1、精選優質文檔-傾情為你奉上概率論與數理統計課后習題解答習題一3設,表示三個事件,用,的運算關系表示下列各事件：（1）發生,與不發生;（2）與都發生,而不發生;（3）,都發生;（4）,都不發生;（5）,中至少有一個發生;（6）,中恰有一個發生;（7）,中至少有兩個發生;（8）,中最多有一個發生.解：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）；（8）或5在房間里有個人，分別佩戴從號到號的紀念章，任選人記錄其紀念章的號碼（1）求最小的號碼為的概率;（2）求最大的號碼為的概率.解：設事件表示“最小的號碼為”，事件表示“最大的號碼為”，由概率的古典定義得（1）；（2）6一批產品共有

2、件，其中有件廢品，求：（1）任取件產品恰有件是廢品的概率;（2）任取件產品沒有廢品的概率;（3）任取件產品中廢品不少于件的概率.解：設事件表示“取出的件產品中恰有件廢品”，由概率的古典定義得（1）；（2）；（3）8從,這十個數字中任意取出三個不同的數字，求下列事件的概率：表示“這三個數字中不含和”；表示“這三個數字中包含或”；表示“這三個數字中含但不含”解：由概率的古典定義得；9已知,，求和解：10已知,求解：11某種品牌電冰箱能正常使用年的概率為,能正常使用年的概率為,現某人購買的該品牌電冰箱已經正常使用了年,問還能正常用到年的概率是多少?解：設事件分別表示“該品牌電冰箱能正常使用10,15

3、年”，依題可知，則所求的概率為12某人忘記了電話號碼的最后一個數字，因而他隨意地撥最后一個號碼（1）求他撥號不超過三次而接通的概率;（2）若已知最后一個數字是奇數，那么他撥號不超過三次而接通的概率又是多少?解：設事件分別表示“他撥號不超過三次而接通”，事件分別表示“最后一個數字是奇數”，則所求的概率為（1）（2）13一盒里有個電子元件,其中有個正品,個次品.從中每次抽取一個,不放回地連續抽取四次,求第一、第二次取得次品且第三、第四次取得正品的概率解：設事件表示“第次取得次品”（），則所求的概率為 14一倉庫中有箱同種規格的產品,其中由甲、乙、丙三廠生產的分別有箱、箱、箱,三廠產品的次品率依次為

4、,從這箱中任取 一箱,再從這箱中任取一件產品,求取得正品的概率解：設事件分別表示“產品是甲，乙，丙廠生產的”，事件表示“產品是正品”，顯然，事件構成一個完備事件組，且由全概率公式得15甲、乙、丙三門高炮同時獨立地各向敵機發射一枚炮彈,它們命中敵機的概率都是.飛機被擊中彈而墜毀的概率為,被擊中彈而墜毀的概率為,被擊中彈必定墜毀.（1）求飛機墜毀的概率;（2）已知飛機已經墜毀,試求它在墜毀前只被命中彈的概率.解：設事件表示“飛機被擊中彈而墜毀”，事件表示“飛機墜毀”，顯然，事件構成一個完備事件組，由二項概率公式計算得 （1）由全概率公式得（2）由貝葉斯公式得16設甲袋中裝有個紅球,個白球;乙袋中裝

5、有個紅球,個白球.先從甲袋中任取個球放入乙袋中,然后從乙袋中任取一個球,求取到是白球的概率.解：設事件表示“從甲袋取出的個球中有個白球”，事件表示“從乙袋中取出的一個球是白球”，顯然，事件構成一個完備事件組，且，由全概率公式得17已知男子有是色盲患者,女子有是色盲患者.現在從男女人數相等的人群中隨機地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概率是多少?解：設事件表示“此人是男性”，事件表示“此人是色盲患者”，顯然，事件構成一個完備事件組，且，由貝葉斯公式得18設機器正常時生產合格品的概率為,當機器發生故障時生產合格品的概率為,而機器正常（即不發生故障）的概率為.某天,工人使用該機器生產的第一件

6、產品是合格品,求機器是正常的概率.解：設事件表示“該機器正?！?，事件表示“產品是合格品”，顯然，事件構成一個完備事件組，且由貝葉斯公式得19三人獨立地去破譯一個密碼,他們能夠譯出的概率分別是,問能將密碼譯出的概率是多少?解：設事件分別表示“第一人，第二人，第三人破譯出密碼”，顯然事件相互獨立，且，則所求的概率為20加工某一零件共需經過四道工序,設第一、二、三、四道工序的次品率分別是,和.假設各道工序是互不影響的,求加工出來的零件的次品率.解：設事件表示“第道工序加工出次品”，顯然事件相互獨立，且，則所求的概率為21設第一個盒子里裝有個藍球,個綠球,個白球;第二個盒子里裝有個藍球,個綠球,個白球

7、.現在獨立地分別從兩個盒子里各取一個球.（1）求至少有一個藍球的概率;（2）求有一個藍球一個白球的概率;（3）已知至少有一個藍球,求有一個藍球一個白球的概率.解：設事件表示“從第一個盒子里取出的球是籃球，白球”，事件表示“從第二個盒子里取出的球是籃球，白球”，顯然事件與相互獨立，且，則所求的概率為（1）；（2）；（3）122設一系統由三個元件聯結而成（如圖）,各個元件獨立地工作,且每個元件能正常工作的概率均為().求系統能正常工作的概率.32圖解：設事件表示“第個元件正常工作”，事件表示“該系統正常工作”，顯然，事件相互獨立，且，則所求的概率為24一批產品中有的次品,進行放回抽樣檢查,共取件樣

8、品.計算：（1）這件樣品中恰有件次品的概率;（2）這件樣品中最多有件次品的概率.解：設事件表示“該樣品是次品”，顯然，這是一個伯努利概型，其中，由二項概率公式有（1）（2）習題二2.離散型隨機變量的概率函數為：（1）（2）分別求（1）、（2）中的值。解：（1），解得；（2），解得3.對某一目標進行射擊，直到擊中為止，若每次射擊命中率為，求射擊次數的概率分布。解：設隨機變量表示“直接擊中目標時的射擊次數”，顯然，可取，故的概率分布為：4.一大樓裝有5個同類型的供水設備。調查表明在任一時刻，每個設備被使用的概率為0.1，且各個設備的使用是相互獨立的。求在同一時刻被使用的設備數的概率分布，并求在同一

9、時刻：（1）恰有2個設備被使用的概率；（2）至少有3個設備被使用的概率；（3）最多有3個設備被使用的概率；（4）至少有1個設備被使用的概率。解：設隨機變量表示“在同一時刻被使用的設備數”，顯然，其中，故的概率分布為（1）恰有2個設備被使用的概率為（2）至少有3個設備被使用的概率為（3）最多有3個設備被使用的概率為（4）至少有1個設備被使用的概率為7. 設隨機變量，當為何值時，概率取得最大值？ 解：因概率取得最大值，則，即即，故8.設隨機變量的分布函數為求：（1）的概率分布。 （2）概率 。解：（1）依題可知，隨機變量可取，則的概率分布為（2）9.設隨機變量的概率密度為 求的分布函數。解：隨機變

10、量的分布函數為10.設的分布函數為求：（1）系數；（2）的概率密度；（3）概率。解：（1）由于是連續函數，有，而，故；（2）（3）11.隨機變量的概率密度為，求系數及的分布函數。解：由于，有，解得；隨機變量的分布函數為12.已知的概率密度為，求常數及解：由于，有，解得；13.隨機變量的分布函數為 求。 解：14.某種電子元件的使用壽命（單位：h）的概率密度為 求在150h內：（1）3個電子元件中沒有1個損壞的概率；（2）3個電子元件中只有1個損壞的概率；（3）3個電子元件全損壞的概率。解：設隨機變量表示“在150h內，3個電子元件中損壞的元件數”，顯然，其中，（1）3個電子元件中沒有1個損壞的

11、概率為：；（2）3個電子元件中只有1個損壞的概率為：；（3）3個電子元件全損壞的概率為：15.一個袋內裝有5個白球，3個紅球。第一次從袋內任意取一個球，不放回，第二次又從袋內任意取兩個球，表示第次取到的白球數（）。求（1）的聯合概率分布及邊緣概率分布；（2），。解：（1）依題可知，隨機變量可取，隨機變量可取，而 （）則的聯合概率分布，與的邊緣概率分布分別為012011（2）16.設與相互獨立，證明：對任意實數，事件與事件相互獨立。解：因與相互獨立，則，而故事件與事件相互獨立。17.設二維隨機變量的聯合概率密度為 求：（1）常數；（2）；（3）；（4）。解：（1）由于，有，解得；（2）；（3）；

12、（4）18.設二維隨機變量的聯合概率密度為 則稱在圓域上服從均勻分布。試判斷與是否相互獨立。解：同理，顯然，故與不獨立。習題三1 甲乙兩臺機器一天中出現次品的概率函數分別為01230.40.30.20.101230.30.50.20若兩臺機器的日產量相同，問哪臺機器較好？解：依題有，顯然，即甲機器的平均次品數比乙機器的平均次品數大，故乙機器較好。2 某種電子元件的壽命（單位：）的概率密度為 其中為常數.求這種電子元件的平均壽命.解：3. 設隨機變量的概率密度為 已知，求的值.解：依題可知，4. 設10只同種電器元件中有兩只廢品，裝配儀器時，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只，若

13、仍是廢品，則再扔掉重新任取一只.試求在取到正品之前已取出的廢品數的概率分布與數學期望.解：依題可知，隨機變量可取，而故隨機變量的概率分布為012且5設隨機變量，試求.解：依題可知，且，而故.6設隨機變量，且有，求.解：依題可知，則.而即，解得.7. 擲顆骰子，求點數之和的數學期望.解：設隨機變量表示“顆骰子的點數之和”，表示“第顆骰子的點數”，顯然，相互獨立，且，而的概率分布為123456顯然，故.8設隨機變量的概率密度為 求.解：因故.9.設隨機變量的概率密度函數為 求解：6分，11設隨機變量的分布函數為 試確定常數，并求.解：因為連續函數，則，即則，所以，. 習題四1.設，求下列概率（1）

14、;(2);(3);(4).解：（1）（2）（3）（4）2已知某次測試的成績，95分以上的同學占2.28%.求（1）介于80分與90分之間的同學的比例；（2）小于60分的同學的比例.解：因即，查表得，則，故（1）（2） 3已知隨機變量，且，求.解：因即，則4. 已知隨機變量，且 求.解：依題有由此可得，解得6.設隨機變量，求. 解：因，則11一加法器同時收到48個噪聲電壓，設它們是相互獨立的隨機變量，且都在區間上服從均勻分布，記，求.解：依題可知，由獨立同分布中心極限定理得12. 一部件包括100個部分，每部分的長度是一個隨機變量，它們相互獨立，且服從同一分布，其數學期望為2mm，均方差為0.0

15、5mm.規定總長度200mm誤差在1mm內算合格品，試求產品合格的概率.解：設隨機變量表示“第個部分的長度”，則相互獨立，且表示“該部件的總長度”， 由獨立同分布中心極限定理得13. 擲硬幣900次，試求：（1）至少出現正面480次的概率；（2）出現正面在420次到480次之間的概率.解：設隨機變量表示“擲900次硬幣中出現正面的次數”，則，由棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得（1）（2）14. 一船舶在某海區航行，已知每遭受一次波浪的沖擊，縱搖角大于的概率，若船舶遭受了90000次波浪沖擊，問其中有次縱搖角度大于的概率是多少？ 解：設隨機變量表示“在90000次波浪沖擊中縱搖角大于的次數”，則，由

16、棣莫弗拉普拉斯中心極限定理得16.設有30個電子器件，它們的使用情況如下：損壞，接著使用；損壞，接著使用等等.設器件的使用壽命服從參數（單位：）的指數分布.令為30個器件使用的總時數，問超過350h的概率是多少？解：設隨機變量表示“第個電子器件的使用壽命”，依題可知，相互獨立，且，由獨立同分布中心極限定理得習題六1設總體的概率密度為，其中， 為來自總體的樣本，求參數的矩估計量。解：總體的一階原點矩為，而樣本的一階原點矩為，用樣本的一階原點矩估計總體的一階原點矩，即有，由此得的矩估計量為3設總體，現從該總體中抽取容量為10的樣本，樣本觀測值為：0.5，1.3，0.6，1.7，2.2，1.2，0.

17、8，1.5，2.0，1.6試求參數的矩估計值。解：總體的一階原點矩為，而樣本的一階原點矩為，用樣本的一階原點矩估計總體的一階原點矩，即有，由此得的矩估計量為，其矩估計值為6設為來自總體的一組樣本觀測值，求下列總體概率密度中的最大似然估計值。（1）（）；（2）（已知）；（3）解：（1）似然函數為因為0不是的最大值，考慮兩邊取對數，得 解方程 ，即解得，即為的最大似然估計值。（2）似然函數為因為0不是的最大值，考慮兩邊取對數，得 解方程 ，即解得，即為的最大似然估計值。（3）似然函數為因為0不是的最大值，考慮兩邊取對數，得 解方程 ，即解得，即為的最大似然估計值。8若總體服從參數為的泊松分布，即，

18、；為樣本觀測值，求參數的矩估計值和最大似然估計值。解：（1）總體的一階原點矩為而樣本的一階原點矩為，用樣本的一階原點矩估計總體的一階原點矩，即有，由此得的矩估計量為（2） 似然函數為取對數解方程 得所以，參數的最大似然估計量為15設某種電子元件的使用壽命服從正態分布，任抽9個測得其壽命（單位：h）如下：3540，4130，3210，3700，3650，2950，3670，3830，3810試在以下兩種條件下，求該批電子元件的平均壽命置信水平為99%的置信區間。（1）已知總體的標準差小時；（2）總體的標準差未知。解：（1）依題可知，查標準正態分布表得，則故該批電子元件的平均壽命置信水平為99%的置信區間為，即（2）依題可知，而查分布表得，則故該批電子元件的平均壽命置信水平為99%的置信區間為，即18某批牛奶中被混入了一種有害物質三聚氰胺。現從中隨機抽取10盒進行檢測，得到每公斤牛奶中三聚氰胺的含量如下（單位：毫克/公斤）：0.86，1.53，1.57，1.81，0.99，1.09，1.29，1.78，1.29，1.58假設