1、.1 場的概念場的概念（Field）.一一、場的概念場的概念 場是用空間位置函數(shù)來表征的。場是用空間位置函數(shù)來表征的。若對全空間或其中若對全空間或其中某一區(qū)域某一區(qū)域 V 中每一點中每一點 M, 都有一都有一 個個數(shù)量數(shù)量 (或或矢量矢量) 與與之對應(yīng)之對應(yīng), 則稱在則稱在 V 上確定了一個上確定了一個 數(shù)量場數(shù)量場 (或或矢量場矢量場). 場都是矢量場。場都是矢量場。 例如例如: 溫度場和密度場都是數(shù)量場溫度場和密度場都是數(shù)量場, 重力場和速度重力場和速度若場中物理量在各點處的對應(yīng)值不隨時間變化，若場中物理量在各點處的對應(yīng)值不隨時間變化，就稱為就稱為穩(wěn)定場穩(wěn)定場，否則，稱為，否則，稱為不穩(wěn)定

2、場不穩(wěn)定場。 .注注 引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來引入或選擇某種坐標(biāo)系是為了便于通過數(shù)學(xué)方法來 進(jìn)行計算和研究它的性質(zhì)進(jìn)行計算和研究它的性質(zhì). 2.2.場的性質(zhì)是它本身的屬性場的性質(zhì)是它本身的屬性, , 和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān)和坐標(biāo)系的引進(jìn)無關(guān). . 場的特點：場的特點：分布于整個空間，看不見，摸不著，只能借助儀器分布于整個空間，看不見，摸不著，只能借助儀器 進(jìn)行觀察測量，靠人腦去想像其分布情況；進(jìn)行觀察測量，靠人腦去想像其分布情況；具有客觀物質(zhì)的一切特征，有質(zhì)量、動量和能量。具有客觀物質(zhì)的一切特征，有質(zhì)量、動量和能量。.3、描述方法、描述方法 函數(shù)表示法：借助一定坐標(biāo)系下的函數(shù)來

3、表示場的分函數(shù)表示法：借助一定坐標(biāo)系下的函數(shù)來表示場的分布。對矢量場，用布。對矢量場，用 ；數(shù)量場常用；數(shù)量場常用 表述。表述。A x y z( , , ) u x y z( , , )幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場性質(zhì)和分布的一幾何表示法，也叫圖示法：用能反映場性質(zhì)和分布的一族曲線或曲面表示場的分布特征，分別稱為矢量線（像族曲線或曲面表示場的分布特征，分別稱為矢量線（像電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面）。電力線、磁力線）；等值面（像等溫面，等位面）。.二、數(shù)量場、矢量場的描述方法二、數(shù)量場、矢量場的描述方法 以下討論中總是設(shè)它對每以下討論中總是設(shè)它對每個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

4、個變量都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。因此給定了某個數(shù)量場就等于給定了一個數(shù)性函數(shù)因此給定了某個數(shù)量場就等于給定了一個數(shù)性函數(shù) ( , , ),uu x y z 在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后在引進(jìn)了直角坐標(biāo)系后, 點點 M 的的位置可由坐標(biāo)確定。位置可由坐標(biāo)確定。同理同理,每個矢量場都與某個矢性函數(shù)每個矢量場都與某個矢性函數(shù) ( , , )( , , ) i( , , ) j( , , ) kxyzA x y zAx y zAx y zA x y z 并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。并假定它們有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。 相對應(yīng)相對應(yīng). 這里這里 為所定義區(qū)域上的數(shù)性函數(shù)為所定義區(qū)域上的數(shù)性函數(shù), ,xyzAAA.數(shù)量場的等值

5、面（數(shù)量場的等值面（線線）：）： 是由場中使是由場中使u u取相同數(shù)值的點所組成的曲面。取相同數(shù)值的點所組成的曲面。 （c c值不同對應(yīng)不同等值面）值不同對應(yīng)不同等值面）( , , )()u x y zc c 為為常常數(shù)數(shù) 等值等值面面3c 1c 2c 其方程為其方程為(,)u x yc 等值線等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快在某一高度上沿什么方向高度變化最快？直觀表示數(shù)量直觀表示數(shù)量u u在場中的分布。在場中的分布。.以溫度場為例：以溫度場為例：熱源熱源等溫面等溫面等值面舉例等值面舉例可以看出：可以看出：數(shù)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面數(shù)量場的函數(shù)是單值函數(shù)，各等值面是互不相交的。是

6、互不相交的。. 矢量場的矢量線：矢量場的矢量線： 矢量線上每一點處曲線與對應(yīng)于該點的矢量相切。矢量線上每一點處曲線與對應(yīng)于該點的矢量相切。 直觀描述矢量在場中的分布情況。直觀描述矢量在場中的分布情況。2. 矢量線連續(xù)分矢量線連續(xù)分布，一般互不相交。布，一般互不相交。圖圖2 矢量線矢量線ArMxyzol觀察：觀察：1.1.在曲線上的每一點在曲線上的每一點M處，處， 場的場的矢量矢量都位于該點處的都位于該點處的切切線線上（如圖所示），稱其為上（如圖所示），稱其為矢量線矢量線。例：靜電場電力線。例：靜電場電力線、磁場的磁力線、流速場中的流線等。、磁場的磁力線、流速場中的流線等。.MA ( r )dr

7、rO 矢量線的微分方程矢量線的微分方程： M點位置點位置矢量線矢量線l 微分微分 ijkxyzAAAA rijkxyz lrijkdddxdydz 場矢量場矢量l.矢量線在這點的切線的方向余弦和矢量線上的矢量線在這點的切線的方向余弦和矢量線上的 成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程成比例，從而得到矢量線應(yīng)滿足的微分方程dzdydx,xyzdxdydzAAA 在場矢量在場矢量 不為零的條件下，由線性微分方程組的理不為零的條件下，由線性微分方程組的理論可知所考慮的整個場被矢量線所填滿，而通過場中每論可知所考慮的整個場被矢量線所填滿，而通過場中每一點有一條且只有一條這樣的曲線，且過不同的點的兩一點

8、有一條且只有一條這樣的曲線，且過不同的點的兩條矢量線沒有公共點。條矢量線沒有公共點。A 例例2 2 求矢量場求矢量場M(2, 1,1) 通通過過點點Axziyz jxyk22() 的的矢量線方程。矢量線方程。. 【例1】 設(shè)點電荷設(shè)點電荷q q位于坐標(biāo)原點，它在空間一點位于坐標(biāo)原點，它在空間一點M( (x,y,z) )處所產(chǎn)生的電場強度矢量為處所產(chǎn)生的電場強度矢量為 式中，式中，q、均為常數(shù)，均為常數(shù)， r=xi+yj+zk為為M點的位置點的位置矢量。求矢量。求E的矢量線方程并畫出矢量線圖的矢量線方程并畫出矢量線圖。qErr34 整理求解作圖整理求解作圖矢量的直角矢量的直角坐標(biāo)系方程坐標(biāo)系方程

9、矢量線的矢量線的微分方程微分方程解題過程：解題過程：.zyxyC x1 圖圖 點電荷的電場矢量線點電荷的電場矢量線 (P27)(P27)zC y2 .2 2、方向?qū)?shù)、方向?qū)?shù) 方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù)方向?qū)?shù)是數(shù)性函數(shù) 在一點處沿任意方向在一點處沿任意方向 對距離的變化率，它的數(shù)值與所取對距離的變化率，它的數(shù)值與所取 的方向有關(guān)，的方向有關(guān)，一般來說，在不同的方向上一般來說，在不同的方向上 的值是不同的，但的值是不同的，但它并不是矢量。如圖所示它并不是矢量。如圖所示， 為場中的任意方向為場中的任意方向，M0是這個方向線上給定的一點是這個方向線上給定的一點，M為同一線上鄰近為同一線上鄰近的一點。的一

10、點。lu M()lMul0 lM0Mll . 為為M0 0和和M之間的距離之間的距離，從從M0 0沿沿 到到M的增量為的增量為若下列極限若下列極限存在，則該極限值記作存在，則該極限值記作 ，稱之為數(shù)量場稱之為數(shù)量場 在在M0 0處沿處沿 的方向?qū)?shù)。的方向?qū)?shù)。luu Mu M0()() llu Mu Mull000()()limlim l u M()Mul0 l uuuulxyzcoscoscos l(cos,cos,cos ) .例題例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)M(1,0,1)在在點點處處沿沿uxyz222 方向的方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)。lijk22 例例3 3 設(shè)設(shè)M x y z( , ,

11、 ) 為為點點處處的的矢矢徑徑r r的的模模，rxyz222 試試證證：rgradrrr 例例4 4 求數(shù)量場求數(shù)量場M(2, 1,1) 在在點點處處的的梯梯度度uxyyz23 方向的方向的方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)。lijk22及及在在矢矢量量.3 3、梯度、梯度 由于從一點出發(fā)，有無窮多個方向，即數(shù)量場由于從一點出發(fā)，有無窮多個方向，即數(shù)量場沿某一確定方向取得沿某一確定方向取得 在該點的最大方向?qū)?shù)，在該點的最大方向?qū)?shù)，則可引進(jìn)梯度概念。則可引進(jìn)梯度概念。u M()在一點處的方向?qū)?shù)有無窮多個，其中，若過一點在一點處的方向?qū)?shù)有無窮多個，其中，若過一點 梯度：梯度：（場在某點的梯度為一矢量）它的

12、大小等（場在某點的梯度為一矢量）它的大小等于所有方向?qū)?shù)的最大值，它的方向為取得最大值于所有方向?qū)?shù)的最大值，它的方向為取得最大值的方向。的方向。uuugraduijkuxyz 梯度梯度(Gradient).cos( , )uG lGG ll Gijkuuugraduxyz 梯度、方向?qū)?shù)與梯度、方向?qū)?shù)與等值面等值面ul Guc1 cc21 nl當(dāng)當(dāng) , ,即即 與與 (, )0G l lGcosicosj cos kl ul 方向一致時方向一致時, , 為最大。為最大。u0,llu0,ll 沿沿 增增加加沿沿 降降低低ugradu lgradugradu llcos(, ) .方向?qū)?shù)與梯

13、度的關(guān)系：方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系： 是等值面是等值面 上上p p1 1點法線方向單位矢量。它指點法線方向單位矢量。它指向向 增長的方向增長的方向。 表示過表示過p p2 2 點的任一方向。點的任一方向。 易見，易見，nl uc1 up p , p p, p pp p .cos1210101200 當(dāng)當(dāng)時時p1p0p2nl等值面等值面 等值面等值面uc1 uc2 .所以所以即即p pPp ppu( p )u( p )ulimlp pu( p )u( p )coslimp pucosn1211012101201010 uucosln p1p0p2nl等值面等值面 等值面等值面uc1 uc2 .該式表

14、明：該式表明：即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投即沿某一方向的方向?qū)?shù)就是梯度在該方向上的投影。影。 梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場梯度的概念重要性在于，它用來表征數(shù)量場 在空間各點沿不同方向變化快慢的程度。在空間各點沿不同方向變化快慢的程度。4、 算符（哈密頓算符）算符（哈密頓算符） 算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)算符既具有微分性質(zhì)又具有方向性質(zhì)。在任在任意方向意方向 上移動線元距離上移動線元距離dl， 的增量的增量 稱為方向微稱為方向微uuucosn lgradu llnn u( M )ludu.分，即分，即顯然，任意兩點顯然，任意兩點 值差為值差為ududlu dll

15、 BBAAuuu dl . 總結(jié)：數(shù)量場梯度的性質(zhì)總結(jié)：數(shù)量場梯度的性質(zhì)（1）數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在）數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。該方向的投影。（2）數(shù)量場在任一點的梯度垂直于過該點的等）數(shù)量場在任一點的梯度垂直于過該點的等值面，且指向場增大的一方。（注意：等值面值面，且指向場增大的一方。（注意：等值面的法向有兩個）的法向有兩個）（3）一個數(shù)量場的梯度（一旦）確定，則該數(shù)）一個數(shù)量場的梯度（一旦）確定，則該數(shù)量場也隨之確定，最多相差一個任意常數(shù)量場也隨之確定，最多相差一個任意常數(shù). 標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點的等

16、值面（或切平面）數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。數(shù)量場沿任一方向的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向的投影。例例1 1 三維高度場的梯度三維高度場的梯度圖 三維高度場的梯度例例2 2 電位場的梯度電位場的梯度圖 電位場的梯度 梯度、方向?qū)?shù)與梯度、方向?qū)?shù)與等值面等值面ul Guc1 cc21 nl.高度場的梯度 與過該點的等位線垂直；與過該點的等位線垂直； 數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；數(shù)值等于該點的最大方向?qū)?shù)；補充：補充： 梯度的物理意義梯度的物理意義 數(shù)量場的梯度是一個矢量數(shù)量場的梯度是一個矢量, ,是空間坐標(biāo)點的函數(shù)是空間坐標(biāo)點的函數(shù); ; 梯度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向梯

17、度的方向為該點最大方向?qū)?shù)的方向, ,即與等值線（面）相垂直的方向，它即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數(shù)的增加方向指向函數(shù)的增加方向. . 梯度的大小為該點數(shù)量函數(shù)梯度的大小為該點數(shù)量函數(shù) 的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù)的最大變化率，即該點最大方向?qū)?shù); ;u例1 三維高度場的梯度 與過該點的等高線垂直；與過該點的等高線垂直； 數(shù)值等于該點位移的最大變化率；數(shù)值等于該點位移的最大變化率； 指向地勢升高的方向。指向地勢升高的方向。圖 三維高度場的梯度例2 電位場的梯度電位場的梯度 指向電位增加的方向。指向電位增加的方向。圖 電位場的梯度.3 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 .1、通

18、量、通量 一個矢量場空間中，在單位時間內(nèi)，沿著矢量一個矢量場空間中，在單位時間內(nèi)，沿著矢量場場 方向通過方向通過 的流量是的流量是dQ，而，而dQ是以是以ds為底，以為底，以v cos為高的斜柱體的體積，即為高的斜柱體的體積，即稱為矢量稱為矢量 通過面元通過面元 的通量。的通量。 對于有向曲面對于有向曲面s，總可以，總可以將將s分成許多足夠小的面元分成許多足夠小的面元 ，于是于是v ds dQv cosdsv ds dsvnds ds v .通過曲面通過曲面s的通量的通量f f即為每一面元通量之和即為每一面元通量之和對于閉合曲面對于閉合曲面s，通量，通量f f為為sv dsf f sv dsf

19、 f 向量場向量場 沿選定方向的曲面沿選定方向的曲面S的面積分的面積分A定義定義()SSA dSPdydzQdzdxRdxdy 定定側(cè)側(cè)稱為稱為 向曲面指定一側(cè)穿過曲面向曲面指定一側(cè)穿過曲面S的的通量通量。A.例題例例1 1 設(shè)由矢徑設(shè)由矢徑構(gòu)構(gòu)成成的的矢矢量量場場中中，rxiyjzk 圓錐面圓錐面xyzzH H222(0) 及及平平面面曲面曲面S。rSS 試試求求矢矢量量場場 從從 內(nèi)內(nèi)穿穿出出 的的通通量量。P55 3. 求矢量場求矢量場Axyziyxzjzxyk323 （） （） （+ +）所圍成的封閉所圍成的封閉的的散散度度。有一由有一由. 如果曲面如果曲面s是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由

20、閉合是閉合的，并規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是： n000SA dS A.（）0 0 0 （）（）表示有凈的矢量表示有凈的矢量線流入，閉合面線流入，閉合面內(nèi)有吸收矢量線內(nèi)有吸收矢量線的的負(fù)源負(fù)源；表示有凈的矢量表示有凈的矢量線流出線流出，閉合面閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的的正源正源；表示流入和流出表示流入和流出閉合曲面的矢量閉合曲面的矢量線相等或沒有矢線相等或沒有矢量線流入、流出量線流入、流出閉合曲面閉合曲面.閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的

21、源的關(guān)系合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系 若若S S 為閉合曲面，可根據(jù)凈通量為閉合曲面，可根據(jù)凈通量 的的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)大小判斷閉合面中源的性質(zhì): :dSASf f 0 ( (有正源有正源) ) 0 ( (有負(fù)源有負(fù)源) ) = 0 ( (無源無源) ).sA dsV V 2、散度、散度 設(shè)封閉曲面設(shè)封閉曲面s所包圍的體積為所包圍的體積為 ，則，則 就是矢量場就是矢量場 在在 中單位體積的平均通量，或者中單位體積的平均通量，或者 平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面平均發(fā)散量。當(dāng)閉合曲面s及其所包圍的體積及其所包圍的體積 向向 其內(nèi)某點其內(nèi)某點 收縮時，若平均發(fā)散量的極限值存在，收縮時，

22、若平均發(fā)散量的極限值存在， 便記作便記作()A M MV V 0divlimsVA dsAV 稱為矢量場稱為矢量場 在該點的在該點的散度散度( (div是是divergence的縮寫的縮寫) )。()A M . 散度的重要性在于，可用表征空間各點矢量場發(fā)散度的重要性在于，可用表征空間各點矢量場發(fā)散的強弱程度，當(dāng)散的強弱程度，當(dāng)div ，表示該點有散發(fā)通量表示該點有散發(fā)通量0A 的正源；當(dāng)?shù)恼矗划?dāng)div ，表示該點有吸收通量的負(fù)源；，表示該點有吸收通量的負(fù)源；當(dāng)當(dāng)div ，表示該點為無源場。，表示該點為無源場。0A 0A kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),( 則則(

23、, , )A x y z 設(shè)設(shè)矢矢量量場場的散度為的散度為定理定理 zRyQxPAdiv A 重重點點散度散度(Divergence)的表達(dá)式的表達(dá)式. 直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場直接從散度的定義出發(fā)，不難得到矢量場 在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲在空間任意閉合曲面的通量等于該閉合曲 面所包含體積中矢量場散度的積分。面所包含體積中矢量場散度的積分。 上式稱為上式稱為矢量場的矢量場的Gauss定理定理。 ssVA ddivAdV 積分的積分的Gauss定理定理注：它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對注：它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。該曲面所包圍體

24、積的體積分，反之亦然。.推論推論2 2 若處處散度為若處處散度為0 0，則通量為，則通量為0.0.推論推論3 3 若某些點（或區(qū)域）上有散度不為若某些點（或區(qū)域）上有散度不為0 0或不存或不存 在，而在其他點上都有散度為在，而在其他點上都有散度為0 0，則穿出包圍這些點，則穿出包圍這些點（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，為一常（或區(qū)域）的任一封閉曲面的通量都相等，為一常數(shù)。數(shù)。電學(xué)上的高斯定理：電學(xué)上的高斯定理： 穿出任一封閉曲面穿出任一封閉曲面S S的電通量，的電通量，等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。等于其內(nèi)各點電荷的代數(shù)和。 高斯定理高斯定理sVA dsAdV .4 矢量場的環(huán)量及旋度矢量場

25、的環(huán)量及旋度(Rotation).1. 1. 矢量場的環(huán)量矢量場的環(huán)量定義：定義：線矢量線矢量l: 矢量場矢量場A中的中的 一條一條封閉封閉的有向曲線的有向曲線 環(huán)量環(huán)量：（圖：（圖2 2）性質(zhì)：性質(zhì)： 是標(biāo)量是標(biāo)量 0，l 內(nèi)有旋渦源內(nèi)有旋渦源 =0，l 內(nèi)無旋渦源內(nèi)無旋渦源cosllA dlAdl 圖2 矢量場的環(huán)量矢量場的環(huán)量(P56(P56) zxyOldlAP.定義定義線積分線積分向量場向量場 沿空間有向閉曲線沿空間有向閉曲線 l 的的AllA dlPdxQdyRdz 稱為稱為 沿閉曲線沿閉曲線l的環(huán)量的環(huán)量。A環(huán)量的表達(dá)式環(huán)量的表達(dá)式nPlS 圖圖3 閉合曲線方向與面元的閉合曲線方

26、向與面元的 方向示意圖方向示意圖 (P59)(P59)定義定義：若：若 存在，則存在，則 稱此極限為矢量場稱此極限為矢量場 A沿沿l之正向的環(huán)量之正向的環(huán)量 在點在點P處沿處沿n方向的方向的 環(huán)量面密度。環(huán)量面密度。SPlimS .性質(zhì)：性質(zhì)：l圍成的面元法矢量圍成的面元法矢量 旋渦面的方向旋渦面的方向矢量矢量R在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密在任意面元方向上的投影就給出該方向的環(huán)量面密度度方向為環(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密方向為環(huán)量面密度最大的方向；模為最大環(huán)量面密度的值度的值 旋度的定義旋度的定義定義：固定矢量定義：固定矢量R為矢量為矢量A的旋度，記作的旋度，記作 ：

27、rot A=R重合，最大重合，最大夾角，中間值夾角，中間值垂直，垂直， 0 0R旋度矢量旋度矢量.PlnrotA旋 渦 面圖圖4 旋度及其投影旋度及其投影 旋度矢量旋度矢量R在在n方向的投影方向的投影:lnSPA dllimrot AS .渦量（或環(huán)量面密度）0limlSA dlS PnAa稱為矢量場 在某點 繞 方向的渦量.旋度 xyzxyzrotAAxyzAAA ()nrotA a .定義定義 向量場向量場的旋度定義為的旋度定義為A( x,y,z) AArot RQPzyxkji 旋度旋度( (Rotation or Curl) )kyPxQjxRzPizQyR)()()( 簡單地說簡單地

28、說, ,旋度旋度是個矢量，它的物理意義是個矢量，它的物理意義是場在該矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強弱。是場在該矢量方向上旋轉(zhuǎn)性的強弱。6.l利用環(huán)量與旋度利用環(huán)量與旋度( (它可以從整體上描述場旋它可以從整體上描述場旋ldlA轉(zhuǎn)的強度轉(zhuǎn)的強度) )，我們可以用向量的形式重寫，我們可以用向量的形式重寫Stokes公式公式。 SdSA SdSArot8.小結(jié)小結(jié)1、散度散度（流出的量）（流出的量） 發(fā)散源發(fā)散源 通量即該矢量通量即該矢量(的垂直平面分量的垂直平面分量)穿過平面的大小穿過平面的大小 一般點的散度為一般點的散度為0 ，散度不為，散度不為0的點表示該點有提供源的點表示該點有提供源 (source)

29、 散度是標(biāo)量，物理意義為通量源密度，可以從散度是標(biāo)量，物理意義為通量源密度，可以從Gauss公式公式理解理解 散度為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是有散度為零，說明是無源場；散度不為零時，則說明是有源場（有正源或負(fù)源）源場（有正源或負(fù)源）矢量場矢量場.2、旋度（旋度（沒有流出的量）沒有流出的量） 旋渦源旋渦源 旋度即該矢量旋度即該矢量( (的平行平面分量的平行平面分量) )沿平面的大小密度沿平面的大小密度( (即大即大小小/ /面積面積) ) 旋度不為旋度不為0 0表示有量在該平面表示有量在該平面“逗留逗留” 旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可以從旋度是矢量；其物理意義為環(huán)量密度，可

30、以從StokesStokes公公式里理解式里理解 旋度為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋度為零，說明是無旋場；旋度不為零時，則說明是有旋場旋場 .一、無旋場一、無旋場0VAAAV 定定義義：若若在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，矢矢量量場場 的的旋旋度度處處處處為為零零（即即），則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的無無旋旋場場。0lA dlAV 沿沿任任意意閉閉合合回回路路的的環(huán)環(huán)量量為為零零（即即 ）則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的保保守守場場。AAuAV 若若 可可表表示示為為 ，則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的有有勢勢場場。幾種重要的矢量場幾種重要的矢量場.12V（ ）若若 為為線線單單連連通通（區(qū)區(qū)域域），有有勢勢

31、場場無無旋旋場場（ ）有有勢勢場場保保守守場場VllVS線線單單連連通通：對對 內(nèi)內(nèi)任任何何一一條條簡簡單單閉閉合合曲曲線線 ，都都可可以以作作出出一一個個以以 為為邊邊界界，且且全全部部位位于于區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)的的曲曲面面 ，即即任任一一閉閉路路都都可可以以收收縮縮為為一一點點。無旋場無旋場有勢場有勢場保守場保守場0lA dl .空心球體空心球體環(huán)面體環(huán)面體.二、無源場二、無源場0VAAAV 定定義義：若若在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)，矢矢量量場場 的的散散度度處處處處為為零零（即即），則則稱稱 為為 內(nèi)內(nèi)的的無無源源場場或或管管形形場場。矢量管：矢量線構(gòu)成的管形曲線（矢量線與曲面重合）矢量管：矢量線構(gòu)

32、成的管形曲線（矢量線與曲面重合）1S2S3S.,VAABA 定定理理2 2 若若 為為面面單單連連域域 若若矢矢量量場場 可可表表示示為為 為為管管形形場場:VSVV面面單單連連通通內(nèi)內(nèi)任任一一簡簡單單閉閉合合曲曲面面 所所包包圍圍的的全全部部點點都都在在 內(nèi)內(nèi), ,即即 內(nèi)內(nèi)沒沒有有 洞洞.矢量場的矢量場的Helmholtz定理定理 空間區(qū)域空間區(qū)域V上的任意矢量場，如果它的散度、旋度上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無源矢量場的疊加，可以表示為一無旋矢量場和一無源矢量場的疊加，即即

33、：isAAA:0,0,iiisssAAAAAA其其中中滿滿足足代代表表單單獨獨由由發(fā)發(fā)散散源源確確定定的的場場滿滿足足代代表表單單獨獨由由漩漩渦渦源源確確定定的的場場.三、管形場與有勢場三、管形場與有勢場 式知道式知道, 此時沿任何封閉此時沿任何封閉曲面的曲面積分都等于零曲面的曲面積分都等于零. 中作一矢量管中作一矢量管 (圖圖2), 即由矢量線圍成的管狀的即由矢量線圍成的管狀的 若一個矢量場若一個矢量場 的散度恒的散度恒 A為零為零, 即即 我們曾我們曾 div0,A 稱稱 為無源場為無源場. 從高斯公從高斯公 A我們又把我們又把 稱作稱作管形場管形場. 這是因為這是因為, 若在矢量場若在矢

34、量場 AA3S2S2圖圖1SA12,SS3S曲面曲面. 用斷面用斷面 去截它去截它, 以以 表示所截出的管表示所截出的管 .的表面的表面, 這就得到了由這就得到了由123,SSS所圍成的封閉曲面所圍成的封閉曲面 S. 于是由于是由(1)式得出式得出123dddd0.SSSSASASASAS 外外側(cè)側(cè)外外側(cè)側(cè)外外側(cè)側(cè)而矢量線與曲面而矢量線與曲面3S的法線正交的法線正交, 所以所以3d0,SAS 外側(cè)外側(cè)12dd0,SSASAS 外外側(cè)側(cè)外外側(cè)側(cè).這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是這等式說明了流體通過矢量管的任意斷面的流量是 間單連通區(qū)域內(nèi)沿任何封閉曲線的曲線積分都等于間單連通區(qū)域內(nèi)沿任

35、何封閉曲線的曲線積分都等于 12dd . SSASAS內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)外外側(cè)側(cè)相同的相同的, 所以把場所以把場 稱為稱為管形場管形場. A若一個矢量場若一個矢量場 的旋度恒為零的旋度恒為零, 即即 我們在我們在 Arot0,A 前面稱前面稱 為無旋場為無旋場. 從斯托克斯公式知道從斯托克斯公式知道, 這時在空這時在空 A零零, 這種場也稱為這種場也稱為有勢場有勢場. 這是因為當(dāng)這是因為當(dāng) rot0A 時時, .由定理由定理1推得空間曲線積分與路線無關(guān)推得空間曲線積分與路線無關(guān), 且存在且存在某函數(shù)某函數(shù)( , , )u x y z, 使得使得dddd ,uP xQ yR z即即 grad( ,).uP

36、 Q R則必存在某個勢函數(shù)則必存在某個勢函數(shù) v, 使得使得-grad.vA這也是一這也是一 個矢量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件個矢量場是某個數(shù)量場的梯度場的充要條件. 通常稱通常稱v= -u 為為勢函數(shù)勢函數(shù). 因此若某矢量場因此若某矢量場 的旋度為零的旋度為零, A.若一個矢量場既是管量場若一個矢量場既是管量場, 又是有勢場又是有勢場, 則稱這個矢則稱這個矢 量場為量場為調(diào)和場調(diào)和場. 若若 是一個調(diào)和場是一個調(diào)和場, 則必有則必有 A20,uuu 即必有即必有u 滿足滿足 2222220.uuuxyz這時稱函數(shù)這時稱函數(shù) u 為為調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù).也有也有v= -u 為調(diào)和函數(shù)。為調(diào)

37、和函數(shù)。 0,.AuA 且且顯然顯然.(1)若線積分若線積分 的值在的值在G內(nèi)與路徑無關(guān)，內(nèi)與路徑無關(guān)，dsAAB )()(其中其中A, B 為為G 內(nèi)任意兩點；內(nèi)任意兩點；則稱則稱 為為保守場保守場, ,A(2)若在若在G內(nèi)恒有內(nèi)恒有 , ,則稱則稱 為為OAArot A無旋場無旋場; ;有勢場有勢場，并稱，并稱 為為 的勢函數(shù)的勢函數(shù). .uA定義定義6 6設(shè)向量場設(shè)向量場31),(),(RGGCzyxA (3)若存在若存在G上的函數(shù)上的函數(shù) ，使，使 , ,則稱則稱 為為uuA A12.定理定理4),()(1GCMA 設(shè)設(shè)G 是單連域，是單連域，3R 則以下四個命題則以下四個命題等價等價

38、： 是無旋場，即是無旋場，即;OAArot A 沿沿G內(nèi)任意簡單閉曲線內(nèi)任意簡單閉曲線 C 的環(huán)量的環(huán)量 ccRdzQdyPdxdsA0與路徑無關(guān)；與路徑無關(guān)； 是一保守場，即在是一保守場，即在G內(nèi)線積分內(nèi)線積分A )()(BAdsA13.RdzQdyPdxdu 使使 是一有勢場，即在是一有勢場，即在G內(nèi)存在內(nèi)存在 ，Au作證明作證明.它可以看作是它可以看作是 Green 公式的推論公式的推論.4 以下我們只對定理以下我們只對定理4的的2D空間的情況空間的情況定理定理4 定理定理設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域),(,12 CjQiPAR 則以下四個命題等價：則以下四個命題等價： 在在 內(nèi)內(nèi),處處成立處處成立 ;

39、yPxQ 14. 定理定理4( (及定理及定理 ) )的重要性在于：的重要性在于：4 給出場論中的一個具有實際意義及數(shù)學(xué)意給出場論中的一個具有實際意義及數(shù)學(xué)意 義的重要結(jié)論，即：義的重要結(jié)論，即：無旋場無旋場有勢場有勢場保守場保守場0 dsAC 給出了數(shù)學(xué)上判定保守場的多種方法；給出了數(shù)學(xué)上判定保守場的多種方法； 特別還給出了求特別還給出了求勢函數(shù)勢函數(shù)的方法：相當(dāng)于的方法：相當(dāng)于求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時求某些二元函數(shù)的原函數(shù)的方法，同時為解為解全微分方程全微分方程提供了一種有效的方法。提供了一種有效的方法。.例例1驗證矢量場驗證矢量場22222(cos )2Axyz ix zy j

40、x yzk 是有勢場，并求其勢函數(shù)是有勢場，并求其勢函數(shù).解解因因xxyxyxyx )33(6)63(222,632xyxP 2233xyQ 所以，所以， 為有勢場。為有勢場。A 以下介紹兩種求以下介紹兩種求勢函數(shù)勢函數(shù)方法。方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法.方法方法1 1.例例4驗證向量場驗證向量場jxyixyxA)33()63(222 是有勢場，并求其勢函數(shù)是有勢場，并求其勢函數(shù).解解因因xxyxyxyx )33(6)63(222,632xyxP 2233xyQ 所以，所以， 為有勢場為有勢場。A 以下介

41、紹兩種求以下介紹兩種求勢函數(shù)勢函數(shù)方法方法。在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇在積分與路徑無關(guān)條件下，選擇特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法特殊路徑，用線積分求勢函數(shù)法.方法方法1 1.dyxydxxyxyx)33()63(22),()0 , 0(2 此例選積分路徑由此例選積分路徑由, ),()0 ,()0 , 0(0yxMxMO ),()0,0(),(yxQdyPdxyxuyxo)0,(0 xM),(yxM xOMdxx0023沿沿yxyx2333 yMMdyxy0022)33(沿沿即：即：yxyxyxu2333),( 是是 的一個原函數(shù)的一個原函數(shù) ( 力函數(shù)力函數(shù) )。QdyPdx 0, 0 ydy

42、xxdx , 0.勢函數(shù)一般表達(dá)式為：勢函數(shù)一般表達(dá)式為：332( , )(3).v x yxyx yC 用用偏積分偏積分求勢函數(shù)求勢函數(shù).要求函數(shù)要求函數(shù), ),(yxu,QdyPdxdu 使使即即dyxydxxyxdu)33()63(222 xyxxu632 )(a)(b2233xyyu 亦即亦即先對先對 式，視式，視 為定數(shù)，兩邊對為定數(shù)，兩邊對 積分：積分：)(ayx)(323yyxxu )(c方法方法2.這個積分這個積分“常數(shù)常數(shù)”當(dāng)然可能是當(dāng)然可能是 y 的函數(shù)，的函數(shù)，故記作故記作,)(y 將將(c)式兩端對式兩端對 y求導(dǎo)求導(dǎo), 并與并與(b)式比較，得：式比較，得：22233

43、)(3xyyxyu ,3)(2yy 3231323( , )3.( , )(3).u x yxx yyCv x yxx yyC 代入代入 (c) 式式Cyy 3)( .()slA dSA dl0lsA n sA dl .方向相反方向相反大小相等大小相等結(jié)果抵消結(jié)果抵消. 0-3 矢量場的旋度矢量場的旋度 斯托克斯定理斯托克斯定理Rotation of Vector Field, Stokes Theorem.1、矢量場、矢量場 的環(huán)流的環(huán)流 在數(shù)學(xué)上，將矢量場 沿一條有向閉合曲線L（即取定了正線方向的閉合曲線）的線積分稱為 沿該曲線L的循環(huán)量或流量。2 2、旋度旋度 設(shè)想將閉合曲線縮小到其內(nèi)某

44、一點附近，那么)(xALl dAcA.以閉合曲線L為界的面積 逐漸縮小， 也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向 ，且通常L的正方向與 規(guī)定要構(gòu)成右手螺旋法則，為此定義nSLl dAsl dALs0limnnsl dAAALslimrot0.稱為矢量場 的旋度（rot是rotation縮寫）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某點附近各方向上環(huán)流強弱的程度，如果場中處處rot稱為無旋場。3、斯托克斯定理（、斯托克斯定理（Stokes Theorem）它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該

45、閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。)(xA0AsLsdAl dA)(.0-4 0-4 正交曲線坐標(biāo)系中正交曲線坐標(biāo)系中 運算運算的表達(dá)式的表達(dá)式Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-Ordinates System.1、度量系數(shù)、度量系數(shù) 設(shè)x,y,z是某點的笛卡兒坐標(biāo)，x1, x2, x3是這點的正交曲線坐標(biāo)，長度元的平方表示為其中2323222221212222dxhdxhdxhdzdydxdl)3 , 2 , 1( )()()(222ixzxyxxhiiii.稱度量系數(shù)度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標(biāo)系完全由三個拉

46、梅系數(shù)h1, h2, h3來描述。2、哈密頓算符、哈密頓算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符符 在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式在正交曲線坐標(biāo)系下的一般表達(dá)式2)()()(1111111312321321321321333222111333222111AhhxAhhxAhhxhhhAxhexhexhexhexhexhe. )()()()()()(1112221213331113312223332321332211221332211321AhxAhxhheAhxAhxhheAhxAhxhheAhAhAhxxxehehehhhhA.其中 為正交曲線坐標(biāo)系的基矢； 是一

47、個標(biāo)量函數(shù)； 是一個矢量函數(shù)，只有在笛卡兒坐標(biāo)系中， ，在其它正交坐標(biāo)系中)()()(13321322132113213212xhhhxxhhhxxhhhxhhh321,eee),(321xxx332211321),(eAeAeAxxxAA1122)(eAAiiAA22)(332222)()(eAeA.3、不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式、不同坐標(biāo)系中的微分表達(dá)式 a) 笛卡兒坐標(biāo) x1=x， x2=y， x3=z h1=1，h2=1，h3=1xyzZ為常數(shù)平面y為常數(shù)平面x為常數(shù)平面(x,y,z)pyezexezeyexezyx. zzyyxxzyxzyxzyxzyxeAeAeAAzyxAAAzyx

48、eeeAzAyAxAAzeyexe)()()(22222222222. b) 圓柱坐標(biāo)系坐標(biāo)變量: x1= r x2= x3= z與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系： x=rcos y=rsin z= z拉梅系數(shù): h1=1 h2=r h3=1zxyz為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面fezererzererezrff. fffffffffferAzAezAArArAAzrereerAzAArrArrAzueurerueuzrrzzrzrzrzr)()1(111)(11.將 應(yīng)用于圓柱坐標(biāo)可得：zzrrzreAeAeAAzuurrurrrueArrArr)()()(1)(11)(12222222222fffff

49、)()(2AAAffffffrrrrArrAAAArrAAA222222222)(2)(. c) 球坐標(biāo)系zzAA22)(zry(r,)erefex為常數(shù)平面r為常數(shù)平面為常數(shù)平面.坐標(biāo)變量：與笛卡兒坐標(biāo)的關(guān)系：拉梅系數(shù)：f321 , , xxrxffcos , sinsin , cossinrzryrxsin , , 1321rhrhhffffffArArArrrAureurerueurerererrrsin1)(sinsin1)(1sin11sin1122. ffffffffeArArrerArAreAArArrAArrerereArrrrr )(1)(sin11)(sinsin1sin1

50、sin1sin12.其中fffeAeAeAAururrurrrurr)()()(sin1)(sinsin1)(1222222222222ffAAArAArrrsin1)(sinsin12)(222. )sin2ctg(sin2)()sincossin2(2)(22222222fffffffAAArAAAAArAArr.0-5 0-5 二階微分算符二階微分算符 格林定理格林定理Second-order Differentiation Operator, Greens Theorem.1、一階微分運算、一階微分運算 將算符 直接作用于標(biāo)量場和矢量場，即分別得到梯度、散度和旋度，即 這些都叫一階微分

51、運算。舉例： a)設(shè) 為源點 與場 之間的距離，r 的方向規(guī)定為源點指向場點，試分別對場點和源點求r 的梯度。AA , , 222)()()(zzyyxxrxx. 第一步：源點固定，r 是場點的函數(shù)，對場點求梯度用 r表示，則有而場點（觀察點）場源點坐標(biāo)原點oxxrzreyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)()(2)()()(2121222.同理可得：故得到： )( , )(rzzzrryyyrrrrzzeyyexxerrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyxzyx)()()(1)()()(.第二步：場點固定，r是源點的函數(shù)，對源點求梯度用 表示。而同理可得：rzr

52、eyrexrerzyxrxxxxzzyyxxxr)() 1()(2)()()(2121222rzzzrryyyr)( , )(.所以得到： b) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明rrrrrzzeryyerxxezreyrexrerzyxzyx)()()(ududfuf)(.證：這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（梯度），按復(fù)合函數(shù)微分法則，有證畢 )()()()()()()()()()(uduudfzueyuexueduudfzuduudfeyuduudfexuduudfezufeyufexufeufzyxzyxzyx. c) 設(shè)求解：而同理可得xxzzeyyexxerzyx)()()(rr和zryrx

53、rrererezeyexerzyxzzyyxxzyx)()(1)(xxxxrx故有 . 1zryrzy.那么這里同理可得故有 . 3111zryrxrrzyx zryrxrrzyx1)(xxxxrx . 1zryrzy . 3111zryrxrrzyx.由此可見： d) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：rrduAduuA)(. )()()()()()()()()(證畢duuAduuduuAdzuduudAyuduudAxuduudAzuAyuAxuAuAzyxzyx. e) 設(shè)u是空間坐標(biāo)x,y,z的函數(shù)，證明證：duuAduuA)()(xuduudAzuduudAezuduudAyuduudAeyuAxuAexuAzuAezuAyuAeuAzxyyzxxyzzxyyzx)()()()()()()()()()()(.2、二階微分運算、二階微分運算 將算符 作用于梯度、散度和旋度，則稱為二階微分運算，設(shè) 為標(biāo)量場， 為矢量場。 . )()()()()()(證畢duuAduduudAduudAduudAzuyuxueeeyuduudAxuduudAezyxzyxxyz)(x, )(xg)(xf.并假設(shè) 的分量具有所需要的階的連續(xù)微商，則不難得到： （1）標(biāo)量場的梯度必為無旋場 （2）矢量場的旋度必為無散場 （3