1、矩形折紙類問題解法分類舉例姓名近年來，一類矩形折紙問題“折”進了中考數學題，有的考生著實感到解答起來不夠順手, 頗具難度.本文就這類題型的解題規律作點探討與提示，請看例題.一、沿矩形對角線折疊例1.如圖1,在矩形ABCD, AB= 16, BG= 8,將矩形沿AC折疊，點D落在點E處，且 CE與AB交于點F,那么AF=練習1.如圖2,在矩形 ABCD, AB= 16, BG= 6,將矩形沿AC折疊,;(2)若 AB 與 CD點 B落在點 B 處，（1） /BCD=50, / ACB二交于點E, P為線段AC上的任意一點， PHXCDT H, 試求PG+ PH的值。二、沿矩形對稱軸折疊例2.已知

2、矩形 ABCM邊AB= 2, AA BG矩形ABCDB勺面積為s,沿矩形的對稱軸折疊一次得 到一個新矩形，求這個新矩形的對角線的長度。、使其對角頂點重合折疊例3.如圖3,矩形紙片 ABCD勺長AD= 95 AB= 3cmi將其折疊，使點 D與點B重合，那么折疊后，求DE的長和折痕EF的長四、使矩形一頂點落在其某一邊上而折疊例4.如圖4,折疊矩形的一邊AD,使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8 cm,BC=10 cm,求EC的長。練習2.如圖，在矩形紙片ABCD43, AB=3, AD=5,折疊紙片，使點 A落在BC邊上的點Ai處，折痕為PQ設BA=x,若限定點P、Q分別在AR AD上移動，

3、則 x的取值范圍是 。五、使矩形一頂點落在其對稱軸上而折疊例5.已知如圖5,有一塊面積為1的正方形ABCD M N分別為AR BC邊中點，將C點折至MN 上，落在點P的位置，折痕為 BQ連接PQ. M DK、兩次小同方式的折疊例6.（初三）如圖6, 一張寬為3,長為 C的位置，BG交AD于G,再折疊一 ME的長為。32.BNC圖54的矩形紙片ABCD先沿又角線BD對折，點C落在點 次，使點 D與點A重合，得折痕EN EN交AD與M,則求mp11 4、（2）求證：以PQ為邊長的正方形的面積等于 。）A-.-.G ：M-dTN,B/，CB圖6J練習3.將f 形 ABCOU圖方式折疊，EF、EC為折

4、灰在AiE的Bi處。若 AiD=4, BC=& 求BE的長。七、中考題選例7.（甘肅蘭州市）如圖，在直角坐標系中，將矩形A -E .B鼠折疊后點 A落在邊CD的A處，點B落OABg OB折疊，使點 A落在點Ai處，已知OA=J3 , AB=1,則點A的坐標是（A）（至，3）（B）22（C） （ 3 , ）（D）22例8.（山西呂梁市）將一張紙片沿任一（）斗丫*CB3,3）J2"OA11-, ）（本題中把OA=/3改為OA=2則怎樣解？）22一方向翻折，得到折痕AB （圖（1）;再翻折一次，？得到折痕OC （圖（2）;翻折使OA與OC重合，得到折痕 OD （圖（3）;最后翻折使

5、 OB與OC重合,DOE勺大小是1)3)6)7)MNMN之間的位置并加以證明?MN間的(3)四邊形(5)(6)(8)我們將一張長12那么這個的面積為距離有何變化？請說明理由(1)QPC的角度在每次翻折的過程中保持不變，則每次翻折后A落在直線PM上一點A10 cm（1） EF的長；（2）梯形ABCE勺面積PQ （P在BC上），使頂點C落在四邊形 APCDrt一點C恰好落在對角線 AC上的點F處將矩形ABCDgCE折疊后，使點 D?如圖，在矩形 ABCD43, AB=6, BC=&AD于M再將紙片的另一部分翻折的矩形紅紙條（圖甲）進行翻折 如果“紅鉤”中的/ 行60° ,QPC勺

6、角度在每次翻折的過程中都為459.（湖南邵陽市）10.（湖南郴州市）如圖 5,矩形紙片ABCD勺邊長分別為a, b （a<b）.將紙片任意翻折N的周長與a, b有何關系，為什么?11.同學們都喜歡老師給他的作業打(精確到0.1 cm 2)/ 2=例12.矩形紙片ABCD中，第一次按如圖方式折疊，使點A與點D重合,折痕為EG、EF,得到五邊形EGBCF ;第二次對五邊形 EGBCF按如圖方式折疊，使點G與點F重合，折痕恰好是EB、EC,若BC=2 ,貝U AB長度為（)(A) 2 忑2G,F圖？ C(D)，5例13.已知矩形紙片 ABCD AB=2, AD=1,將紙片折疊，使頂點 A與邊C

7、D上的點E?M合.（1）如果折痕FG分別與AD（2）如果折痕FG分別與CD、一，一 、2AB交于點F、G （如圖9）, AF=,求DE的長；3AB交于點F、G （如圖10）, 4AED的外接圓與直線BC相切，求折痕FG的長.（2006年南京市）DB圖（9）圖（10）例14.（初三）已知如圖，矩形OABC勺長 OA=73 ,寬 OC=1,將 AOCg AC翻折得 APC(1)填空：/ PCB=度，P點坐標為（2）若巳A兩點在拋物線y=- 4x2+bx+c上，求b, c的值，并說明點 C在此拋物線上;3（3）在（2）中的拋物線 CP段（不包括 C, P點）上，是否存在一點 M,使得四邊形 MCAP

8、的面積最大？若存在，求出這個最大值及此時M點的坐標；若不存在，請說明理由.例15.（初三）如圖，矩形 ABCD中，E是AD的中點，將 ABE沿BE折疊后得到 /GBE, 延長BG交DC于點F.（1）如圖1,點G在矩形ABCD內部，試判斷GF與DF的數量關系，并證明你的結論；-DC AD 如圖2,當點G在BC邊上時，即有 生=1,則 = 的值為；DF AB_DCAD當點G在矩形ABCD內部時，如果 DC =2 ,求CD的值；DFAB當點G在矩形ABCD內部時，如果 DC=t，用t的代數式表示jAD （直接寫出結論）DFAB當點G在矩形ABCD外部時，你得出的結論是否還成立？請直接寫出結論即可.圖

9、1例15.（初三）解：（1） GF = DF,證明略；3分（2） 2; T 分/2，過程略；3分2'、t當點G在矩形ABCD外部時，得出的結論還成立 .3分t練習:1.在一張長方形 ABCD紙片中，AD = 25cm, AB = 20cm,現將這張紙片按下列圖示方式折疊,請分別求折痕的長。（1）如圖甲，折痕為 AE ,點B的對應點F在AD上；（2）如圖乙，P,Q分別為AB,CD的中點，B的對應點G在PQ上，折痕為 AE ;（3）如圖丙，點B與點D重合，折痕為EF。乙D1c2.如圖所示，現有一張矩形紙片 ABCD ,其中AB = 4cm, BC =6cm ,點E是BC的中點，實施操作：將

10、紙片沿直線 AE折疊，使點B落在梯形AECD內，記為點B 。（1）請用尺規，在圖中作出 AEB （保留作圖痕跡）；（2）試求B ,C兩點之間的距離。（連B B得RTAB B C） 3 .（2007年樂山市）如圖，把矩形紙條ABCD沿EF, GH同時折疊，B, C兩點恰好落在AD邊的P點處，若/ FPH =90° , PF =8, PH =6 ,則矩形ABCD的面積為 o(1)4 . （2007年江西省）如圖，將矩形ABCD紙片沿對角線BD折疊，使點（第5題）C落在C'處，BC'交AD于E ,若/DBC =22.5° ,則在不添加任何輔助線的情況下，圖中45&

11、#176;的角（虛線也視為角的邊）有（）B. 5個C. 4個D. 3個5 .（2007淄博市）有一邊長為 2的正方形紙片 ABCD先將正方形 ABCD寸折，設折痕為 EF （如圖（1）;再沿過點D的折痕將角A反折，使得點 A落在EF的H上（如圖（2）,折痕交AE 于點G則EG的長度為（）(A) 4.36(8) 2咨3(C) 8-4J3(D) 4 2%后6.（2007年冷水灘區）如圖，將矩形ABCD沿AE折疊，使點B落在直角梯形AECD中位線FG上,徽磨1且AB=1 ,則AE的長為()A. 2#B. 3C. 2'D(第6題)7. （2007年貴陽）將長為20cm,寬為2cm的長方形白紙條

12、，折成圖所示的圖形并在其一面著色,則著色部分的面積為 8. （2011例卷）如圖1,在平面直角坐標系中，點 。為坐標原點，點 A的坐標為（3, 4）,點B 的坐標為（7, 0）, D, E分別是線段AO、AB上的點，以DE所在直線為對稱軸，把 ADE作軸對稱變換得 A'DE,點A”恰好在x軸上(1)(2)(3)(4)/ ABO的度數為,線段AB的長是當AA'，x軸時，線段DE的長為如圖2,當A' D± OA時,（1）求AD的長（2）求線段DE的長的取值范圍=x,OD=y,求 y 關于 x設OA11.9.(10.的函數關系式，并直接寫出自變量x(連 CE,由 O

13、C=OH=O/ HEC=90 , / ,GEC=90° , 由DC=DE導D是CG的中點于是 D (3,6 )例2如圖2-2,把一張長方形紙片 ABC所疊起來，使其對角頂點 A、C重合，？若其長BC為a, 寬AB為b,則折疊后不重合部分的面積是多少？分析 圖形沿EF折疊后A、C重合，可知四邊形 AFED與四邊形 CFE皿等，則對應邊、 角相等，AF=FC且FC=AE則ABFAAD' E, ?由三角形面積公式不難求出不重合部分的面 積.2-2解：圖形沿EF折疊后A、C重合， 一四邊形AFED與CFED于EF對稱, 則四邊形 AFED0四邊形 CFED / AFE4 CFEAF=

14、FG / D' =/ D=Z B=90° AB=CD=AD'. AD/ BC/ AEF=Z EFC/ AEF=Z AFE則 AE=AF RtAABF RtMD' E.在 RtABF中，. / B=90° , AB 2+BF2=AF2.設 BF=x, b2+x2= (a-x ) 2,2._ a -b2222a -b _b(a -b )2a2a2a.S=2Saabf=2X 1 bx=2X 1b 228解 如圖所示，第二次翻折，折痕 OC平分/ AOA ;第三次翻折，折痕 OD?平分/ COA , OD 平分/ AOC第四次翻折，折痕 OE平分/ BOD

15、. ./ DOE=180 - /AOD-/ BOE=180 ° - 1 (/AOC吆 BOC =90° .29解如圖，設EF=x,依題意知： CD且 CFEDE=EF=x CF=CD=6AC=。62 + 82 =10.1.AF_AC-CF_4 AE_AD-DE=8-x.所以兩個四邊形的周長都為11解 (1)在矩形 ABCD,12根據題意得：EF=AF=-.3在 RtDEF中， DE=在 RtAEF中，有 AE2=af2+ef2,于是(8-x ) 2=42+x2.解得x=3,因此EF的長是3.(2)由(1)知：AE=8-3=5,.o (AE BC)AB (5 8) 6, &q

16、uot; S 梯形 ABCE = -=39 .2210 解(1) PQ/ MN因為四邊形 ABCD矩形，所以 AD)/ BG且蟲AD直線上.則有 AM/ BC,所以/ AMP=/ MPC由翻折可得：/ MPQ= CPQ=1 / MPC / NMP= AMN=1 / AMP22所以/ MPQ= NMP 故 PQ/ MN(2)兩折痕PQ MN'前的距離不變.過 P 作 PHL MN 使 PH=PM sin / PMH因為/ QPC勺角度不變，所以/ C' PC的角度也不變，則所有的又因為AD/ BC,所以所有的PM都是相等的.又因為/ PMHh QPC故PH的長不變.(3)當/ Q

17、PC=45時，四邊形 PCQC是正方形，四邊形 C因為C Q=CQ C Q+QD=a所以矩形 C QDM勺周長為2a.同理可得，矩形 BPA N的周長為2a.2a,與b無關.AB=2 , AD=1, AF=- , / D=90°31 . DF=AD-AF=.3VEF2 -DF2 = .3(2)設AE與FG交于O,取AD的中點M,連結并延長 MQ1由軸對稱的性質得 AO=EOMIN/ DE, MO“ DE2PMfB是平行的.QDM1矩形.BC于 N./ D=90° , AD/ BC,Gfl 四邊形 MNCDI矩形，MN=CD=AB=2設 DE=x,貝U ON=2-1x. 2

18、AED的外接圓與 BC相切，ON AED的外接圓的半徑.1 . OE=ON=2 x, AE=2ON=4-x 在 RtAED中，AE2+D=A,212+x2= （4-x） 2 ,解得 x= .DE=- , OE=2- x=.88216由軸對稱的性質得 AE± FG./ FOE=Z D=90° .AD DE.把 OE=17, DE=15 , AD=2代入解得 FO=17 .168301717又 / OEFW DEA.FE8 AED-FO =°E .易證 FEB GA（OFO=GO.,.FG=2FO,即折痕 FG的長是一12解（1） P點坐標為（叵,3）; 22（2） .點 P（ , 3）, A（點,0）在拋物線 y=- - x2+bx+c±,4 3.33-b c -4 3 b、3 c=0 3解得 b= 33, c=1 .拋物線的解析式是y=- 4x2