1、.導數在研究函數中的應用_ 一、函數的單調性與導數：1 函數的導數與函數的單調性的關系： 我們已經知道，曲線y=fx的切線的斜率就是函數y=fx的導數從函數的圖像可以看到：y=fx=x24x+3切線的斜率fx2，+增函數正0，2減函數負0在區(qū)間2，內，切線的斜率為正，函數y=fx的值隨著x的增大而增大，即>0時，函數y=fx 在區(qū)間2，內為增函數；在區(qū)間，2內，切線的斜率為負，函數y=fx的值隨著x的增大而減小，即0時，函數y=fx 在區(qū)間，2內為減函數定義：一般地，設函數y=fx 在某個區(qū)間內有導數，假如在這個區(qū)間內>0，那么函數y=fx 在為這個區(qū)間內的增函數；假如在這個區(qū)間內

2、<0，那么函數y=fx 在為這個區(qū)間內的減函數2利用導數確定函數的單調性的步驟：1 確定函數fx的定義域；2 求出函數的導數；3 解不等式f ?x0，得函數的單調遞增區(qū)間；解不等式f ?x0，得函數的單調遞減區(qū)間 類型一：函數的單調性與導數：例1確定函數fx=x22x+4在哪個區(qū)間內是增函數，哪個區(qū)間內是減函數。解：fx=x22x+4=2x2令2x20，解得x1當x1，+時，fx0，fx是增函數令2x20，解得x1當x，1時，fx0，fx是減函數 例2確定函數fx=2x36x2+7在哪個區(qū)間內是增函數，哪個區(qū)間內是減函數解：fx=2x36x2+7=6x212x令6x212x0，解得x2或

3、x0當x，0時，fx0，fx是增函數當x2，+時，fx0，fx是增函數令6x212x0，解得0x2當x0，2時，fx0，fx是減函數 例3證明函數fx=在0，+上是減函數證法一：用以前學的方法證證法二：用導數方法證fx= =1·x2=，x0，x20，0 fx0，fx= 在0，+上是減函數。點評：比較一下兩種方法，用求導證明是不是更簡捷一些假如是更復雜一些的函數，用導數的符號判別函數的增減性更能顯示出它的優(yōu)越性。例4求函數y=x21x3的單調區(qū)間解：y=x21x3=2x1x3+x2·31x2·1=x1x221x3x=x1x2·25x令x1x225x0，解得

4、0x y=x21x3的單調增區(qū)間是0，令x1x225x0，解得x0或x且x1為拐點，y=x21x3的單調減區(qū)間是，0，+例5當x0時，證明不等式：1+2xe2x分析：假設令fx=e2x12xf0=e010=0, 假如可以證明fx在0，+上是增函數，那么fx0，那么不等式就可以證明。證明：令fx=e2x12x fx=2e2x2=2e2x1x0，e2xe0=1，2e2x10, 即fx0fx=e2x12x在0，+上是增函數。f0=e010=0當x0時，fxf0=0，即e2x12x01+2xe2x點評：所以以后要證明不等式時，可以利用函數的單調性進展證明，把特殊點找出來使函數的值為0。例6函數y=x+

5、，試討論出此函數的單調區(qū)間。解：y=x+=11·x2=令0 解得x1或x1y=x+的單調增區(qū)間是，1和1，+令0，解得1x0或0x1y=x+的單調減區(qū)間是1，0和0，1四、課堂練習1確定以下函數的單調區(qū)間1y=x39x2+24x 2y=xx31解：y=x39x2+24x=3x218x+24=3x2x4令3x2x40，解得x4或x2y=x39x2+24x的單調增區(qū)間是4，+和，2令3x2x40，解得2x4y=x39x2+24x的單調減區(qū)間是2，42解：y=xx3=13x2=3x2=3x+x令3x+x0，解得xy=xx3的單調增區(qū)間是，令3x+x0，解得x或xy=xx3的單調減區(qū)間是，和

6、，+2討論二次函數y=ax2+bx+ca0的單調區(qū)間解：y=ax2+bx+c=2ax+b, 令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+ca0的單調增區(qū)間是，+令2ax+b0，解得xy=ax2+bx+ca0的單調減區(qū)間是，3求以下函數的單調區(qū)間1y= 2y= 3y=+x1解：y=當x0時，0，y0y=的單調減區(qū)間是，0與0，+2解：y=當x±3時，0，y0y=的單調減區(qū)間是，3，3，3與3，+3解：y=+x當x0時+10，y0 y=+x的單調增區(qū)間是0，+1.函數fx=在區(qū)間-2，+上為增函數，那么實數a的取值范圍為A.0<a<B.a<-1或a>C.a>D.

7、a>-2答案：C解析：fx=a+在-2,+遞增，1-2a<0,即a>.2函數fxx22xalnx，假設函數fx在0,1上單調，那么實數a的取值范圍是Aa0Ba<4Ca0或a4Da>0或a<4答案：C解析：fx2x2，fx在0,1上單調， fx0或fx0在0,1上恒成立，即2x22xa0或2x22xa0在0,1上恒成立， 所以a2x22x或a2x22x在0,1上恒成立記gx2x22x,0<x<1，可知4<gx<0， a0或a4，應選C.3函數fxx的單調區(qū)間為_答案：3,0，0,3解析：fx1，令fx<0，解得3<x<

8、0或0<x<3，故單調減區(qū)間為3,0和0,34.函數的單調增區(qū)間為_，單調減區(qū)間為_答案：；解析：5確定以下函數的單調區(qū)間:1y=x39x2+24x 2y=3xx3答案1解：y=x39x2+24x=3x218x+24=3x2x4令3x2x40，解得x4或x2.y=x39x2+24x的單調增區(qū)間是4，+和，2令3x2x40，解得2x4y=x39x2+24x的單調減區(qū)間是2，42解：y=3xx3=33x2=3x21=3x+1x1令3x+1x10，解得1x1.y=3xx3的單調增區(qū)間是1，1.令3x+1x10，解得x1或x1.y=3xx3的單調減區(qū)間是，1和1，+6函數ylnx2x2的單

9、調遞減區(qū)間為_答案，1解析函數ylnx2x2的定義域為2，1，令fxx2x2，fx2x1<0，得x<，函數ylnx2x2的單調減區(qū)間為，17yx3bx2b2x3在R上不是單調增函數，那么b的范圍為_答案b<1或b>2解析假設yx22bxb20恒成立，那么4b24b20，1b2，由題意b1或b2.8.xR,求證：exx+1證明:設fx=exx1,那么fx=ex1當x=0時，fx=0,fx=0當x0時，fx0,fx在0,+上是增函數fxf0=0當x0時，fx0,fx在,0上是減函數，fxf0=09函數y=x+，試討論出此函數的單調區(qū)間.解：y=x+=11·x2=令

10、0. 解得x1或x1.y=x+的單調增區(qū)間;是，1和1，+.令0，解得1x0或0x1. y=x+的單調減區(qū)間是1，0和0，110函數的圖象過點P0，2，且在點M1，f1處的切線方程為求函數y=fx的解析式；求函數y=fx的單調區(qū)間答案解：由fx的圖象經過P0，2，知d=2，所以 由在M-1,f-1處的切線方程是， 知故所求的解析式是 解得 當當故內是增函數，在內是減函數，在內是增函數點撥：此題考察函數的單調性、導數的應用等知識，考察運用數學知識分析問題和解決問題的才能11.函數fx=x3-x2+bx+c.1假設fx在-，+上是增函數，求b的取值范圍;答案解:1=3x2-x+b,因fx在-，+上

11、是增函數，那么0.即3x2-x+b0,bx-3x2在-，+恒成立.設gx=x-3x2.當x=時，gxmax=,b.12.函數fx=xx-1x-a在2，+上是增函數，試確定實數a的取值范圍.答案解:fx=xx-1x-a=x3-a+1x2+ax=3x2-2a+1x+a要使函數fx=xx-1x-a在2,+上是增函數，只需=3x2-2a+1x+a在2，+上滿足0即可.=3x2-2a+1x+a的對稱軸是x=,a的取值應滿足：或解得:a.a的取值范圍是a.13函數 在區(qū)間上是增函數，務實數的取值范圍答案解：，因為在區(qū)間上是增函數，所以對恒成立，即對恒成立，解之得：所以實數的取值范圍為點撥：函數的單調性求參

12、數的取值范圍是一種常見的題型，常利用導數與函數單調性關系：即“假設函數單調遞增，那么；假設函數單調遞減，那么來求解，注意此時公式中的等號不能省略，否那么漏解14.函數的圖象過點P0，2，且在點M1，處的切線方程，1求函數的解析式；2求函數的單調區(qū)間。答案解：1由的圖象經過P0，2，知，所以， 由在點M處的切線方程為 即 解得故所求的解析式是2 令，解得當或時，當時，故在內是增函數，在內是減函數在內是增函數點撥：此題考察函數的單調性、導數的應用等知識，考察運用數學知識分析問題和解決問題的才能15函數fx，求導函數f x，并確定fx的單調區(qū)間解析：f x令f x0，得xb1且x1.當b11，即b2

13、時，f x的變化情況如下表：x，b1b1b1,11，f x0當b11，即b2時，f x的變化情況如下表：x，11，b1b1b1，f x0所以，當b2時，函數fx在，b1上單調遞減，在b1,1上單調遞增，在1，上單調遞減當b2時，函數fx在，1上單調遞減，在1，b1上單調遞增，在b1，上單調遞減當b11，即b2時，fx，所以函數fx在，1上單調遞減，在1，上單調遞減_根底穩(wěn)固一、選擇題1函數yx42x25的單調遞減區(qū)間為A，1和0,1B1,0和1，C1,1D，1和1，答案A解析y4x34x，令y<0，即4x34x<0，解得x<1或0<x<1，所以函數的單調減區(qū)間為，

14、1和0,1，故應選A.2函數fxax3x在R上為減函數，那么Aa0 Ba<1Ca<2 Da答案A解析f x3ax210恒成立，a0.3對任意實數x，有fxfx，gxgx，且x>0時，fx>0，gx>0，那么x<0時Afx>0，gx>0 Bfx>0，gx<0Cfx<0，gx>0 Dfx<0，gx<0答案B解析fx為奇函數，gx為偶函數，奇偶函數在關于原點對稱的兩個區(qū)間上單調性一樣反，x<0時，f x>0，gx<0.4設p：fxx32x2mx1在，內單調遞增，q：m>，那么p是q的A充分不必

15、要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件答案B解析f x3x24xm，fx在R上單調遞增，f x0在R上恒成立，1612m0，m，故p是q的必要不充分條件5設f x是函數fx的導函數，yf x的圖象如下圖，那么yfx的圖象最有可能的是答案C分析由導函數fx的圖象位于x軸上方下方，確定fx的單調性，比照fx的圖象，用排除法求解解析由f x的圖象知，x，0時，f x>0，fx為增函數，x0,2時，fx<0，fx為減函數，x2，時，f x>0，fx為增函數只有C符合題意，應選C.6設函數Fx是定義在R上的函數，其中fx的導函數fx滿足f x<fx對于xR

16、恒成立，那么Af2>e2f0，f2019>e2019f0Bf2<e2f0，f2019>e2019f0Cf2<e2f0，f2019<e2019f0Df2>e2f0，f2019<e2019f0答案C解析函數Fx的導數Fx<0，函數Fx是定義在R上的減函數，F2<F0，即<，故有f2<e2f0同理可得f2019<e2019f0應選C.二、填空題7函數ylnx2x2的單調遞減區(qū)間為_答案，1解析函數ylnx2x2的定義域為2，1，令fxx2x2，f x2x1<0，得x<，函數ylnx2x2的單調減區(qū)間為，18函數

17、fxx3ax23x在區(qū)間1，上是增函數，那么實數a的取值范圍是_答案，0解析fxx3ax23x，f x3x22ax3，又因為fxx3ax23x在區(qū)間1，上是增函數，f x3x22ax30在區(qū)間1，上恒成立，解得a0，故答案為，09假設fxx2blnx2在1，上是減函數，那么b的取值范圍是_答案b1解析fx在1，上為減函數，f x0在1，上恒成立，f xx，x0，bxx2在1，上恒成立，b1.三、解答題10函數fxx3ax2bxa、bR的圖象過點P1,2，且在點P處的切線斜率為8.1求a、b的值；2求函數fx的單調區(qū)間解析1函數fx的圖象過點P1,2，f12.ab1.又函數圖象在點P處的切線斜率

18、為8，f 18，又f x3x22axb，2ab5.解由組成的方程組，可得a4，b3.2由1得f x3x28x3，令f x>0，可得x<3或x>；令f x<0，可得3<x<.函數fx的單調增區(qū)間為，3，單調減區(qū)間為3，一、選擇題11函數fx2xx32在區(qū)間0,1內的零點個數是A0B1C2D3答案B解析本小題考察函數的零點與用導數判斷函數的單調性，考察分析問題、解決問題的才能fx2xx32,0<x<1，f x2xln23x2>0在0,1上恒成立，fx在0,1上單調遞增又f020021<0，f12121>0，f0f1<0，那么f

19、x在0,1內至少有一個零點，又函數yfx在0,1上單調遞增，那么函數fx在0,1內有且僅有一個零點12函數fx及其導數f x，假設存在x0，使得fx0f x0，那么稱x0是fx的一個“巧值點，以下函數中，有“巧值點的函數的個數是fxx2，fxex，fxlnx，fxtanx，fxxA2B3C4D5答案B解析中的函數fxx2，f x2x，要使fxf x，那么x22x，解得x0或2，可見函數有巧值點；對于中的函數，要使fxf x，那么exex，由對任意的x，有ex>0，可知方程無解，原函數沒有巧值點；對于中的函數，要使fxf x，那么lnx，由函數fxlnx與y的圖象有交點知方程有解，所以原函

20、數有巧值點；對于中的函數，要使fxf x，那么tanx，即sinxcosx1，顯然無解，所以原函數沒有巧值點；對于中的函數，要使fxf x，那么x1，即x3x2x10，設函數gxx3x2x1，gx3x22x1>0且g1<0，g0>0，顯然函數gx在1,0上有零點，原函數有巧值點，故正確，選C.13函數fx是定義在R上的可導函數，其導函數記為fx，假設對于任意實數x，有fx>fx，且yfx1為奇函數，那么不等式fx<ex的解集為A，0B0，C，e4De4，答案B解析令gx，那么gx<0，所以gx在R上是減函數，又yfx1為奇函數，所以f010，所以f01，g01，所以原不等式可化為gx<1g0，所以x>0，應選B.14函數yxfx的圖象如圖1所示其中f x是函數fx的導函數，下面四個圖象中，yfx的圖象大致是答案C解析當0<x<1時xf x<0，f x<0，故yfx在0,1上為減函數當x>1時xfx>0，fx>0，故