào)有界原理，壓縮法，柯西判別法，錯(cuò)位法，拆分法，

2、公式法，定積分定義法，定積分性質(zhì)法，歸結(jié)原則Preliminary analysis about the several methods of Series LimitLIANG Dejun(Mathematics and computational science school,Zhanjiang Normal University,Zhanjiang ,524048)Abstract:The limit is the basis of mathematical analysis ,limit question is always one of the difficulties of mat

3、hematical analysis,and it is also one of the important ideas in many scientific fields.However,Series limit is the basis of the limit.At the same time the problems what relate to series limit are o lot,including to the methods of limit,the poor of series limit,the existence of such limits .Because o

4、f the importance of limits,it is particularly important how it is done.Definition can be used to solve general limit,but it is very difficult for a number of complex limit.Not only it takes us much time to solve it ,but also we not sure to get the results.Below several methods will be described and

5、several examples will be used to illustrate them.Keyword：Series-Limit Definition-method Series resistance method convergence-property monotonicity-principle compression-process Cauchys convergence test formula-method Definite integral definition method Definite integral property method Principles bo

6、il down目錄1、 最基本最常用的方法定義法32、 迫斂性33、 判別數(shù)列極限的幾種方法 5 3.1柯西收斂準(zhǔn)則 5 3.2單調(diào)有界原理 5 3.3兩種判別方法 7 3.3.1有界變差數(shù)列 7 3.3.2壓縮數(shù)列 74、 利用函數(shù)的某些性質(zhì)來(lái)求數(shù)列極限 75、 利用施篤茲公式以及其它方法求解 9 5.1施篤茲公式求解 9 5.2級(jí)數(shù)求解 10 5.3定積分定義法 12 5.4定積分性質(zhì)法 12 5.5錯(cuò)位法 13 5.6拆分法 136、 結(jié)語(yǔ) 147、 參考文獻(xiàn) 141、最基本最常用的方法定義法 定義1 設(shè)為數(shù)列,a為實(shí)數(shù),若對(duì)任給的正數(shù),總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)時(shí)有, 則稱數(shù)列收斂于a,實(shí)

7、數(shù)a稱為數(shù)列的極限,并記作或. 讀作：當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí),的極限等于a或趨于a。由于n限于取正整數(shù),所以在數(shù)列極限的記號(hào)中把寫成,即或. 例1、設(shè)。證明。 證明方法（1）：因?yàn)椤９剩ㄈ。?有于是，由的任意性。 證明方法（2）： 小結(jié)：設(shè)通過(guò)此例總結(jié)出運(yùn)用論證法的大致步驟：）任意給定；）令；）推出；）取，再用語(yǔ)言順述并得出結(jié)論。2、迫斂性 定理2.1（迫斂性）設(shè)收斂數(shù)列，都以a為極限，數(shù)列滿足存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則數(shù)列收斂，且。例 2、求極限 。二、解法1 容易發(fā)現(xiàn)直接化為黎曼和的形式有困難.注意到 ,由于，所以 . 解法2（利用數(shù)列夾逼準(zhǔn)則）利用，得 ,由于，所以 .思考題（華南師大2000年

8、考研真題）求證。 小結(jié)：運(yùn)用此法的關(guān)鍵將 適當(dāng)放大與縮小，一般是從數(shù)列出發(fā)，將其通項(xiàng)放大后得數(shù)列，縮小后得數(shù)列，并使與的極限都存在且相等，放縮的技巧基本上類似應(yīng)用 定義證數(shù)列極限時(shí)的常用方法，關(guān)鍵是掌握不等式的放縮的各種方法。 但大多數(shù)數(shù)列并不是有一定規(guī)律的或很容易使用迫斂性就可以求之的，而且有的數(shù)列是有極限還得進(jìn)行判斷，這時(shí)就得引入判別數(shù)列極限存在的定理。3、判別數(shù)列極限存在的幾種方法定理3.1（柯西收斂準(zhǔn)則）：數(shù)列收斂的充分必要條件是任給,存在,使得當(dāng)時(shí)，都有成立。例 3、證明。證法一：取，取則（差化積）=.方法二（反證法）假設(shè)記，故又因=于是。故而，于是上式兩邊取極限得，得矛盾。從而可證

9、數(shù)列。定理3.2（單調(diào)有界原理）在實(shí)數(shù)系中，有界的單調(diào)數(shù)列必有極限。 例4、設(shè)，試證：收斂，并求。證明 令，則有，在上是嚴(yán)格遞減的；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若，則有顯然，；將代入，得，由，得單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，設(shè)，在，中，令取極限，得，從而有，故或者 注意到，我們有當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是，知，往證遞減，遞增，實(shí)際上從中，解出 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，從而由單調(diào)有界原理，存在使得，在，中，令，取極限，有 ，解之得，故。小結(jié)：這種方法無(wú)需知道有限，只根據(jù)數(shù)列本身的性質(zhì)(單調(diào)、有界)，即可知極限存在，然后在關(guān)系式兩邊取極限得一方程，解得數(shù)列極限值，這是單調(diào)有界原理證明極限存在和求極限的典型方法C 但此法有很大的局

10、限性，只適用于判定單調(diào)數(shù)列的收斂性，判別任一數(shù)列的收斂性還有下面的方法。定理3.3 有界變差數(shù)列一定收斂。定理3.4 任意壓縮數(shù)列一定收斂。 于是我們想求數(shù)列極限時(shí)可以試著構(gòu)造有界變差數(shù)列、壓縮數(shù)列，進(jìn)而利用以上兩個(gè)定理加以求之。具體的使用在以上的兩個(gè)例子中都有體現(xiàn)，在這里就不再加以詳細(xì)指出。 4、 利用函數(shù)的某些性質(zhì)來(lái)求數(shù)列極限定理4.1（歸結(jié)原則）設(shè)在內(nèi)有定義，存在的充要條件是：對(duì)任何含于且以為極限的數(shù)列，極限都存在且相等。 例 5、求解：解：原式 .小結(jié)1：從以上可以看歸結(jié)原則研究的是數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系，同樣也有利用數(shù)列極限與函數(shù)極限等值關(guān)系來(lái)求極限，這種方法把數(shù)列極限化成函數(shù)形式

11、的極限，而后回代，從而求出數(shù)列極限的一種方法。 例6：（華南師大1997年考研真題）若 ,求.解 先考慮而 = = = = = = = =4.2、利用重要公式求極限或者轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限例7：求 .解 = = = = =例8：求極限 .解 = = = = = 小結(jié)2 以上是利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限，此方法必須在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上，對(duì)所求式子作適當(dāng)變形，從而達(dá)到求其極限的目的，這種方法靈活，有相當(dāng)?shù)募记尚浴?、利用施篤茲（stolz)公式及其他一些方法求解數(shù)列數(shù)列極限 我們所學(xué)的施篤茲（stolz)公式也是求數(shù)列極限的一種有利工具，但需要滿足一定的條件:若數(shù)列單調(diào)遞增趨于

12、，（可以為無(wú)窮大），那么，有了這樣的公式我們?cè)诮鉀Q一類數(shù)列極限時(shí)可以簡(jiǎn)便求出其解。定理5.1（stolz） 若（1）嚴(yán)格增大，且無(wú)界; (2),則收斂，且.例9、設(shè)，試證：存在時(shí)，。 證明：因?yàn)椋豁氉C明第一項(xiàng)趨于0，為了利用，特令,則可知，且 =于是由stolz公式有，（應(yīng)用stolz公式） 小結(jié)：使用施篤茲公式可解決一類比較復(fù)雜的數(shù)列極限，然而有些數(shù)列是更顯復(fù)雜的，也不滿足已有的條件，這時(shí)就得另尋他法，我們注意到有時(shí)所求數(shù)列極限跟數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有一定的轉(zhuǎn)化關(guān)系，于是我們就可以考慮是否可轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)類而求之？下面的例子就說(shuō)明可以轉(zhuǎn)化為級(jí)數(shù)的形式。5.2、級(jí)數(shù)性質(zhì)法例10、解：因?yàn)閺亩虼嗽?0思考

13、：求極限（浙江大學(xué)1999年數(shù)學(xué)分析考研真題）5.3定積分定義法例11、求（中山大學(xué)2010考研真題）解法一、因?yàn)?，而是在上的特殊積分和，又 =于是原式=解法二、設(shè)若則記則=.故=.5.4、定積分性質(zhì)法例12、求。（華南師大1997考研真題）解：因?yàn)樗岳?3、解： 因?yàn)椋援?dāng)n充分大時(shí)，5.5、錯(cuò)位法例14、求。解：=.思考題求。（華南師大1997年考研真題）小結(jié)：可以看成分母為同底數(shù)冪，分子為奇數(shù)的級(jí)數(shù)求和，把級(jí)數(shù)的分子轉(zhuǎn)化為同一個(gè)數(shù)和“1”，然后再分項(xiàng)求極限。5.6、拆分法例8、求。（華南師大1996年考研真題）解：因?yàn)椋谑枪试?6、結(jié)語(yǔ) 本文就數(shù)列極限的幾種求法進(jìn)行了初步探討，

14、從上文可以看出要想求出一些數(shù)列的極限，而在題目中沒(méi)有明顯指出極限存在的條件下我們先判別數(shù)列的存在進(jìn)而求之，在文中已經(jīng)介紹了幾種判別法，在求解的過(guò)程中，先從已知出發(fā)跟哪種方法形式比較相近，在使用上面介紹的方法進(jìn)行求解，這個(gè)過(guò)程往往并不是一個(gè)過(guò)程就可以解決的，通常需要幾種方法的結(jié)合！例如數(shù)學(xué)歸納法，同時(shí)往往一道題也并非就只有一種求解方法，例如有界單調(diào)原理就會(huì)經(jīng)常與其他方法結(jié)合使用。7、參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)第三版M,北京：高等教育出社.2009:28-34.2 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析下冊(cè)第三版M,北京：高等教育出社.2009:52-61.3 裴禮文 .數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M，北京：高等教育出版社.2006（2）：57-62.4 曾捷.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解M，北京：中國(guó)礦業(yè)大學(xué)出版社.2009（1）： 43-44.5 張?zhí)斓拢n振來(lái).數(shù)學(xué)分析同步輔導(dǎo)及習(xí)題精解M,天津：天津科學(xué)技術(shù)出版 社.2009(1):64-70.6 葉國(guó)菊，趙大方.數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)與考研指導(dǎo)M,北京：清華大學(xué)出版社.2009(1):7-19.7 徐森林，薛春華.數(shù)學(xué)分析M，北京：清華大學(xué)出版社，2005（1）：1-76.8 周彬.數(shù)列極限的幾種求法J.新課程學(xué)習(xí)體會(huì)（社會(huì)綜合），2009(04).9 吳秉會(huì)，魏連鎖.壓縮映像原理在遞推數(shù)列極限中的應(yīng)用J,高師理科學(xué)刊，2