1、=附錄：宏觀經濟學分析方法：最優(yōu)控制原理（10、11碩已講，精細訂正版）一、問題與術語在優(yōu)化控制原理中，目的是尋找稱為控制變量的最優(yōu)時間路徑的一個控制變量，記為以前我們用變分法解決最優(yōu)時間路徑時稱為狀態(tài)變量的變量，現繼續(xù)表示為狀態(tài)變量總有等于的運動或轉移方程選擇控制變量的時間路徑，以使泛函在滿足狀態(tài)變量約束條件下最優(yōu) 優(yōu)化控制原理涉及連續(xù)時間，有限時間域，和固定端點三種類型。它通常寫為滿足 (211)這里，被最優(yōu)化的泛函值；控制變量，這樣叫是因為它的值被選擇或控制來優(yōu)化；狀態(tài)變量，它隨著時間約束中等于呈的不同方程集而變化，它的值也由約束中控制變量間接決定；時間一個優(yōu)化控制問題的解，給出控制變量

2、的最優(yōu)動力時間路徑。二、哈密頓和最優(yōu)控制原理最大化的必要條件滿足狀態(tài)變量約束的泛函動態(tài)優(yōu)化問題涉及到一個哈密頓函數，它與凹規(guī)劃中的拉格朗日函數相似由(211)，哈密頓函數定義為 (212)這里，稱為共態(tài)變量與拉格朗日乘子相似，共態(tài)變量估計相關狀態(tài)變量的邊際值或影子價格可見，從(212)構造哈密頓函數只將積分號下的被積函數與共態(tài)變量和約束乘積相加即可 假定哈密頓在是可微分的，并嚴格凹，那么有一個內部解而不是隅角解，最大化的必要條件是12(a) (b) 3(a) (b) 前面兩個條件稱為最大化原理，第三個條件稱為邊界條件第二個條件中，兩個運動方程一般稱為哈密頓系統或典型系統另，對于最小化，如凹規(guī)劃

3、一樣，僅給目標函數乘-1如果解不包含端點，第一個條件中，不需要等于零，但必須關于最大例1 使用第212節(jié)中的條件，解決下面的最優(yōu)控制問題：滿足 解：A 從(21. 1)，建立哈密頓函數B 假定一個內部解，應用最大化原則1 (21. 3)2(a) (21. 4)(b)但根據(213)，因此， (215)使用最大化原則，得到兩個微分方程。現在，我們用來求解狀態(tài)變量和共態(tài)變量。通過積分(21. 4)找到共態(tài)變量 (216)把(216)代入(215)，積分， (217)C 利用邊界條件確定積分常量將邊界條件應用到(217)， 接著把和代入(217)和(216)，有 狀態(tài)變量 （218） 共同變量D 最

4、后，我們可用兩種方法中的任一種找到控制變量的最終解1. 從(213)，因此 控制變量2或求出(218)中的微分，我們把代入約束中的運動方程， 控制變量在端點賦值， 控制變量的最優(yōu)路徑是從(0，9)開始到(3，0)約束的線段，以為斜率三、最優(yōu)控制最大化的充分條件 假定描述最優(yōu)控制最大化的必要條件的最大化原則滿足，充分條件也滿足，如果：1目標泛函和約束可微，并關于和聯合凹2當約束關于和為非線性時，如果約束為線性時，且可取任何符號線性函數既是凹的也是凸的，但不是嚴格凹也不是嚴格凸的對于非線性函數，用行列式很容易檢驗聯合凹性給出函數二階微分的行列式如果行列式是負定的，那么函數是嚴格凹的， 且 如果行列

5、式是半負定的，那么函數是簡單凹的， 且 一個負定行列式表明全局最大，因此也是最大值的充分條件一個半負定行列式表明局部最大，如果對變量每種可能順序的檢驗有以上結論，則它也是最大值的充分條件例2 下面說明例1中問題的充分條件目標泛函為非線性的，求出二階導數，并利用行列式檢驗。 不是嚴格負定，但由于和是半負定但是，對于半定檢驗我們必須以相反的順序檢驗變量 兩種行列式檢驗均是半負定，所以目標泛函在和處聯合凹的因為約束是線性的，它也是連接凹的，這并不需要檢驗因此我們可以得出結論，泛函的確取得最大四、有一個自由端點的最優(yōu)控制原理 涉及一個有限時間域的連續(xù)時間和一個自由端點的最優(yōu)控制問題的一般格式是 (21

6、9)滿足 自由這里，積分上限不確定假定存在一個內部解，前兩個最大條件保持不變，但第三個條件或邊界條件改變：1 2(a) (b)3(a) (b)這里，最后的一個條件稱為自由端點的橫截條件橫截條件的合理性可以從我們凹規(guī)劃中學到的直接得來如果在的值自由變化，約束一定是松弛的，且影子價格在的值必須為零，即例3 用上述條件來求解下面的包含自由端點的最優(yōu)控制問題： 滿足 自由解：A 從(211)，構造哈密頓函數為：B 假定一個內部解，應用最大化原則1 (21.10)2(a) (21. 11)(b) 但從(2110)，因此， (2112) 由最大化原理，得到兩個微分方程。由此可求解出狀態(tài)變量和共態(tài)變量積分(

7、21. 11)， (2113)把(2113)代入(2112)，積分， (2114)C 現在利用邊界條件確定積分常量1以自由端點的橫截條件開始這里代入（21. 13），因此， 共態(tài)變量 (2115)2現把代入(2114)，并應用最初的邊界條件，因此 狀態(tài)變量 (2116)D 于是控制變量可用兩種方法中任一種得到1從(2110)，由(21. 15)代入， 控制變量 (2117)2或求出(2116)的導數，并代入約束中的轉移方程， 控制變量在端點處賦值， 控制變量的最優(yōu)路徑是從(0，12)開始到(2，0)結束的線段，斜率是-6例4 例3中的充分條件可用與例2相同的方法找到。求出目標泛函的二階導數，并

8、應用行列式檢驗， 不是負定的，但由于和，它是半負定的，但是，對于半定檢 驗，我們必須以相反的順序檢驗變量兩種行列式檢驗均是半負定，目標泛函關于和是聯合凹的因為約束是線性的，它不需要檢驗，泛函取得最大五、端點的不等約束 如果狀態(tài)變量的終端值滿足不等約束，只要它不違反約束設定的值，最優(yōu)值可自由選擇如果，約束是各松弛的，則問題轉化為一個自由端點的問題因此 當如果，約束是緊的，則令，問題轉化為一個固定點問題，即 當為一致性表現，有時端點條件用類似于庫恩-塔克條件的單一式子表達，即 在實踐中，可直接解出在端點的不等約束的問題首先把它看作自由端點求解問題如果狀態(tài)變量的最優(yōu)值大于端點條件的最低要求，即如果，

9、解為所求如果，置終點值等于約束的值，即，作為固定端點問題求解該方法在例5和例6中說明。例5滿足 為了求解含不等約束的最優(yōu)控制問題，首先把它由一個自由端點的無約束問題解決這已在例3中完成，狀態(tài)變量為在終點處對(2116)式賦值，有 因為自由端點解滿足終點約束，約束是松弛的，所以解為所求解，從例3中(21.17)式有例6 改變邊值條件如下，重新求解例5， A 從例5我們知道，在自由端點條件下，最優(yōu)化后狀態(tài)變量的值是它不滿足新的端點約束這意味著約束是緊的，則我們求解固定端點的泛函最優(yōu)化問題， B 當我們把問題看成例3中自由端點問題解決時，前兩步保持不變使用最大化原理，我們有(2110)式中， (21

10、11)式中， (2112)式中， (2113)式中， (2114)式中， 現在繼續(xù)求解固定端點問題C 連續(xù)在(2114)中應用和，有接著，把，代入(2113)和(2114)，得到 共態(tài)變量 狀態(tài)變量D 可用我們熟悉的兩種方法中任一種求控制變量，再一次習慣地采用第一種從(2110)式， 例7 根據215節(jié)的規(guī)則，對終端不等式約束問題，首先優(yōu)化滿足一個自由端點的哈密頓函數對自由端點，我們令，即允許狀態(tài)變量的邊際值趨于零。事實上，這樣做意味著，只要由約束設定的最小值滿足，狀態(tài)變量對我們不再有任何價值我們只對時間內的狀態(tài)變量感興趣 但是，大多數變量有值，且我們的興趣通常會超過一些限制很窄的時界在這些情

11、況下，我們不能把狀態(tài)變量邊際值減小為零的看作自由商品我們寧愿保留狀態(tài)變量的最小值在時間之外仍有用。這意味著，最大化使其滿足由約束最小值確定的固定端點值在這些情況下，約束是緊的，如果是自由商品，我們盡量使用最少的狀態(tài)變量六、哈密頓現值 優(yōu)化控制問題經常涉及到折現，如 自由哈密頓折現或哈密頓現值為但是折現因數的出現使必要條件微分復雜化但是如果令，構成一個新的哈密頓現值 (2118)它通常更容易求解且僅需要對前面必要條件組兩處進行調整把212節(jié)的條件2(a)轉變?yōu)橄鄳墓茴D現值，有求出的導數，有令二個式子相等，并取消通常的項，整理，得到調整后的2(a)條件：第二個調整是把代入邊界條件對于自由端點的

12、橫截條件，從變?yōu)?簡言之，給出(2118)式中的哈密頓現值并假定一個內部解，最優(yōu)化的必要條件是12a) b) 3a) b)如果解不出現在端點，在第一個條件中，不需要等于零，但必須關于最大由于，使最大的的值也使最大，因為關于最大時看成一個常數21.3節(jié)的充分條件保持不變，如例9所見哈密頓現值的最大化在例8和9中討論例8滿足 自由A 建立哈密頓現值B 假定一個內部解，應用調整后的最大化原理1 (21.19) 2a) (21.20)b)從（21.19）代入，用矩陣形式表示（21.20）到（21.21）的兩個聯立一階微分方程，并用微分動力系統技術求解，或特征方程是由（19.3）式，特征根是對于，特征向量是對于，特征向量是從（19.5），特解是把通解和特解加起來，有 （21.22） （21.23）C 接下來應用邊界條件.1