1、導數的幾何意義教學設計安徽省宿州市宿州學院附屬實驗中學 羅風云一、教材依據導數的幾何意義是北京師范大學出版社出版的普通高中課程標準實驗教科書選修1-1第三章第二節(jié)的內容。二、設計思想教材分析：導數是微積分的重要部分，是從生產技術和自然科學的需要中產生的；同時，又促進了生產技術和自然科學的發(fā)展。它不但在天文、物理、工程技術中有著廣泛的應用，而且在日常生活及經濟領域也日漸顯示出其重要的功能。本節(jié)內容分了兩部分也即兩個課時，一是導數的概念；二是導數的幾何意義。之前學習的瞬時變化率是為了引出導數的概念，介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數概念的理解。教材中利用逼近方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為

2、曲線的切線，這種定義才反映了切線的真正本質，在教學中應使學生了解“從有限中找到無限，從暫時中找到永久，并使之確定起來”（恩格斯語）的微積分思想，讓學生反復通過圖形（數與形的結合）去認識和感受導數的幾何意義切線的斜率，并且注重引導他們學會數學思考的一種方式幾何直觀，從而加深對導數概念的認識和理解。學情分析：現有知識儲備（1）平均變化率、瞬時變化率；（2）過兩點的直線的斜率；（3）函數的極限；（4）導數的概念等現有能力特征具有一定歸納、概括、類比、抽象思維能力現有情感態(tài)度對導數這一新鮮的概念在具體情境（函數圖像等）中的應用具有強烈的求知欲和渴望探究的積極情感態(tài)度設計理念：學生為本，重視思維發(fā)生的過

3、程，重視切線定義的形成過程，激發(fā)學生的學習興趣，有意識培養(yǎng)學生的學習毅力。讓學生學習有趣的數學，學習有用的數學，充分體現數學的應用價值、思維價值和人文價值。三、教學目標1.知識與技能目標：（1）使學生掌握切線的形成過程，理解函數在處的導數的幾何意義就是函數的圖像在處的切線的斜率。（數形結合），即：切線的斜率；（2）會利用導數的幾何意義求曲線在某一點處的切線方程，體會“數形結合”的數學思想方法。（3）通過讓學生在動手實踐中探索、觀察、反思、討論、總結，發(fā)現問題，解決問題，從而達到培養(yǎng)學生的學習能力，思維能力，應用能力和創(chuàng)新能力的目的。2.過程與方法目標：經歷切線定義的形成過程，體會導數的思想及其

4、內涵，完善對切線的認識與理解，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想和函數思想；提高類比歸納、抽象概括、聯系與轉化的思維能力。3.情感、態(tài)度與價值觀目標：領悟切線定義的形成過程中所體現的量變與質變、運動與靜止、有限和無限對立統(tǒng)一等的辯證觀點，接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態(tài)度，體會數形結合及“逼近”等思想和方法。感悟數學的統(tǒng)一美，意識到數學的應用價值，促使學生形成正確的數學觀。四、教學重難點：重點：理解導數的幾何意義及和“數形結合”的思想方法。難點：應用導數的幾何意義。重、難點突破措施：1.以情感人，以理醒人創(chuàng)設情境中：問題開題，扣人心弦；層層探究中：分

5、類探究，步步為營，絲絲入扣。2.數形結合現代的多媒體技術直觀、形象展示切線的形成過程，突破重難點。3.切合實際，分層提高利用分層訓練達到因材施教的效果。五、教學手段：利用ppt、Flash、幾何畫板等多媒體手段輔助教學。六、課 型：新授課七、教學過程結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，幫助學生主動建構切線的形成過程。抽象概括自發(fā)探究自主探究引導探究情境導入分層練習例題探究小結復習完成任務單新知探究（一）創(chuàng)設情境，導入新課數學上對于函數講究數形結合，上節(jié)課介紹了導數的概念，這是從“數”的角度來研究導數，若從“形”的角度來探索導數，我們該怎么入手呢？本節(jié)課我們就來學習如

6、何從“形”的角度探究導數，這就是今天要學習的課題導數的幾何意義。我們先來看一個問題：問題1：在初中我們學習過圓的切線的概念，即直線與圓有且僅有一個公共點時，叫做直線和圓相切，該直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點。那么能否將圓這種特殊的曲線的切線定義推廣為一般曲線的切線呢？即直線和曲線有且只有唯一公共點時，直線叫做曲線在該點的切線。這種推廣妥當嗎？如果不妥當，你能舉出反例嗎？（課件展示）師：軸與拋物線有且僅有一個公共點，但我們不能說它們相切于點；直線與正弦曲線有無數個公共點，我們還是可以說它們是相切的。通過上面的分析，對于一般曲線的切線該如何定義呢？下面一起來探究。設計意圖：通過推翻學生對曲線

7、切線的定義的這種錯誤認識（將直線與圓的切線的定義推廣到一般曲線的切線的定義），學生勢必就會產生要探究一般曲線的切線定義的迫切要求，這樣就可以激發(fā)學生的求知欲。另外，通過剛才的分析，使學生能認識到曲線的切線與曲線本身可能有多個交點，也為例2中的切線與曲線本身有兩個交點埋下了伏筆。（二）新知探究，進入新課若從“形”的角度探索導數的幾何意義就要用到一種重要的思想方法數形結合，要研究“形”，自然要結合“數”。 1.引導探究下面來看一個問題： 問題2：你能借助函數圖像說說平均變化率表示什么嗎？其中。請在函數圖像中畫出來。（課件給出函數圖像）師: 在函數圖像中實際表示的是,在中，而割線的斜率就是，因此平均

8、變化率在圖像中表示的是割線AB的斜率。（展示課件）設計意圖：通過復習直線的斜率的計算公式，能夠讓學生快速想起平均變化率與斜率的計算公式之間的聯系，為平均變化率在函數圖像中的表示鋪平道路，另外通過課件的展示讓學生立即聯想到,之后立即想到斜率，讓學生通過圖像直觀感受到平均變化率與斜率之間的關系，體會到數形結合思想的應用。2.自主探究下面來探究一下在過程中，割線AB的變化情況你能描述一下嗎？請在函數圖像中畫出來。（課件動畫展示）師：類比數的變化： （數），當，割線有一個無限趨近的確定位置，這個確定位置上的直線叫做曲線在處的切線，（教師說明：通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于

9、各種曲線。）請把它畫出來。(課件動畫展示)師：（形），割線切線，則割線的斜率切線的斜率由數形結合，得切線的斜率(課件展示) 設計意圖：利用flash動畫展示由割線到切線的動態(tài)變化過程，反復通過圖形（數與形的結合）去認識和感受導數的幾何意義切線的斜率，注重讓學生學會數學思考的一種方式幾何直觀，從而加深對導數概念的認識和理解，使學生體會數形結合及“逼近”等思想和方法。3.自發(fā)探究通過剛才的分析過程，我們得到了一個概念與一個結論.師：（1） 一個概念：設函數的圖像是一條光滑的曲線，當趨于時，點將趨于點，割線將繞點轉動最后趨于直線，此時直線和曲線在點處相切，稱直線為曲線在點處的切線；（2） 一個結論：

10、函數在處的導數就等于曲線的圖像在處的切線AD的斜率。設計意圖：通過對上述兩個知識點的梳理，讓學生經歷切線定義的形成過程，體會導數的思想及其內涵，完善對切線的認識與理解，使學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；提高抽象概括的能力。（三）抽象概括，點明主題 通過剛才的敘述，將結論概括如下：函數在處的導數，是曲線的圖像在點處的切線的斜率。函數在點處的切線的斜率反映了導數的幾何意義。請同學們注意上面結論中的兩點：（1） 若設曲線的圖像在點處的切線的斜率為，則用數學語言來描述上面的結論就是；（2） 由于切點既在曲線上又在切線上，因此切點坐標既滿足曲線方程又滿足切線方程。設計意圖：通過對導數的幾何意

11、義的解讀，使學生抓住其中的關鍵要素，為后面的例題解析與學生分層練習做好鋪墊。（四）例題探究，主題重現例1： 已知函數 分別對求在區(qū)間的平均變化率，并畫出過點（）的相應割線; 求函數在處的導數，并畫出曲線在點（-2，4）處的切線.解： 當時，區(qū)間相應為-2，0，-2，-1，-2，-1.5。在這些區(qū)間中的平均變化率分別為， 其相應割線，如圖所示（課件展示），分別是過點（-2，4）和點（0，0）的直線，過點（-2，4）和點（-1，1）的直線，過點（-2，4）和點（-1.5,2.25）的直線.（此處教師帶領學生處理第一部分，剩余兩部分由學生課后處理） 在區(qū)間上的平均變化率為 . 令趨于零，知函數在處的

12、導數為-4. 曲線在（-2，4）處的切線為，如圖所示。（課件演示） 設計意圖：主要通過此題復習一下切線的形成過程，從數與形兩個角度進一步詮釋導數的幾何意義。例2：求函數在處的切線方程。解：先求在處的導數， 令趨于零，知函數在處的導數為.這樣，函數在點（1，）=（1，2）處的切線斜率為6，即該切線經過點（1，2），斜率為6.因此切線方程為，即.思考：通過剛才的解析過程，你能概括出利用導數的幾何意義求曲線的切線方程的解題步驟嗎？師：步驟如下： 求出函數在點處的導數與切點坐標； 根據直線的點斜式方程，得切線方程為.變式延伸：此時切線與有幾個交點？怎樣求解交點坐標呢？（課件演示）師：通過圖像的觀察，此

13、時切線與有兩個交點，將切線方程與曲線方程聯立組成方程組，解得兩點坐標為，.設計意圖：此題一個基礎題型，通過此題讓學生學會用導數的幾何意義去求曲線的切線方程，并且通過變式訓練改變原來的錯誤觀點（切線與曲線只有一個交點）。（五）分層練習，因材施教1課本P37第1題(由學生獨立完成后，教師引導學有余力的學生處理補充練習2，3） 2函數的圖像與直線在處相切，則 . 3已知拋物線，在點P（1，2）處與直線相切，求實數，.設計意圖：通過典例解析，使學生掌握了如何利用導數的概念與幾何意義解題常見題型的方法，通過練習1的鍛煉使之更熟練，練習2的設置主要是考察學生對于兩個式子（與）的理解的，而練習3考察的是學生

14、綜合知識運用的能力（今天的主要的兩個關鍵點在同一個試題中得到體現）。通過這三題的訓練，基本上就可以使每一層學生都能夠吃得飽，吃得好，體現了對每一層學生都應該因材施教。（六）小結復習，主題回顧同學們，我們今天學習了導數的幾何意義，你能概括出今天的幾個知識點嗎？（引導學生自行說出）師：有三個，分別是：1切線的定義（略）；2函數在處的導數的幾何意義就是函數的圖像在處的切線AD的斜率。即：切線的斜率； 3曲線在點處的導數存在，則切線方程是.設計意圖：通過讓學生小結復習，使他們自己能很好的回顧知識點的內容，并且能夠培養(yǎng)他們歸納與概括的思維能力。（七）布置作業(yè)，課后鞏固課本P63習題32 A組5，B組2.

15、思考：在曲線上過點的切線垂直于直線，求點的坐標。設計意圖：通過思考題的探究，使學生抓住其中的兩個關鍵要素：一是；二是切點坐標既滿足曲線方程又滿足切線方程。八、教學反思本節(jié)內容研究了導數的幾何意義,由于教材未設計極限的知識,于是我盡量采用形象直觀的方式，通過動手作圖,感受整個逼近的過程,并用形象的幾何畫板及Flash展示動態(tài)的過程，讓學生更加深刻地體會導數的幾何意義。本節(jié)課主要圍繞著“利用函數圖象直觀理解導數的幾何意義并利用導數的幾何意義解決問題”這個教學重心展開。首先拋出如何定義曲線的切線，然后由數到形，自然引出從圖形的角度研究導數的幾何意義；然后，類比“平均變化率瞬時變化率”的研究思路，運用

16、逼近的思想定義了曲線上某點的切線，再引導學生從數形結合的角度思考，獲得導數的幾何意義“導數是曲線上某點處切線的斜率”，而后通過兩個例題的研究，讓學生從不同的角度完整地體驗導數與切線斜率的關系，并感受導數的幾何意義的應用。總的來說，有以下幾點感觸：1.“以學生為本”的教育觀是教學設計的根本指導思想。學生通過“經歷”、“體會”、“感受”的過程學習，充分體現了學生為本的現代教育觀；練習和作業(yè)的分層設計盡量滿足多樣化的學習需求做到因材施教。2.在難點的突破上采取了有效的措施：（1）三類探究符合學生的認知規(guī)律；（2）問題2的有效分解，突破重難點；（3）充分利用現代多媒體技術，數形結合分解難點；（4）情景

17、貫穿始終，興趣伴隨學習。3.形式和內容得到統(tǒng)一，具有很強的可操作性。 各類探究中，形式和內容和諧統(tǒng)一，具有很強的可操作性。但是，作為一堂容量較大的微課，時間如果控制不好，易講不完，所以時間要注意調配。通過反思，自己也意識到：1.讓學生體驗數學知識的發(fā)生、發(fā)展、形成過程應該成為我今后數學教學的一個重要教學目標。導數的幾何意義是對函數圖像特征的一種數學描述，它經歷了由圖像直觀感知到自然語言描述，再到數學符號語言描述的進化過程，這個過程充分反映了數學的理性精神，是一個很有價值的數學教育載體。2教學設計最根本的著力點是“為學習設計教學”，而不是“為教學設計學習”。通過對本節(jié)課教學設計，我對“為學習設計教學”有了更深的理解。如果把教學看作是教師帶領學生一起去遠足，那么學情分析的目的是要分析學生的認知基礎，確定一個合情合理的教學起點；目標導向這是要教師分析預期達到的教學效果，即遠足所期望到達的目的地，這是教學的根本和核心任務，是教學設計的關鍵；知識定位則好比是教師要預先