1、車燈線光源的優化設計模型一. 假設和簡化 反射點的切平面反射向量與z軸的夾角:線光源的功率其它符號均沿用題目所示二. 模型的建立建立坐標系如下圖，記線光源長度為l ，功率為，B,C點的光強度分別為和，建立整個問題的數學模型。以下均以毫米為單位，由所給信息不難求出車燈反射面方程為，焦點坐標為。 I、模型分析位于點的單位能量的點光源反射到點C(0, 2600, 25015)的能量設反射點的坐標為。記入射向量為，該點反射面外法線方向為，可以得到反射向量滿足與向量共線.記,由從而得的表達式 由反射向量滿足與向量共線,應有 其中為常數。從上述(1)、（4）式可解得或.由得反射點坐標滿足以下兩組方程: 計

2、算上面式子可知,存在,當時方程組（7）不存在滿足的實根，即無反射點。而當時，有兩個反射點. 而第二組方程僅當時存在滿足的一對實根，即有兩個反射點記為. 若反射點的坐標為,則位于點的單位能量點光源經點反射到C點的能量密度(單位面積的能量, 正比于光強度)為 其中 II、計算能量密度長的具有單位能量的線光源位于點的長的微小線光源段反射到C點的能量密度為 其中 那么，長的具有單位能量的線光源反射到C點的能量密度為 (15) 同理可得的表達式.相應的反射點方程為相應的而第二組方程的有兩個反射點的范圍為 若設線光源的功率為,則它反射到B點和C點的能量密度分別為和應滿足 且。三. 模型求解由于很難進行代數

3、積分，因此計算時，可以計算其數值積分。顯然應具備下列性質：其中為起亮值，為最大值點，為考察的最大范圍。也有同樣的性質，且起亮值和最大值點均相應地右移.數值求解,解記為,再求出,顯然有且。 取，即為問題的最優值。現在作簡單的說明。對于可行域中的任意一個點，當有（用到，減少）。當，有，（用到, 增加）。這就說明了的確是最小值。 計算數值結果為。對于本題可以建立連續和離散兩種模型。前者可以將本題抽象成一個非線性規劃問題，但是求解的過程比較復雜，很容易陷入局部極小值的情況，而且對于問題第二問的求解沒什么幫助，但是優點是如果初值取的好可以很精確的求出本題的結果。后者的優點是對于算法而言不是很復雜，求解結

4、果很快，同時可以很方便的解決問題第二問，但是求解得到的結果不是很精確，而且只能給出數值解，并且將光離散成光線以后就不能體現光在傳播過程中的散射。在對本題研究中我們發現在各參賽隊的論文中出現了許多不同的模型和不同的方法。這充分顯示出建模競賽題的開放性,更體現了競賽對學生思維的開發和激勵。有些同學考慮了兩部分光線,即直射部分了反射部分,通過兩部分的疊加,從而求出屏幕上B,C兩點的光強這樣做更符合實際情況。有些同學則是將直射部分忽略，這樣做更容易求解。在求解過程中，有同學直接根據線光源上的點與反射點和屏幕上成像點的位置關系求出其函數表達式。雖然這樣求解更精確但是實際操作很困難。另一部分同學則是將線光

5、源看成是許多點光源組成，這樣就變成求解各點在屏幕上的光強。當線光源分成一定數量的點光源時，屏幕上各點的光強就很接近實際的光強，但這樣需要進行大量的計算，不過這是計算機軟件的模擬起到非常大的作用。各個參賽隊的模型不乏獨到之處。有些參賽隊采用光線跟蹤模型，用計算反射到B，c兩點各自領域中的光線條數來決定領域中接受到的反射光的功率。考慮到均勻分布的光線由于反射點距離和反射方向的不同，因而具有不同的反射功率，他們巧妙地改變光線的分布，使每條光線反射的能量基本相同，大大地減少了數值模擬的誤差。有些參賽隊采用逆向思維的方式，注意到反射光線光程的可逆性，他們在跟蹤光線或分析反射點軌跡時，不是從光源上的點發出光線，而是從測試屏上的B，C點出發考慮問題。這一方法，在某些情況下可簡化問題，減少計算量。有些參賽隊將光線跟蹤法和分析反射點軌跡的方法結合起來，他們將B，C兩點處的反射光功率之比視作能從線光源上任何點發射的能反射到這兩點的光線數總和之比，于是將問題歸結為反射面上可將光源反射到B點和C點的反射點的軌跡的測度之比。此法雖有忽略反射點不同反射的能量也不