1、2017年江西省九江市高考數學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復數為純虛數（i虛數單位），則實數a=（）A1B1C2D22已知集合M=x|x21，N=x|log2x1，則MN=（）A1，2）B1，1C（0，1D（，2）3設等比數列an的前n項和為Sn，且滿足a6=8a3，則=（）A4B5C8D94擲一枚均勻的硬幣4次，出現正面向上的次數不少于反面向上的次數的概率為（）ABCD5若雙曲線mx2+2y2=2的虛軸長為4，則該雙曲線的焦距為（）ABCD6已知函數f（x）=，給出下列兩個命題：命題p：m（，

2、0），方程f（x）=0有實數解；命題q：當m=時，f（f（1）=0，則下列命題為真命題的是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）7函數f（x）=（1cosx）sinx，x2，2的圖象大致是（）ABCD8如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某一無上蓋幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A39B48C57D639 公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了“割圓術”利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14，這就是著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出n

3、的值為（）（參考數據：1.732，sin15°0.2588，sin7.5°0.1305）A12B24C36D4810設x，y滿足約束條件，若z=ax+2y僅在點（，）處取得最大值，則a的值可以為（）A8B4C4D811在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的上下頂點分別為A，B，右頂點為C，右焦點為F，延長BF及AC交于點P，若O，F，P，A四點共圓，則該橢圓的離心率為（）ABCD12已知函數f（x）=，若關于x的不等式f2（x）+af（x）0恰有兩個整數解，則實數a的取值范圍是（）A（，）B，）C（，D（1，二、填空題已知為單位向量，若|+|=|，則在+方向上的投影為14二項

4、式（x3）6的展開式中含x2項的系數是15已知A，B，C是球O的球面上三點，若三棱錐OABC體積的最大值為1，則球O的體積為16已知數列an為等差數列，a1=1，an0，其前n項和為Sn，且數列也為等差數列，設bn=，則數列bn的前n項和Tn=三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（12分）在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3b=4c，B=2C（）求sinB的值；（）若b=4，求ABC的面積18（12分）在高三一次數學測驗后，某班對選做題的選題情況進行了統計，如表坐標系及參數方程不等式選講人數及均分人數均分 人數 均分男同學1

5、4867女同學812（）求全班選做題的均分；（）據此判斷是否有90%的把握認為選做坐標系及參數方程或不等式選講及性別有關？（）已知學習委員甲（女）和數學科代表乙（男）都選做不等式選講若在不等式選講中按性別分層抽樣抽取3人，記甲乙兩人被選中的人數為，求的數學期望參考公式：，n=a+b+c+d下面臨界值表僅供參考：P（K2k0）k019（12分）如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，將AED，DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A，O為AD的中點，連接EF，EO，FO（）求證：ADEF；（）求直線BD及平面OEF所成角的正弦值20（12分）如圖所示，拋

6、物線C：y2=2px（p0）的焦點為F，過點F且斜率存在的直線l交拋物線C于A，B兩點，已知當直線l的斜率為1時，|AB|=8（）求拋物線C的方程；（）過點A作拋物線C的切線交直線x=于點D，試問：是否存在定點M在以AD為直徑的圓上？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由21（12分）設函數f（x）=e2x，g（x）=kx+1（kR）（）若直線y=g（x）和函數y=f（x）的圖象相切，求k的值；（）當k0時，若存在正實數m，使對任意x（0，m），都有|f（x）g（x）|2x恒成立，求k的取值范圍請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.選修4-4：坐標系及參數方

7、程22（10分）在直角坐標系xOy中，已知直線l：（t為參數）及橢圓C：（為參數）相交于不同的兩點A，B（）若，求線段AB中點M的坐標；（）若，其中為橢圓的右焦點P，求直線l的斜率選修4-5：不等式選講23已知函數f（x）=2|x1|a，g（x）=|x+m|（a，mR），若關于x的不等式g（x）1的整數解有且僅有一個值為3（）求實數m的值；（）若函數y=f（x）的圖象恒在函數y=g（x）的圖象上方，求實數a的取值范圍2017年江西省九江市高考數學一模試卷（理科）參考答案及試題解+析一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1已知復

8、數為純虛數（i虛數單位），則實數a=（）A1B1C2D2【考點】復數代數形式的乘除運算【分析】利用復數的運算法則、純虛數的定義即可得出【解答】解：為純虛數，=0，0，a=1，故選：B【點評】本題考查了復數的運算法則、純虛數的定義，考查了推理能力及計算能力，屬于基礎題2已知集合M=x|x21，N=x|log2x1，則MN=（）A1，2）B1，1C（0，1D（，2）【考點】交集及其運算【分析】解不等式求出集合M，求函數定義域得出集合N，再根據交集的定義寫出MN【解答】解：集合M=x|x21=x|1x1，N=x|log2x1=x|0x2，則MN=x|0x1故選：C【點評】本題考查了集合的化簡及運算問

9、題，是基礎題目3設等比數列an的前n項和為Sn，且滿足a6=8a3，則=（）A4B5C8D9【考點】等比數列的前n項和【分析】由a6=8a3，利用等比數列項公式q=2，由此能求出【解答】解：等比數列an的前n項和為Sn，且滿足a6=8a3，=q3=8，解得q=2，=1+q3=9故選：D【點評】本題考查等差數列的前6項和及前3項和的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的合理運用4擲一枚均勻的硬幣4次，出現正面向上的次數不少于反面向上的次數的概率為（）ABCD【考點】古典概型及其概率計算公式【分析】先求出基本事件總數n=24=16，再求出出現正面向上的次數不少于反面向上的次數包含的

10、基本事件個數，由此能求出出現正面向上的次數不少于反面向上的概率【解答】解：擲一枚均勻的硬幣4次，基本事件總數n=24=16，出現正面向上的次數不少于反面向上的次數包含的基本事件個數為：m=11，出現正面向上的次數不少于反面向上的概率P=故選：D【點評】本題考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意等可能事件概率計算公式的合理運用5若雙曲線mx2+2y2=2的虛軸長為4，則該雙曲線的焦距為（）ABCD【考點】雙曲線的簡單性質【分析】根據題意，將雙曲線的方程變形可得，由雙曲線的幾何性質，分析可得，代入雙曲線的方程可得雙曲線的標準方程，計算可得c的值，由焦距的定義即可得答案【解答】解：根據題意

11、，雙曲線的方程為：mx2+2y2=2，變形可得，又由其虛軸長為4，則有，即，則雙曲線的標準方程為：y2=1，其中c=，則雙曲線的焦距2c=，故選A【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是利用雙曲線的標準方程，求出m的值6已知函數f（x）=，給出下列兩個命題：命題p：m（，0），方程f（x）=0有實數解；命題q：當m=時，f（f（1）=0，則下列命題為真命題的是（）ApqB（p）qCp（q）D（p）（q）【考點】命題的真假判斷及應用【分析】根據已知中的分段函數，分別判斷命題p，q的真假，進而根據復合命題真假判斷的真值表，可得答案【解答】解：函數f（x）=，當x0時，f（x）=2x（0，1），不存

12、在滿足f（x）=0的x值；當x0時，f（x）=0時，m=x20，+），故命題p為假命題當m=時，f（f（1）=f（）=0命題q為真命題，故命題pq，p（q），（p）（q）均為假命題，（p）q為真命題，故選B【點評】本題以命題的真假判斷及應用為載體，考查了復合命題，分段函數的圖象和性質，難度中檔7函數f（x）=（1cosx）sinx，x2，2的圖象大致是（）ABCD【考點】函數的圖象【分析】利用排除法，即可求解【解答】解：函數f（x）為奇函數，故排除B又x（0，）時，f（x）0，故排除D又f（）=1，故排除A故選C【點評】本題考查函數的圖象，考查排除法的運用，屬于中檔題8如圖所示，網格紙上小正方

13、形的邊長為1，粗線畫出的是某一無上蓋幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A39B48C57D63【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體為圓柱中挖去一個圓錐，畫出直觀圖，數形結合可得答案【解答】解：該幾何體直觀圖為圓柱中挖去一個圓錐，如圖所示，該幾何體的表面積為S=48，故選B【點評】本題考查的知識點是圓柱的體積和表面積，圓錐的體積和表面積，簡單幾何體的三視圖，難度中檔9 公元263年左右，我國數學家劉徽發現當圓內接正多邊形的邊數無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創立了“割圓術”利用“割圓術”劉徽得到了圓周率精確到小數點后兩位的近似值3.14，這就是

14、著名的“徽率”如圖是利用劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，則輸出n的值為（）（參考數據：1.732，sin15°0.2588，sin7.5°0.1305）A12B24C36D48【考點】程序框圖【分析】列出循環過程中S及n的數值，滿足判斷框的條件即可結束循環【解答】解：模擬執行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不滿足條件S3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不滿足條件S3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，滿足條件S3.10，退出循環，輸出n的值為24

15、故選：B【點評】本題考查循環框圖的應用，考查了計算能力，注意判斷框的條件的應用，屬于基礎題10設x，y滿足約束條件，若z=ax+2y僅在點（，）處取得最大值，則a的值可以為（）A8B4C4D8【考點】簡單線性規劃【分析】畫出約束條件的可行域，求出頂點坐標，利用z=ax+2y僅在點（，）處取得最大值，利用斜率關系求解即可【解答】解：如圖所示，約束條件所表示的區域為圖中陰影部分：其中A（1，0），B（，），C（1，4），依題意z=ax+2y僅在點（，）處取得最大值，可得，即，a4故選：D【點評】本題考查線性規劃的應用，利用z的幾何意義，通過數形結合是解決本題的關鍵11在平面直角坐標系xOy中，已知

16、橢圓的上下頂點分別為A，B，右頂點為C，右焦點為F，延長BF及AC交于點P，若O，F，P，A四點共圓，則該橢圓的離心率為（）ABCD【考點】橢圓的簡單性質【分析】由O，F，P，A四點共圓得，即ACBP，b2=ac，e2+e1=0【解答】解：如圖所示，O，F，P，A四點共圓，即ACBP，b2=ac，a2c2=ac，e2+e1=0，故選C【點評】本題考查了橢圓的離心率，運用平面幾何知識及橢圓定義是解題關鍵，屬于基礎題12已知函數f（x）=，若關于x的不等式f2（x）+af（x）0恰有兩個整數解，則實數a的取值范圍是（）A（，）B，）C（，D（1，【考點】利用導數研究函數的單調性【分析】求出原函數的

17、導函數，得到函數f（x）的單調區間，再由f2（x）+af（x）0求得f（x）的范圍，結合函數f（x）的單調性可得使不等式f2（x）+af（x）0恰有兩個整數解的實數a的取值范圍【解答】解：f（x）=，f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+）上單調遞減，當a0時，f2（x）+af（x）0f（x）a或f（x）0，此時不等式f2（x）+af（x）0有無數個整數解，不符合題意；當a=0時，f2（x）+af（x）0f（x）0，此時不等式f2（x）+af（x）0有無數個整數解，不符合題意；當a0時，f2（x）+af（x）0f（x）0或f（x）a，要使不等式f2（x）+af（x）0恰有兩個整數解，必須滿

18、足f（3）af（2），得a，故選：C【點評】本題考查利用導數研究函數的單調性，考查一元二次不等式的解法，體現了分類討論的數學思想方法，屬中檔題二、填空題（2017九江一模）已知為單位向量，若|+|=|，則在+方向上的投影為【考點】平面向量數量積的運算【分析】由|+|=|得出，再由、是單位向量得出及+的夾角為45°，由投影的定義寫出運算結果即可【解答】解：為單位向量，且|+|=|，化簡得=0，及+的夾角為45°，在+方向上的投影為|cos45°=1×=故答案為：【點評】本題考查了平面向量的數量積及投影的定義和應用問題，是基礎題目14二項式（x3）6的展開式

19、中含x2項的系數是192【考點】二項式系數的性質【分析】利用二項式展開式的通項公式，令x的指數等于2，求出r的值，即可求出展開式中含x2項的系數【解答】解：二項式（x3）6展開式的通項公式為：Tr+1=（x3）6r=（2）rx184r，令184r=2，得r=5，展開式中含x2項的系數是：（2）5=192故答案為：192【點評】本題考查了二項式展開式通項公式的應用問題，是基礎題目15已知A，B，C是球O的球面上三點，若三棱錐OABC體積的最大值為1，則球O的體積為8【考點】球的體積和表面積【分析】當點C位于垂直于面AOB的直徑端點且AOB=90°時，三棱錐OABC的體積最大，利用三棱錐

20、OABC體積的最大值為1，求出半徑，即可求出球O的體積【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點且AOB=90°時，三棱錐OABC的體積最大，設球O的半徑為R，此時VOABC=VCAOB=1，R3=6，則球O的體積為=8故答案為8【點評】本題考查球的半徑，考查體積的計算，確定點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐OABC的體積最大是關鍵16已知數列an為等差數列，a1=1，an0，其前n項和為Sn，且數列也為等差數列，設bn=，則數列bn的前n項和Tn=1【考點】數列的求和【分析】設等差數列an的公差為d（d0），數列為等差數列，取前3項成等差數列，解方程可得d=2

21、，運用等差數列的通項公式和求和公式，可得an，求得bn=，運用數列的求和方法：裂項相消求和，化簡整理即可得到所求和【解答】解：設等差數列an的公差為d（d0），成等差數列，解得d=2，an=1+（n1）×2=2n1，Sn=n2， =n，故數列為等差數列，bn=則前n項和Tn=+=1故答案為：1【點評】本題考查等差數列的通項公式和求和公式的運用，考查數列的求和方法：裂項相消求和，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題，三、解答題（本大題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17（12分）（2017九江一模）在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3b

22、=4c，B=2C（）求sinB的值；（）若b=4，求ABC的面積【考點】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知及二倍角的正弦函數公式，正弦定理得6sinCcosC=4sinC，由于sinC0，可求cosC，進而可求sinC，sinB的值（）解法一：由已知可求c，利用二倍角的余弦函數公式可求cosB，利用三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式可求sinA，進而利用三角形面積公式即可得解；解法二：由已知可求c，由余弦定理解得a，分類討論，利用三角形面積公式即可計算得解【解答】解：（）由3b=4c及正弦定理得3sinB=4sinC，B=2C，3sin2C=4sinC，即6sinCcosC=4sinC，

23、C（0，），sinC0，cosC=，sinC=，sinB=sinC=（）解法一：由3b=4c，b=4，得c=3且cosB=cos2C=2cos2C1=，sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+（）×=，SABC=bcsinA=解法二：由3b=4c，b=4，得c=3，由余弦定理c2=a2+b22abcosC，得32=a2+422a×，解得a=3或a=，當a=3時，則ABC為等腰三角形A=C，又A+B+C=180°，得C=45°，及cosC=矛盾，舍去，a=，SABC=absinC=【點評】本題主要考查了二倍角的正弦函數公式，正弦定

24、理，二倍角的余弦函數公式，三角形內角和定理，兩角和的正弦函數公式，三角形面積公式在解三角形中的應用，考查了轉化思想和分類討論思想，屬于基礎題18（12分）（2017九江一模）在高三一次數學測驗后，某班對選做題的選題情況進行了統計，如表坐標系及參數方程不等式選講人數及均分人數均分 人數 均分男同學14867女同學812（）求全班選做題的均分；（）據此判斷是否有90%的把握認為選做坐標系及參數方程或不等式選講及性別有關？（）已知學習委員甲（女）和數學科代表乙（男）都選做不等式選講若在不等式選講中按性別分層抽樣抽取3人，記甲乙兩人被選中的人數為，求的數學期望參考公式：，n=a+b+c+d下面臨界值表

25、僅供參考：P（K2k0）k0【考點】獨立性檢驗的應用；離散型隨機變量的期望及方差【分析】（）根據表中數據，計算全班選做題的平均分即可；（）由表中數據計算觀測值，對照臨界值表得出結論；（）計算學習委員甲被抽取的概率和數學科代表乙被抽取的概率，從而得出甲乙兩人均被選中的概率【解答】解：（）根據表中數據，計算全班選做題的平均分為=×（14×8+8×+6×7+12×5.5）=6.8（）由表中數據計算觀測值：=2.706，所以，據此統計有90%的把握認為選做坐標系及參數方程或不等式選講及性別有關（）學習委員甲被抽取的概率為，設不等式選講中6名男同學編號為

26、乙，1，2，3，4，5；從中隨機抽取2人，共有15種抽法：乙及1，乙及2，乙及3，乙及4，乙及5，1及2，1及3，1及4，1及5，2及3，2及4，2及5，3及4，3及5，4及5，數學科代表乙被抽取的有5種：乙及1，乙及2，乙及3，乙及4，乙及5，數學科代表乙被抽取的概率為=，甲乙兩人均被選中的概率為×=【點評】本題考查了對立性檢驗和列舉法計算古典概型的概率問題，是基礎題目19（12分）（2017九江一模）如圖所示，在邊長為2的正方形ABCD中，點E，F分別是AB，BC的中點，將AED，DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A，O為AD的中點，連接EF，EO，FO（）求證：A

27、DEF；（）求直線BD及平面OEF所成角的正弦值【考點】直線及平面所成的角；空間中直線及直線之間的位置關系【分析】（）通過證明A'DA'E，A'DA'F，推出A'D平面A'EF，然后證明A'DEF（）說明A'EA'F，A'D平面A'EF，以A'E，A'F，A'D為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系A'xyz，求出相關點的坐標，求出平面OEF的一個法向量，然后利用空間向量的數量積求解直線BD及平面OEF所成角的正弦值即可【解答】解：（）在正方形ABCD中，有ADAE，CD

28、CF則ADAE，ADAF（4分）又AEAF=AAD平面AEF（6分）而EF平面AEF，ADEF（）正方形ABCD的邊長為2，點E是AB的中點，點F是BC的中點，BE=BF=AE=AF=1EF=，AE2+AF2=EF2，AEAF由（）得AD平面AEF，分別以AE，AF，AD為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，（9分）則A（0，0，0），F（1，0，0），E（0，1，0），D（0，0，2），設EF及BD相交于G，則G為EF的中點，O（0，0，1），G（，0），=（0，1，1），=（1，0，1），=（，2），設平面OEF的一個法向量為=（x，y，z），則由，可取=（1，1，1），令直

29、線DG及平面OEF所成角為，sin=，直線BD及平面OEF所成角的正弦值【點評】本題考查空間向量數量積的應用，直線及平面所成角的求法，直線及平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及邏輯推理能力20（12分）（2017九江一模）如圖所示，拋物線C：y2=2px（p0）的焦點為F，過點F且斜率存在的直線l交拋物線C于A，B兩點，已知當直線l的斜率為1時，|AB|=8（）求拋物線C的方程；（）過點A作拋物線C的切線交直線x=于點D，試問：是否存在定點M在以AD為直徑的圓上？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由【考點】直線及拋物線的位置關系【分析】（）由題意設出直線l的方程，及拋物線方程聯

30、立，再由拋物線的焦點弦長公式列式求得p，則拋物線方程可求；（）設出A的坐標，得到過A點的切線方程，及拋物線方程聯立，利用判別式等于0把切線的斜率用A的縱坐標表示，進一步求得D點坐標，得到以AD為直徑的圓的方程，從而得到存在定點M（1，0）在以AD為直徑的圓上【解答】解：（）由題意可得，直線l的方程為y=x，聯立方程，消去y整理得，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=3p，故|AB|=x1+x2+p=4p=8，p=2，拋物線C方程為y2=4x；（）由（）知，直線x=即x=1，A（）（y10），設切線方程為，聯立方程，消去x得：，=，即k=，切線方程為，則4x，令x=1，得，即D（

31、1，），以AD為直徑的圓為，由拋物線的對稱性，若以AD為直徑的圓經過定點，則此定點一定在x軸上，令y=0，得，得x=1，故存在定點M（1，0）在以AD為直徑的圓上【點評】本題考查拋物線的簡單性質，考查直線及圓、直線及拋物線位置關系的應用，考查計算能力，屬中檔題21（12分）（2017九江一模）設函數f（x）=e2x，g（x）=kx+1（kR）（）若直線y=g（x）和函數y=f（x）的圖象相切，求k的值；（）當k0時，若存在正實數m，使對任意x（0，m），都有|f（x）g（x）|2x恒成立，求k的取值范圍【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程【分析】（）設切線的坐標

32、為（t，e2t），得到（12t）e2t=1，令h（x）=（1x）ex，根據函數的單調性求出k的值即可；（）通過討論k的范圍，結合對任意x（0，m），都有|f（x）g（x）|2x恒成立以及函數的單調性求出對應的函數的單調區間，求出k的具體范圍即可【解答】解：（）設切線的坐標為（t，e2t），由f（x）=e2x得f（x）=2e2x，切線方程為ye2t=2e2t（xt），即y=2e2tx+（12t）e2t，由已知y=2e2tx+（12t）e2t和y=kx+1為同一條直線，2e2t=k，（12t）e2t=1，令h（x）=（1x）ex，則h（x）=xex，當x（，0）時，h（x）0，h（x）單調遞增，當

33、x（0，+）時，h（x）0，h（x）單調遞減，h（x）h（0）=1，當且僅當x=0時等號成立，t=0，k=2，（）當k2時，由（）知：存在x0，使得對于任意x（0，x0），都有f（x）g（x），則不等式|f（x）g（x）|2x等價于g（x）f（x）2x，即（k2）x+1e2x0，設t（x）=（k2）x+1e2x，t（x）=k22e2x，由t（x）0，得：xln，由t（x）0，得：xln，若2k4， ln0，（0，x0）（ln，+），t（x）在（0，x0）上單調遞減，注意到t（0）=0，對任意x（0，x0），t（x）0，及題設不符，若k4， ln0，（0， ln）（，ln），t（x）在（0， ln）上單調遞增，t（0）=0，對任意x（0， ln），t（x）0，符合題意，此時取0mminx0， ln，可得對任意x（0，m），都有|f（x）g（x）|2x，當0k2時，由（）知e2x（2x+1）0，（x0），f（x）g（x）=e2x（2x+1）+（2k）x（2k）x0對任意x0都成立，|f（x）g（x）|2x等價于e2x（k+2）x10，設（x）=e2x（k+2）x1，則（x）=2e2x（k+2）