1、導數(shù)應用及積分全攻略河南省三門峽市盧氏一高數(shù)學組（472200）趙建文綜觀近年來的高考試卷，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題、解決實際優(yōu)化問題和求積分是考查的重點和熱點. 為幫助同學們?nèi)嬲莆諏?shù)的應用和求積分，本文對導數(shù)應用和求積分相關(guān)考點作以解讀，對相關(guān)解題規(guī)律作以總結(jié).【考點及要求】1.了解函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次），會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值（其中多項式函數(shù)一般不超過三次）.3.會應導數(shù)

2、解決某些實際問題.4.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，了解微積分基本定理的含義，會應用微積分基本定理求積分.【考點歸納分析】考點1：函數(shù)的單調(diào)性問題利用導數(shù)研究函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性問題，有三類題型：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)參數(shù)的范圍問題；（3）通過研究函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的圖像和極值、最值及方程解得個數(shù)問題，可以為小題，也可為解答題，小題中檔以下難度題，大題為中檔題.例1（2009安徽理19）已知函數(shù)=，0，討論的單調(diào)性.審題要津：本題是含參數(shù)的單調(diào)性問題，利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間.解： 的定義域為(0，+)，=.設=，二次方程=0的判別式=，

3、當0即0時，對一切0都有0，此時是(0，+)上的單調(diào)增函數(shù);當=0即=時，僅對=有=0，對其余的0都有0，此時是(0，+)上的單調(diào)增函數(shù);當0即時，方程=0有兩個不同的實根=，=，0（，）（，+）00單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增此時的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，），（，+），單調(diào)遞減區(qū)間為（，）.【點評】當函數(shù)含參數(shù)時，求單調(diào)區(qū)間注意分類討論.策略指導對函數(shù)單調(diào)性問題，常有兩類問題：（1）求單調(diào)區(qū)間問題，先求函數(shù)的定義域，在求導函數(shù)，解導數(shù)大于0的不等式，得到區(qū)間為增區(qū)間，解導數(shù)小于0得到的區(qū)間為減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間一定要寫出區(qū)間形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（減）區(qū)間有多個，一定要分開寫

4、，用逗號分開，不能寫成并集形式，要說明增（減）區(qū)間是誰，若題中含參數(shù)注意分類討論；（2）已知在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)問題，先求導函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在這個區(qū)間上大于（增函數(shù)）（小于（減函數(shù)）0恒成立問題，通過函數(shù)方法或參變分離求出參數(shù)范圍，注意要驗證參數(shù)取等號時，函數(shù)是否滿足題中條件，若滿足把取等號的情況加上，否則不加.考點2：函數(shù)極值問題函數(shù)的極值問題考查形式靈活多樣，常與函數(shù)的最值、參數(shù)問題、方程解得個數(shù)問題、不等式證明、實際問題等相結(jié)合，考查求函數(shù)極值、已知極值求參數(shù)、應用函數(shù)圖像解方程個數(shù)問題、求最值及利用最值證明不等式，既有小題又有大題.例2（2009天津卷理20）已知函數(shù)=其中

5、（1） 當時，求曲線在點處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2） 當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 審題要津：按求在某點切線的方法求切線，通過解導數(shù)大于（小于）0的不等式求單調(diào)區(qū)間,因含參數(shù)，要分類討論.解：（I）（II）= . 令=0，解得=或=，由知以下分兩種情況討論。（1），則.當變化時，、的變化情況如下表：+00+極大值極小值函數(shù)增區(qū)間為，減區(qū)間為，函數(shù)在處取極大值= . 函數(shù)在處取極小值=（2），則，當變化時，、的變化情況如下表：+00+極大值極小值增區(qū)間為，減區(qū)間為，函數(shù)在處取極大值= . 函數(shù)處取極小值= 【點評】本題考查

6、了利用導數(shù)求切線方程、求極值及分類討論思想，注意求過某點的切線與在某點的切線不同，含參數(shù)要分類討論.策略指導對極值問題，有三類題型，（1）求函數(shù)的極值，先求導函數(shù)，令導函數(shù)為0，求出導函數(shù)為0時，方程的根和導數(shù)不存在的點，再用導數(shù)判定這些點兩側(cè)的函數(shù)的單調(diào)性，若左增由減，則在這一點取值極大值，若左減右增，則在這一點去極小值，要說明在哪一點去極大（小）值；（2）已知極值，求參數(shù)，先求導，則利用可導函數(shù)在極值點的導數(shù)為0，列出關(guān)于參數(shù)方程，求出參數(shù)，注意可導函數(shù)在某一點去極值是導函數(shù)在這一點為0的必要不充分條件，故需將參數(shù)代入檢驗在給點的是否去極值；（3）已知三次多項式函數(shù)有極值求參數(shù)范圍問題，求

7、導數(shù)，導函數(shù)對應的一元二次方程有解，判別式大于0，求出參數(shù)的范圍.考點3：函數(shù)最值問題函數(shù)的最值問題考查形式比較靈活，常與極值、值域、不等式證明、恒成立問題結(jié)合，考查利用導數(shù)處理最值問題、不等式證明、處理恒成立問題能力，可以是小題，也可能是解答題，小題是容易題，解答題為中檔以上難度題.例3 (2009湖南卷理8)設函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)K，定義函數(shù)，取函數(shù)=，若對任意的，恒有=，則 ( )AK的最大值為2 B. K的最小值為2CK的最大值為1 D. K的最小值為1 審題要津：利用導數(shù)先求出函數(shù)最值，從而得到K的范圍，易求出K最小值.解：由=0知=0，所以（，）時，0，當（0，時

8、，0，所以=1，即的值域是（，而要使=在R上恒成立，結(jié)合條件分別取不同的K值，可得D符合，此時=.故選D項.【點評】注意極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系.策略指導函數(shù)最問題，有兩類，（1）對求函數(shù)在某一閉區(qū)間上，先用導數(shù)求出極值點的值和區(qū)間端點的值，最大者為最大值，最小者為最小值，對求函數(shù)定義域上最值問題或值域，先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而弄清函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像求出極值；（2）對已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問題或，通過參變分離轉(zhuǎn)化為不等式（）（是自變量，是參數(shù)）恒成立問題，（），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意函數(shù)最值的區(qū)別于聯(lián)系.考點4：實際優(yōu)化問題 實際優(yōu)化問題，即求最值或求去最值條

9、件的實際應用題，背景靈活多樣，主要包括用料最省、費用最低、損失最小、方案最佳、收益最大等問題，常將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)或數(shù)列的最值問題，再用導數(shù)或基本不等式或函數(shù)性質(zhì)求解，可以是小題，也可以是解答題，難度為中檔難度題.例4(2009山東卷理21）兩縣城A和B相距20Km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的距離有關(guān)，對城A和城B的總影響度為對城A與對城B的影響度之和.記C點到城A的距離，建在C處的垃圾處理廠對城B的影響度為，統(tǒng)計調(diào)查表明；垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城B的平方成反比，比例系數(shù)為4；城B的影響度與所選地點到城B的距離的平

10、方成反比，比例系數(shù)為K，當垃圾處理廠建在弧的中點時，對城A和城B）總影響度為0.065.（）將表示成的函數(shù)；（）討論（）中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小？若存在，求出該點城A的距離；若不存在，說明理由.審題要津：先根據(jù)題中條件和題意用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再利用導數(shù)求出函數(shù)最值.解：:（1）如圖,由題意知ACBC,=, =(),其中當=時，=0.065,所以=9所表示成的函數(shù)為=();（2）求導得,=,令=0，得=,解得=，當0時, 0，所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當20時，0所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).當=時, 即當C點到城A的距離為時, 函數(shù)

11、=（）有最小值.【點評】不能忽視函數(shù)的定義域，本題也可用換元法和均值不等式求最值.策略指導對實際優(yōu)化問題，要認真審題，要弄清是哪一類最優(yōu)化問題，涉及哪些量及這些量間的關(guān)系，哪些量是已知的，哪些量是未知的，設出相關(guān)量，根據(jù)題意，列出關(guān)系式，注意根據(jù)變量的實際意義和相互關(guān)系確定變量的取值范圍，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學最優(yōu)化問題，再根據(jù)轉(zhuǎn)化所得的數(shù)學問題類型，從導數(shù)法或基本不等式法或函數(shù)性質(zhì)法或線性規(guī)劃法中選擇合適求解，并檢驗所得結(jié)果是否適合數(shù)學模型和符合實際問題要求，從而對原問題作出合乎實際的回答.考點5導數(shù)綜合應用導數(shù)的綜合應用，考查形式靈活多樣，常考查利用導數(shù)求曲線的切線、求最值、證明不等式、研究

12、方程解得個數(shù)、恒成立、參數(shù)等問題，是高考考查的重點內(nèi)容，是高考中的難度較大的題目.例5（2009全國卷理）設函數(shù)=有兩個極值點、且，（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性； （II）證明：.審題要津：（1）將問題轉(zhuǎn)化為導數(shù)對應的方程在定義域內(nèi)有兩解問題，利用根的分布去求解，（2）通過構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性證明不等式.解：（I）=（1）， 令=，其對稱軸為=.由題意知、是方程=0的兩個均大于1的不相等的實根，其充要條件為，得0，當（1，）時，0，在（1，）內(nèi)為增函數(shù)；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 當(,)時，0,在(,)內(nèi)為減函數(shù)；當(,)時，0, 在(,)內(nèi)為增函數(shù)；（

13、II）由（I）=0,0，=,=,設=(0)，則=,當(,0)時，0,在單調(diào)遞增；當(,0)時，=，故= 【點評】本題極值個數(shù)問題和不等式證明問題，要掌握這類問題解法.策略指導（1）對極值個數(shù)問題，常轉(zhuǎn)化為導函數(shù)對應方程解得個數(shù)問題，利用導函數(shù)的圖像求解；（2）對方程的解得問題，通常先利用導數(shù)研究對應函數(shù)的圖像與性質(zhì)，在利用函數(shù)的圖像與性質(zhì)求解；（3）對不等式的證明問題，先根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值證明不等式；（3）對參數(shù)和恒成立問題、有解問題，常通過參變分離，轉(zhuǎn)化為含參數(shù)部分大于另（小于）一端不含參數(shù)部分的最大值（最小值）問題，再利用導數(shù)研究函數(shù)

14、的最值，注意恒成立與有解的區(qū)別.考點6：簡單的積分問題積分問題，有著多種多樣的實際背景，常與平面幾何中曲邊題型面積、物理中有關(guān)問題，重點考查對積分概念、積分思想、運用微積分基本定理求積分、積分在實際問題中的簡單應用，常常一小題形式出現(xiàn)，是較容易題目.例6 （2009福建理4）等于( )A B. 2 C. -2 D. +2審題要津：利用積分運算性質(zhì)和微積分基本定理求解.解：=1，=， =+=，故選D.【點評】先用積分運算法則分成簡單函數(shù)的積分，再用微積分基本定理求解.策略指導積分問題，有三種類型，（1）求定積分，利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則從反向求出，再微積分基本定理和積分運算性質(zhì)求出定積分；（2）利用積分求平面圖形面積，應首先畫出平面