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文檔簡介
1、精選優質文檔-傾情為你奉上概率論與數理統計課后習題解答習題一3設,表示三個事件,用,的運算關系表示下列各事件:(1)發生,與不發生;(2)與都發生,而不發生;(3),都發生;(4),都不發生;(5),中至少有一個發生;(6),中恰有一個發生;(7),中至少有兩個發生;(8),中最多有一個發生.解:(1); (2); (3); (4);(5); (6); (7);(8)或5在房間里有個人,分別佩戴從號到號的紀念章,任選人記錄其紀念章的號碼(1)求最小的號碼為的概率;(2)求最大的號碼為的概率.解:設事件表示“最小的號碼為”,事件表示“最大的號碼為”,由概率的古典定義得(1);(2)6一批產品共有
2、件,其中有件廢品,求:(1)任取件產品恰有件是廢品的概率;(2)任取件產品沒有廢品的概率;(3)任取件產品中廢品不少于件的概率.解:設事件表示“取出的件產品中恰有件廢品”,由概率的古典定義得(1);(2);(3)8從,這十個數字中任意取出三個不同的數字,求下列事件的概率:表示“這三個數字中不含和”;表示“這三個數字中包含或”;表示“這三個數字中含但不含”解:由概率的古典定義得;9已知,,求和解:10已知,求解:11某種品牌電冰箱能正常使用年的概率為,能正常使用年的概率為,現某人購買的該品牌電冰箱已經正常使用了年,問還能正常用到年的概率是多少?解:設事件分別表示“該品牌電冰箱能正常使用10,15
3、年”,依題可知,則所求的概率為12某人忘記了電話號碼的最后一個數字,因而他隨意地撥最后一個號碼(1)求他撥號不超過三次而接通的概率;(2)若已知最后一個數字是奇數,那么他撥號不超過三次而接通的概率又是多少?解:設事件分別表示“他撥號不超過三次而接通”,事件分別表示“最后一個數字是奇數”,則所求的概率為(1)(2)13一盒里有個電子元件,其中有個正品,個次品.從中每次抽取一個,不放回地連續抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率解:設事件表示“第次取得次品”(),則所求的概率為 14一倉庫中有箱同種規格的產品,其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有箱、箱、箱,三廠產品的次品率依次為
4、,從這箱中任取 一箱,再從這箱中任取一件產品,求取得正品的概率解:設事件分別表示“產品是甲,乙,丙廠生產的”,事件表示“產品是正品”,顯然,事件構成一個完備事件組,且由全概率公式得15甲、乙、丙三門高炮同時獨立地各向敵機發射一枚炮彈,它們命中敵機的概率都是.飛機被擊中彈而墜毀的概率為,被擊中彈而墜毀的概率為,被擊中彈必定墜毀.(1)求飛機墜毀的概率;(2)已知飛機已經墜毀,試求它在墜毀前只被命中彈的概率.解:設事件表示“飛機被擊中彈而墜毀”,事件表示“飛機墜毀”,顯然,事件構成一個完備事件組,由二項概率公式計算得 (1)由全概率公式得(2)由貝葉斯公式得16設甲袋中裝有個紅球,個白球;乙袋中裝
5、有個紅球,個白球.先從甲袋中任取個球放入乙袋中,然后從乙袋中任取一個球,求取到是白球的概率.解:設事件表示“從甲袋取出的個球中有個白球”,事件表示“從乙袋中取出的一個球是白球”,顯然,事件構成一個完備事件組,且,由全概率公式得17已知男子有是色盲患者,女子有是色盲患者.現在從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概率是多少?解:設事件表示“此人是男性”,事件表示“此人是色盲患者”,顯然,事件構成一個完備事件組,且,由貝葉斯公式得18設機器正常時生產合格品的概率為,當機器發生故障時生產合格品的概率為,而機器正常(即不發生故障)的概率為.某天,工人使用該機器生產的第一件
6、產品是合格品,求機器是正常的概率.解:設事件表示“該機器正?!?,事件表示“產品是合格品”,顯然,事件構成一個完備事件組,且由貝葉斯公式得19三人獨立地去破譯一個密碼,他們能夠譯出的概率分別是,問能將密碼譯出的概率是多少?解:設事件分別表示“第一人,第二人,第三人破譯出密碼”,顯然事件相互獨立,且,則所求的概率為20加工某一零件共需經過四道工序,設第一、二、三、四道工序的次品率分別是,和.假設各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.解:設事件表示“第道工序加工出次品”,顯然事件相互獨立,且,則所求的概率為21設第一個盒子里裝有個藍球,個綠球,個白球;第二個盒子里裝有個藍球,個綠球,個白球
7、.現在獨立地分別從兩個盒子里各取一個球.(1)求至少有一個藍球的概率;(2)求有一個藍球一個白球的概率;(3)已知至少有一個藍球,求有一個藍球一個白球的概率.解:設事件表示“從第一個盒子里取出的球是籃球,白球”,事件表示“從第二個盒子里取出的球是籃球,白球”,顯然事件與相互獨立,且,則所求的概率為(1);(2);(3)122設一系統由三個元件聯結而成(如圖),各個元件獨立地工作,且每個元件能正常工作的概率均為().求系統能正常工作的概率.32圖解:設事件表示“第個元件正常工作”,事件表示“該系統正常工作”,顯然,事件相互獨立,且,則所求的概率為24一批產品中有的次品,進行放回抽樣檢查,共取件樣
8、品.計算:(1)這件樣品中恰有件次品的概率;(2)這件樣品中最多有件次品的概率.解:設事件表示“該樣品是次品”,顯然,這是一個伯努利概型,其中,由二項概率公式有(1)(2)習題二2.離散型隨機變量的概率函數為:(1)(2)分別求(1)、(2)中的值。解:(1),解得;(2),解得3.對某一目標進行射擊,直到擊中為止,若每次射擊命中率為,求射擊次數的概率分布。解:設隨機變量表示“直接擊中目標時的射擊次數”,顯然,可取,故的概率分布為:4.一大樓裝有5個同類型的供水設備。調查表明在任一時刻,每個設備被使用的概率為0.1,且各個設備的使用是相互獨立的。求在同一時刻被使用的設備數的概率分布,并求在同一
9、時刻:(1)恰有2個設備被使用的概率;(2)至少有3個設備被使用的概率;(3)最多有3個設備被使用的概率;(4)至少有1個設備被使用的概率。解:設隨機變量表示“在同一時刻被使用的設備數”,顯然,其中,故的概率分布為(1)恰有2個設備被使用的概率為(2)至少有3個設備被使用的概率為(3)最多有3個設備被使用的概率為(4)至少有1個設備被使用的概率為7. 設隨機變量,當為何值時,概率取得最大值? 解:因概率取得最大值,則,即即,故8.設隨機變量的分布函數為求:(1)的概率分布。 (2)概率 。解:(1)依題可知,隨機變量可取,則的概率分布為(2)9.設隨機變量的概率密度為 求的分布函數。解:隨機變
10、量的分布函數為10.設的分布函數為求:(1)系數;(2)的概率密度;(3)概率。解:(1)由于是連續函數,有,而,故;(2)(3)11.隨機變量的概率密度為,求系數及的分布函數。解:由于,有,解得;隨機變量的分布函數為12.已知的概率密度為,求常數及解:由于,有,解得;13.隨機變量的分布函數為 求。 解:14.某種電子元件的使用壽命(單位:h)的概率密度為 求在150h內:(1)3個電子元件中沒有1個損壞的概率;(2)3個電子元件中只有1個損壞的概率;(3)3個電子元件全損壞的概率。解:設隨機變量表示“在150h內,3個電子元件中損壞的元件數”,顯然,其中,(1)3個電子元件中沒有1個損壞的
11、概率為:;(2)3個電子元件中只有1個損壞的概率為:;(3)3個電子元件全損壞的概率為:15.一個袋內裝有5個白球,3個紅球。第一次從袋內任意取一個球,不放回,第二次又從袋內任意取兩個球,表示第次取到的白球數()。求(1)的聯合概率分布及邊緣概率分布;(2),。解:(1)依題可知,隨機變量可取,隨機變量可取,而 ()則的聯合概率分布,與的邊緣概率分布分別為012011(2)16.設與相互獨立,證明:對任意實數,事件與事件相互獨立。解:因與相互獨立,則,而故事件與事件相互獨立。17.設二維隨機變量的聯合概率密度為 求:(1)常數;(2);(3);(4)。解:(1)由于,有,解得;(2);(3);
12、(4)18.設二維隨機變量的聯合概率密度為 則稱在圓域上服從均勻分布。試判斷與是否相互獨立。解:同理,顯然,故與不獨立。習題三1 甲乙兩臺機器一天中出現次品的概率函數分別為01230.40.30.20.101230.30.50.20若兩臺機器的日產量相同,問哪臺機器較好?解:依題有,顯然,即甲機器的平均次品數比乙機器的平均次品數大,故乙機器較好。2 某種電子元件的壽命(單位:)的概率密度為 其中為常數.求這種電子元件的平均壽命.解:3. 設隨機變量的概率密度為 已知,求的值.解:依題可知,4. 設10只同種電器元件中有兩只廢品,裝配儀器時,從這批元件中任取一只,若是廢品,則扔掉重新任取一只,若
13、仍是廢品,則再扔掉重新任取一只.試求在取到正品之前已取出的廢品數的概率分布與數學期望.解:依題可知,隨機變量可取,而故隨機變量的概率分布為012且5設隨機變量,試求.解:依題可知,且,而故.6設隨機變量,且有,求.解:依題可知,則.而即,解得.7. 擲顆骰子,求點數之和的數學期望.解:設隨機變量表示“顆骰子的點數之和”,表示“第顆骰子的點數”,顯然,相互獨立,且,而的概率分布為123456顯然,故.8設隨機變量的概率密度為 求.解:因故.9.設隨機變量的概率密度函數為 求解:6分,11設隨機變量的分布函數為 試確定常數,并求.解:因為連續函數,則,即則,所以,. 習題四1.設,求下列概率(1)
14、;(2);(3);(4).解:(1)(2)(3)(4)2已知某次測試的成績,95分以上的同學占2.28%.求(1)介于80分與90分之間的同學的比例;(2)小于60分的同學的比例.解:因即,查表得,則,故(1)(2) 3已知隨機變量,且,求.解:因即,則4. 已知隨機變量,且 求.解:依題有由此可得,解得6.設隨機變量,求. 解:因,則11一加法器同時收到48個噪聲電壓,設它們是相互獨立的隨機變量,且都在區間上服從均勻分布,記,求.解:依題可知,由獨立同分布中心極限定理得12. 一部件包括100個部分,每部分的長度是一個隨機變量,它們相互獨立,且服從同一分布,其數學期望為2mm,均方差為0.0
15、5mm.規定總長度200mm誤差在1mm內算合格品,試求產品合格的概率.解:設隨機變量表示“第個部分的長度”,則相互獨立,且表示“該部件的總長度”, 由獨立同分布中心極限定理得13. 擲硬幣900次,試求:(1)至少出現正面480次的概率;(2)出現正面在420次到480次之間的概率.解:設隨機變量表示“擲900次硬幣中出現正面的次數”,則,由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得(1)(2)14. 一船舶在某海區航行,已知每遭受一次波浪的沖擊,縱搖角大于的概率,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問其中有次縱搖角度大于的概率是多少? 解:設隨機變量表示“在90000次波浪沖擊中縱搖角大于的次數”,則,由
16、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得16.設有30個電子器件,它們的使用情況如下:損壞,接著使用;損壞,接著使用等等.設器件的使用壽命服從參數(單位:)的指數分布.令為30個器件使用的總時數,問超過350h的概率是多少?解:設隨機變量表示“第個電子器件的使用壽命”,依題可知,相互獨立,且,由獨立同分布中心極限定理得習題六1設總體的概率密度為,其中, 為來自總體的樣本,求參數的矩估計量。解:總體的一階原點矩為,而樣本的一階原點矩為,用樣本的一階原點矩估計總體的一階原點矩,即有,由此得的矩估計量為3設總體,現從該總體中抽取容量為10的樣本,樣本觀測值為:0.5,1.3,0.6,1.7,2.2,1.2,0.
17、8,1.5,2.0,1.6試求參數的矩估計值。解:總體的一階原點矩為,而樣本的一階原點矩為,用樣本的一階原點矩估計總體的一階原點矩,即有,由此得的矩估計量為,其矩估計值為6設為來自總體的一組樣本觀測值,求下列總體概率密度中的最大似然估計值。(1)();(2)(已知);(3)解:(1)似然函數為因為0不是的最大值,考慮兩邊取對數,得 解方程 ,即解得,即為的最大似然估計值。(2)似然函數為因為0不是的最大值,考慮兩邊取對數,得 解方程 ,即解得,即為的最大似然估計值。(3)似然函數為因為0不是的最大值,考慮兩邊取對數,得 解方程 ,即解得,即為的最大似然估計值。8若總體服從參數為的泊松分布,即,
18、;為樣本觀測值,求參數的矩估計值和最大似然估計值。解:(1)總體的一階原點矩為而樣本的一階原點矩為,用樣本的一階原點矩估計總體的一階原點矩,即有,由此得的矩估計量為(2) 似然函數為取對數解方程 得所以,參數的最大似然估計量為15設某種電子元件的使用壽命服從正態分布,任抽9個測得其壽命(單位:h)如下:3540,4130,3210,3700,3650,2950,3670,3830,3810試在以下兩種條件下,求該批電子元件的平均壽命置信水平為99%的置信區間。(1)已知總體的標準差小時;(2)總體的標準差未知。解:(1)依題可知,查標準正態分布表得,則故該批電子元件的平均壽命置信水平為99%的置信區間為,即(2)依題可知,而查分布表得,則故該批電子元件的平均壽命置信水平為99%的置信區間為,即18某批牛奶中被混入了一種有害物質三聚氰胺。現從中隨機抽取10盒進行檢測,得到每公斤牛奶中三聚氰胺的含量如下(單位:毫克/公斤):0.86,1.53,1.57,1.81,0.99,1.09,1.29,1.78,1.29,1.58假設
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