1、1991年全國初中數學聯合競賽決賽試題第一試一、選擇題本題共有8個小題，每小題都給出了（A）、（B）（C）、（D）四個答案結論，其中只有一個是正確的請把正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內 設等式在實數范圍內成立，其中a，x，y是兩兩不同的實數，則的值是（A）3 ； （B）； （C）2； （D）答（ ） 如圖，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A） 10； （B）12；（C） 16； （D）18答（ ） 方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D）答（ ） 已知：（n是自然數）那么，的值是（）；（）；（）；（）答（） 若，其中為自然數，n為使得等式成立的

2、最大的自然數，則（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（） 若a，c，d是整數，b是正整數，且滿足，那么的最大值是（）；（）；（）；（）答（）=1 如圖，正方形OPQR內接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面積分別是，和，那么，正方形OPQR的邊長是（）；（）；（）2 ；（）3答（ ） 在銳角ABC中，ABC的外接圓半徑1，則（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2答（）二、填空題是平行四邊形ABCD中BC邊的中點，AE交對角線BD于G，如果BEG的面積是，則平行四邊形ABCD的面積是 已知關于x的一元二次方

3、程沒有實數解甲由于看錯了二次項系數，誤求得兩根為和；乙由于看錯了某一項系數的符號，誤求得兩根為和，那么， 3設m，n，p，q為非負數，且對一切x ，恒成立，則四邊形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，則AD = 第二試x + y，x y，x y，四個數中的三個又相同的數值，求出所有具有這樣性質的數對（x , y）二、ABC中，ABACBC，D點在BC上，E點在BA的延長線上，且BDBEAC，BDE的外接圓與ABC的外接圓交于F點（如圖）求證：BFAFCF三、將正方形ABCD分割為 個相等的小方格（n是自然數），把相對的頂點A，C染成紅色，把B，D染成藍色，其他交點任意染成紅

4、、藍兩色中的一種顏色證明：恰有三個頂點同色的小方格的數目必是偶數1992年全國初中數學聯合競賽決賽試題第一試一.選擇題本題共有8個題,每小題都給出了(A), (B), (C), (D)四個結論,其中只有一個是正確的.請把正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內.1.滿足的非負整數的個數是(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.2.若是一元二次方程的根,則判別式與平方式的關系是(A) (B)= (C); (D)不確定.3.若,則的個位數字是(A)1; (B)3; (C)5; (D)7.答( )4.在半徑為1的圓中有一內接多邊形,若它的邊長皆大于1且小于,則這個多邊形的邊數必為(A)7; (B)

5、6; (C)5; (D)4.答( )5.如圖,正比例函數的圖像與反比例函數的圖像分別相交于A點和C點.若和的面積分別為S1和S2,則S1與S2的關系是(A) (B)(C) (D)不確定答( )6.在一個由個方格組成的邊長為8的正方形棋盤內放一個半徑為4的圓,若把圓周經過的所有小方格的圓內部分的面積之和記為,把圓周經過的所有小方格的圓內部分的面積之和記為,則的整數部分是(A)0; (B)1; (C)2; (D)3.答( )7.如圖,在等腰梯形ABCD中, AB/CD, AB=2CD, ,又E是底邊AB上一點,且FE=FB=AC, FA=AB.則AE:EB等于(A)1:2 (B)1:3(C)2:5

6、 (D)3:10答( )8.設均為正整數,且,則當的值最大時,的最小值是(A)8; (B)9; (C)10; (D)11.答( )二.填空題1.若一等腰三角形的底邊上的高等于18cm,腰上的中線等15cm,則這個等腰三角形的面積等于_.2.若,則的最大值是_.3.在中,的平分線相交于點，又于點，若，則 .4.若都是正實數，且，則 .第二試一、設等腰三角形的一腰與底邊的長分別是方程的兩根，當這樣的三角形只有一個時，求的取值范圍.二、如圖，在中，是底邊上一點，是線段上一點，且.求證：.三、某個信封上的兩個郵政編碼M和N均由0，1，2，3，5，6這六個不同數字組成，現有四個編碼如下：A：320651

7、B：105263C：612305D：316250已知編碼A、B、C、D各恰有兩個數字的位置與M和N相同.D恰有三個數字的位置與M和N相同.試求：M和N.1993年全國初中數學聯合競賽決賽試題第一試一.選擇題本題共有8個小題,每小題都給出了(A), (B), (C), (D)四個結論,其中只有一個是正確的.請把正確結論的代表字母寫在題后的圓括號內.1.多項式除以的余式是(A)1; (B)-1; (C); (D);2.對于命題.內角相等的圓內接五邊形是正五邊形.內角相等的圓內接四邊形是正四邊形,以下四個結論中正確的是(A),都對 (B)對,錯 (C)錯,對. (D),都錯.3.設是實數,.下列四個

8、結論:.沒有最小值;.只有一個使取到最小值;.有有限多個(不止一個)使取到最大值;.有無窮多個使取到最小值.其中正確的是(A) (B) (C) (D)4.實數滿足方程組其中是實常數,且,則的大小順序是(A); (B);(C); (D).5.不等式的整數解的個解(A)等于4 (B)小于4 (C)大于5 (D)等于56.在中,則的值是(A) (B)(C) (D).答( )7.銳角三角ABC的三邊是a, b, c,它的外心到三邊的距離分別為m, n, p,那么m:n:p等于(A); (B)(C) (D).答( )8.可以化簡成(A); (B) (C) (D)答( )二.填空題1. 當x變化時,分式的

9、最小值是_.2.放有小球的1993個盒子從左到右排成一行,如果最左面的盒里有7個小球,且每四個相鄰的盒里共有30個小球,那么最右面的盒里有_個小球.3.若方程有四個非零實根,且它們在數軸上對應的四個點等距排列,則=_.4.銳角三角形ABC中,.以BC邊為直徑作圓,與AB, AC分別交于D, E,連接DE, 把三角形ABC分成三角形ADE與四邊形BDEC,設它們的面積分別為S1, S2,則S1:S2=_.第二試一.設H是等腰三角形ABC垂心,在底邊BC保持不變的情況下讓頂點A至底邊BC的距離變小,這時乘積的值變小,變大,還是不變?證明你的結論.二.中, BC=5, AC=12, AB=13, 在

10、邊AB ,AC上分別取點D, E, 使線段DE將分成面積相等的兩部分.試求這樣的線段DE的最小長度.三.已知方程分別各有兩個整數根及,且.(1)求證:(2)求證:;(3)求所有可能的值.1994年全國初中數學聯賽試題第一試(4月3日上午8：309：30)考生注意：本試共兩道大題，滿分80分.一、選擇題（本題滿分48分，每小題6分）本題共有8個小題都給出了A，B、C，D，四個結論，其中只有一個是正確的，請把你認為正確結論的代表字母寫在題后答案中的圓括號內，每小題選對得6分；不選、選錯或選出的代表字母超過一個（不論是否寫在圓括號內），一律得0分.答( )2設a,b,c是不全相等的任意實數，若x=a

11、2-bc,y=b2-ca,z=c2-ab,則x,y,zA都不小于0 B都不大于0C至少有一個小0于D至少有一個大于0答( )3如圖1所示，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC，CD，DA相切，若BC=2，DA=3，則AB的長A等于4B等于5C等于6D不能確定答( )A1 B-1 C22001 D-22001答( )5若平行直線EF，MN與相交直線AB，CD相交成如圖2所示的圖形，則共得同旁內角A4對B8對C12對D16對答( ) 答( )7設銳角三角形ABC的三條高AD，BE，CF相交于H。若BC=a,AC=b,AB=c,則AHAD+BHBE+CHCF的值是答( )A100

12、1 B1001,3989C1001,1996 D1001,1996,3989 答( )二、填空題（本題滿分32分，每小題8分）各小題只要求在所給橫線上直接填寫結果.3在ABC中，設AD是高，BE是角平分線，若BC=6，CA=7，AB=8，則DE=_.4把兩個半徑為5和一個半徑為8的圓形紙片放在桌面上，使它們兩兩外切，若要有用一個大圓形紙片把這三個圓形紙片完全蓋住，則這個大圓形紙片的最小半徑等于_.第二試(4月3日上午10：0011：30)考生注意：本試共三道大題，滿分60分.一、（本題滿分20分）如圖所示，在ABC中，AB=AC.任意延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ.求證：ABC的外

13、心O與A,P,Q四點共圓。思路一：OCPOAQCPO=AQOOAPQ四點共圓（視角定理.）思路二： PAOQBOOPA=AQOOAPQ四點共圓（視角定理.）連接OB、OA。OBA=OAB=OACPAO=QBOPA=QB AO=BOPAOQBOOPA=AQO所以O與A，P,Q,四點同園二、（本題滿分20分）周長為6，面積為整數的直角三角形是否存在？若不存在，請給出證明；若存在，請證明共有幾個？三、（本題滿分20分）某次數學競賽共有15個題.下表是對于做對n(n=0,1,2,15)個題的人數的一個統計.n012312131415做對n個題的人數78102115631如果又知其中做對4個題和4個題以

14、上的學生每人平均做對6個題，做對10個題和10個題以下的學生每人平均做對4個題.問這個表至少統計了多少人？1994年全國初中數學聯賽參考答案第一試答案一、選擇題；小題號12345678答案ADBBDCBC二、填空題：第二試提示及答案.一、連結OA，OC，OP，OQ.證明OCPOAQ，于是CPO=AQO，所以O，A，P，Q四點共圓.三、這個表至少統計了200人.1995年全國初中數學聯賽試題第一試一、選擇題1已知a355,b444,c533,則有 AabcBcba Ccab DacbA1B2 C3 D43如果方程(x1)(x22xm)0的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是4

15、如果邊長順次為25、39、52與60的四邊形內接于一圓，那么此圓的周長為 A62B63 C64D655設AB是O的一條弦，CD是O的直徑，且與弦AB相交，記MSCABSDAB，N2SOAB，則 AMN BMN CMN DM、N的大小關系不確定6設實數a、b滿足不等式a(ab)a|ab，則 Aa0且b0Ba0且b0Ca0且b0Da0且b0二、填空題1在12，22，32，952這95個數中，十位數字為奇數的數共有_個。4以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓周上的點，且OC2ACBC，則CAB_第二試一、 已知ACECDE90，點B在CE上，CACBCD，經A、C、D三點的圓交AB于F（如

16、圖）求證F為CDE的內心。二、在坐標平面上，縱坐標與橫坐標都是整數理由。三、試證：每個大于6的自然數n，都可以表示為兩個大于1且互質的自然數之和。年全國初中數學聯合競賽試題及答案年全國初中數學聯合競賽試題及答案年全國初中數學聯合競賽試題及答案年全國初中數學聯合競賽試題及答案年全國初中數學聯合競賽決賽試題及答案年全國初中數學聯合競賽決賽試題及答案答案：年全國初中數學聯合競賽決賽試題及答案答案：年全國初中數學聯合競賽一試試題及答案答案：年全國初中數學聯合競賽二試試題及答案答案：2009年全國初中數學聯合競賽試題參考答案第一試一、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）1. 設，則 （ AA.24. B

17、. 25. C. . D. .2在ABC中，最大角A是最小角C的兩倍，且AB7，AC8，則BC （ C ）A. B. . C. . D. .3用表示不大于的最大整數，則方程的解的個數為 （ C ）A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4設正方形ABCD的中心為點O，在以五個點A、B、C、D、O為頂點所構成的所有三角形中任意取出兩個，它們的面積相等的概率為 （ BA. B. . C. . D. .5如圖，在矩形ABCD中，AB3，BC2，以BC為直徑在矩形內作半圓，自點A作半圓的切線AE，則CBE （ D ）A. B. . C. . D. .6設是大于1909的正整數，使得為完全平方數的的

18、個數是 （ B ）A.3. B. 4. C. 5. D. 6.二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）1已知是實數，若是關于的一元二次方程的兩個非負實根，則的最小值是_.2 設D是ABC的邊AB上的一點，作DE/BC交AC于點E，作DF/AC交BC于點F，已知ADE、DBF的面積分別為和，則四邊形DECF的面積為_.3如果實數滿足條件，則_.4已知是正整數，且滿足是整數，則這樣的有序數對共有_7_對.第二試一（本題滿分20分）已知二次函數的圖象與軸的交點分別為A、B，與軸的交點為C.設ABC的外接圓的圓心為點P.（1）證明：P與軸的另一個交點為定點.（2）如果AB恰好為P的直徑且，求和的值.解

19、 （1）易求得點的坐標為，設，則，.設P與軸的另一個交點為D，由于AB、CD是P的兩條相交弦，它們的交點為點O，所以OAOBOCOD，則.因為，所以點在軸的負半軸上，從而點D在軸的正半軸上，所以點D為定點，它的坐標為(0,1).（2）因為ABCD，如果AB恰好為P的直徑，則C、D關于點O對稱，所以點的坐標為，即.又，所以，解得.二 （本題滿分25分） 已知ABC中，ACB90，AB邊上的高線CH與ABC的兩條內角平分線 AM、BN分別交于P、Q兩點.PM、QN的中點分別為E、F.求證：EFAB.解 因為BN是ABC的平分線，所以.又因為CHAB，所以，因此.又F是QN的中點，所以CFQN，所以

20、，因此C、F、H、B四點共圓.又，所以FCFH，故點F在CH的中垂線上.同理可證，點E在CH的中垂線上.因此EFCH.又ABCH，所以EFAB.三（本題滿分25分）已知為正數，滿足如下兩個條件： 是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內角.解法1 將兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90.解法2 結合式，由式可得，變形，得 又由式得，即，代入式，得，即.，所以或或.結合式可得或或.因此，以為三邊長可構成一個直角三角形，它的最大內角為90.2010年全國初中數學聯合競賽試題參考答案第一試一、選擇題：

21、（本題滿分42分，每小題7分）1. 若均為整數且滿足，則 （ B ）A1. B2. C3. D4.2若實數滿足等式，則可能取的最大值為 （ C ）A0. B1. C2. D3.3若是兩個正數，且 則 （ C ）A. B. C. D.4若方程的兩根也是方程的根，則的值為 （ A ）A13. B9. C6. D 0.5在中，已知，D，E分別是邊AB，AC上的點，且，,則 ( B )A15. B20. C25. D30.6對于自然數，將其各位數字之和記為，如， （ D ）A28062. B28065. C28067. D28068.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實數滿足方程組則 1

22、3 .2二次函數的圖象與軸正方向交于A，B兩點，與軸正方向交于點C已知，則 3在等腰直角ABC中，ABBC5，P是ABC內一點，且PA，PC5，則PB_4將若干個紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現，且任意中間夾有5個或10個球的兩個球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_15_個球.第二試 （A）一（本題滿分20分）設整數（）為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個數.解 由已知等式可得 令，則，其中均為自然數.于是，等式變為，即 由于均為自然數，判斷易知，使得等式成立的只有兩組：和（1）當時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角

23、形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對應可得到5個符合條件的三角形.（2）當時，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因為三角形的周長不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對應可得到6個符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個數為5611.二（本題滿分25分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，C的平分線與AB邊交于點P，M為ABC的內切圓I與BC邊的切點，作MD/AC，交I于點D.證明：PD是I的切線.證明 過點P作I的切線PQ（切點為Q）并延長，交BC于點N.因為CP為ACB的平分線，所以ACPBCP.又因為PA、PQ均為I的切線，所以APCNPC.又CP公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由NMQN，BABC，所以QNMBAC，故NMQACB，所以MQ/AC.又因為MD/AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點Q、D均在I上，所以點Q和點D重合，故PD是I的切線.三（本題滿分25分）已知二次函數的圖象經過兩點P，Q.（1）如果都是整數，且，求的值.（2）設二次函數的圖象與軸的交點為A、B，與軸的交點為C.如果關于的方程的兩個根都是整數，求ABC的面積.解 點P、Q在二次函數的圖象上，故，解得，.（1）由知解得.又為整數，所以，.(2) 設是方程的