1、文檔供參考，可復制、編制，期待您的好評與關注！ 線性規劃常見題型及解法一基礎知識：(一)二元一次不等式表示的區域二元一次不等式表示直線某一側的所有點組成的區域，把直線畫成虛線表示不包括邊界， 所表示的區域應包括邊界，故邊界要畫成實線.由于在直線同一側的所有點（x,y）,把它的坐標（x,y）代入，所得的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一個特殊點（），從的正負即可判斷表示直線哪一側的平面區域。通常代特殊點（0，0）。（二）線性規劃(1)不等式組是一組對變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關于x、y的一次不等式，所以又可稱其為線性約束條件.z=Ax+By是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x

2、、y的解析式，我們把它稱為目標函數.由于z=Ax+By又是關于x、y的一次解析式，所以又可叫做線性目標函數.另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題.(3)那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區域.其中可行解（）和（）分別使目標函數取得最大值和最小值，它們都叫做這個問題的最優解. 線性目標函數的最值常在可行域的頂點處取得;而求最優整數解必須首先要看它們是否在可行(4)用圖解法解決簡單的線性規劃問

3、題的基本步驟：1.首先，要根據線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區域）.2.設z=0，畫出直線l0.3.觀察、分析，平移直線l0，從而找到最優解.4.最后求得目標函數的最大值及最小值.(5) 利用線性規劃研究實際問題的解題思路：首先，應準確建立數學模型，即根據題意找出約束條件，確定線性目標函數.然后，用圖解法求得數學模型的解，即畫出可行域，在可行域內求得使目標函數取得最值的解.最后，還要根據實際意義將數學模型的解轉化為實際問題的解，即結合實際情況求得最優解.線性規劃是新教材中新增的內容之一，由已知條件寫出約束條件，并作出可行域，進而通過平移直線在可行域內求線性目標函數的最優解是

4、最常見的題型，除此之外，還有以下常見題型。一、求線性目標函數的取值范圍xyO22x=2y =2x + y =2BA例1、 若x、y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）A、2,6B、2,5C、3,6D、（3,5二、求可行域的面積例2、不等式組表示的平面區域的面積為（）A、4B、1C、5D、無窮大三、求可行域中整點個數例3、滿足|x|y|2的點（x，y）中整點（橫縱坐標都是整數）有（）A、9個B、10個C、13個D、14個xyO解：|x|y|2等價于作出可行域如右圖，是正方形內部（包括邊界），容易得到整點個數為13個，選D四、求線性目標函數中參數的取值范圍x + y = 5x y + 5

5、= 0Oyxx=3例4、已知x、y滿足以下約束條件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則a的值為（）A、3B、3C、1D、1解：如圖，作出可行域，作直線l：x+ay0，要使目標函數z=x+ay(a>0)取得最小值的最優解有無數個，則將l向右上方平移后與直線x+y5重合，故a=1，選D2x + y - 2= 0 = 5x 2y + 4 = 03x y 3 = 0OyxA五、求非線性目標函數的最值例5、已知x、y滿足以下約束條件，則z=x2+y2的最大值和最小值分別是（）A、13，1 B、13，2C、13， D、，O2x y = 0y2x y + 3 = 0解：如圖，

6、作出可行域,x2+y2是點（x，y）到原點的距離的平方，故最大值為點A（2,3）到原點的距離的平方，即|AO|2=13，最小值為原點到直線2xy2=0的距離的平方，即為，選C六、求約束條件中參數的取值范圍例6、已知|2xym|3表示的平面區域包含點（0,0）和（1,1），則m的取值范圍是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等價于由右圖可知 ,故0m3，選C線性規劃的實際應用在科學研究、工程設計、經濟管理等方面，我們都會碰到最優化決策的實際問題，而解決這類問題的理論基礎是線性規劃。利用線性規劃研究的問題，大致可歸納為兩種類型：第一種類型是給定一定數量

7、的人力、物力資源，問怎樣安排運用這些資源，能使完成的任務量最大，的效益最大，第二種類型是給定一項任務，問怎樣統籌安排，能使完成這項任務的人力、物力資源量最小。例1、某木器廠生產圓桌和衣柜兩種產品，現有兩種木料，第一種有72m3，第二種有56m3，假設生產每種產品都需要用兩種木料，生產一只圓桌和一個衣柜分別所需木料如下表所示.每生產一只圓桌可獲利6元,生產一個衣柜可獲利10元.木器廠在現有木料條件下,圓桌和衣柜各生產多少,才使獲得利潤最多?產 品木料(單位m3)第 一 種第 二 種圓 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：設生產圓桌x只,生產衣柜y個,利潤總額為z元,那么 而z=6x+10

8、y.如上圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區域,即可行域.作直線l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時,直線經過可行域上點M,且與原點距離最大,此時z=6x+10y取最大值解方程組,得M點坐標(350,100).答:應生產圓桌350只,生產衣柜100個,能使利潤總額達到最大.指出:資源數量一定,如何安排使用它們,使得效益最好,這是線性規劃中常見的問題之一(2)利用圖象,在線性約束條件下找出決策變量,使線性目標函數達到最大(或最小).2.線性規劃問題的一般數學模型是:已知(這個式子中的“£”也可以是“³”或“=”號)其中aij (i=

9、1,2,n, j=1,2,m),bi (i=1,2,n)都是常量,xj (j=1,2,m) 是非負變量,求z=c1x1+c2x2+cmxm的最大值或最小值,這里cj (j=1,2,m)是常量. (3)線性規劃的理論和方法主要在以下兩類問題中得到應用:一是在人力、物力資金等資源一定的條件下,如何使用它們來完成最多的任務；二是給一項任務,如何合理安排和規劃,能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務.線性規劃中整點最優解的求解策略在工程設計、經營管理等活動中，經常會碰到最優化決策的實際問題，而解決此類問題一般以線性規劃為其重要的理論基礎。然而在實際問題中，最優解 (x,y) 通常要滿足x,yN

10、 ，這種最優解稱為整點最優解，下面通過具體例子談談如何求整點最優解 .1平移找解法 作出可行域后，先打網格，描出整點，然后平移直線l，直線l最先經過或最后經過的那個整點便是整點最優解. 例1、某木器廠生產圓桌和衣柜兩種產品，現有兩種木料，第一種有72m3，第二種有56m3，假設生產每種產品都需要用兩種木料，生產一只圓桌和一個衣柜分別所需木料如下表所示.每生產一只圓桌可獲利6元,生產一個衣柜可獲利10元.木器廠在現有木料條件下,圓桌和衣柜各生產多少,才使獲得利潤最多?產 品木料(單位m3)第 一 種第 二 種圓 桌0.180.08衣 柜0.090.28解：設生產圓桌x只,生產衣柜y個,利潤總額為

11、z元,那么 而z=6x+10y.如圖所示,作出以上不等式組所表示的平面區域,即可行域.作直線l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直線l向右上方平移至l1的位置時,直線經過可行域上點M,且與原點距離最大,此時z=6x+10y取最大值。解方程組,得M點坐標(350,100).答：應生產圓桌350只,生產衣柜100個,能使利潤總額達到最大.點評：本題的最優點恰為直線0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交點M。例 2 有一批鋼管，長度都是4000mm，要截成500mm和600mm兩種毛坯，且這兩種毛坯按數量比不小于配套，怎樣截最合理？ 解：設截500mm的鋼管x根，6

12、00mm的y根，總數為z根。根據題意，得 ，目標函數為 ，作出如圖所示的可行域內的整點， 作一組平行直線x+y=t，經過可行域內的點且和原點距離最遠的直線為過B（8，0）的直線，這時x+y=8.由于x,y為正整數，知（8，0）不是最優解。顯然要往下平移該直線，在可行域內找整點，使x+y=7，可知點（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均為最優解答：略 點評：本題與上題的不同之處在于，直線x+y=t經過可行域內且和原點距離最遠的點B（8，0）并不符合題意，此時必須往下平移該直線，在可行域內找整點，比如使x+y=7，從而求得最優解。 從這兩例也可看到，平移找解法一般適用于其可行

13、域是有限區域且整點個數又較少，但作圖要求較高。二、整點調整法先按“平移找解法”求出非整點最優解及最優值，再借助不定方程的知識調整最優值，最后篩選出整點最優解 例3已知滿足不等式組，求使取最大值的整數解：不等式組的解集為三直線：，：，：所圍成的三角形內部（不含邊界），設與，與，與交點分別為，則坐標分別為，作一組平行線：平行于：，當往右上方移動時，隨之增大，當過點時最大為，但不是整數解，又由知可取，當時，代入原不等式組得， ；當時，得或， 或；當時， ，故的最大整數解為或3.逐一檢驗法 由于作圖有時有誤差，有時僅有圖象不一定就能準確而迅速地找到最優解，此時可將若干個可能解逐一校驗即可見分曉 例4

14、一批長4000mm 的條形鋼材，需要將其截成長分別為518mm與698mm的甲、乙兩種毛坯，求鋼材的最大利用率 解：設甲種毛坯截 x 根，乙種毛坯截 y 根，鋼材的利用率為 P ，則 ，目標函數為 ，線性約束條件表示的可行域是圖中陰影部分的整點表示與直線518x+698y=4000平行的直線系。所以使P取得最大值的最優解是陰影內最靠近直線518x+698y=4000的整點坐標如圖看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最優解，將它們的坐標逐一代入進行校驗，可知當x=5,y=2時， 答：當甲種毛坯截5根，乙種毛坯截2根，鋼材的利

15、用率最大，為99.65% 解線性規劃問題的關鍵步驟是在圖（可行域）上完成的，所以作圖時應盡可能精確，圖上操作盡可能規范，但考慮到作圖時必然會有誤差，假如圖上的最優點并不十分明顯易辨時，不妨將幾個有可能是最優點的坐標都求出來，然后逐一進行校驗，以確定整點最優解.高考線性規劃歸類解析圖1書、11 線性規劃問題是解析幾何的重點，每年高考必有一道小題。一、已知線性約束條件，探求線性目標關系最值問題例1、設變量x、y滿足約束條件，則的最大值為。解析：如圖1，畫出可行域，得在直線2x-y=2與直線x-y=-1的交點A(3,4)處，目標函數z最大值為18二、已知線性約束條件，探求非線性目標關系最值問題圖2例

16、2、已知則的最小值是 .解析：如圖2，只要畫出滿足約束條件的可行域，而表示可行域內一點到原點的距離的平方。由圖易知A（1，2）是滿足條件的最優解。的最小值是為5。三、約束條件設計參數形式，考查目標函數最值范圍問題。 C例3、在約束條件下，當時，目標函數的最大值的變化范圍是（）A. B. C. D. 解析：畫出可行域如圖3所示,當時, 目標函數在處取得最大值, 即;當時, 目標函數在點處取得最大值,即,故,從而選D;四、已知平面區域，逆向考查約束條件。例4、已知雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區域,表示該區域的不等式組是（）(A) (B) (C) (D) 解析：雙曲線的兩條漸近線方程為，與

17、直線圍成一個三角形區域（如圖4所示）時有。點評：本題考查雙曲線的漸近線方程以及線性規劃問題。驗證法或排除法是最效的方法。五、已知最優解成立條件，探求目標函數參數范圍問題。例5已知變量，滿足約束條件。若目標函數（其中）僅在點處取得最大值，則的取值范圍為 。解析：如圖5作出可行域，由其表示為斜率為，縱截距為的平行直線系, 要使目標函數（其中）僅在點處取得最大值。則直線過點且在直線（不含界線）之間。即則的取值范圍為。六、設計線性規劃，探求平面區域的面積問題例在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區域的面積是（）(A) (B)4 (C) (D)2 解析：如圖，作出可行域，易知不等式組表示的平面區域是一

18、個三角形。容易求三角形的三個頂點坐標為（，），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面積為：從而選。七、研究線性規劃中的整點最優解問題例7、某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件則的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95解析：如圖，作出可行域，由，它表示為斜率為，縱截距為的平行直線系,要使最得最大值。當直線通過取得最大值。因為，故點不是最優整數解。于是考慮可行域內點附近整點（，），（，），經檢驗直線經過點時，點評：在解決簡單線性規劃中的最優整數解時，可在去掉限制條件求得的最優解的基礎上，調整優解法，通過分類討論獲得最優整數解。用均值不等式求最值的方法和技

19、巧均值不等式是求函數最值的一個重要工具，同時也是高考?？嫉囊粋€重要知識點。下面談談運用均值不等式求解一些函數的最值問題的方法和技巧。一、幾個重要的均值不等式當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b時，“=”號成立；當且僅當a = b = c時,“=”號成立； ,當且僅當a = b = c時,“=”號成立.注： 注意運用均值不等式求最值時的條件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一個重要的不等式鏈：。二、用均值不等式求最值的常見的方法和技巧1、求幾個正數和的最小值。例1、求函數的最小值。解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最小值是。評析：利用均值不等式求幾個正數和的最小值

20、時，關鍵在于構造條件，使其積為常數。通常要通過添加常數、拆項（常常是拆底次的式子）等方式進行構造。2、求幾個正數積的最大值。例2、求下列函數的最大值： 解析：，當且僅當即時，“=”號成立，故此函數最大值是1。，則，欲求y的最大值，可先求y2的最大值。,當且僅當，即時，不等式中的“=”號成立，故此函數最大值是。評析：利用均值不等式求幾個正數積的最大值，關鍵在于構造條件，使其和為常數。通常要通過乘以或除以常數、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式進行構造。3、用均值不等式求最值等號不成立。例3、若x、y，求的最小值。解法四：（拆分法），當且僅當時“=”號成立，故此函數最小值是5。評析：求解此類

21、問題，要注意靈活選取方法，特別是單調性法、導數法具有一般性，配方法及拆分法也是較為簡潔實用得方法。4、條件最值問題。例4、已知正數x、y滿足，求的最小值。解法一：（利用均值不等式）,當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。解法二：（消元法）由得，由則。當且僅當即時“=”號成立，故此函數最小值是18。評析：此類問題是學生求解易錯得一類題目，解法一學生普遍有這樣一種錯誤的求解方法： 。原因就是等號成立的條件不一致。5、利用均值不等式化歸為其它不等式求解的問題。例5、已知正數滿足，試求、的范圍。解法一：由，則，即解得，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是。又，當且僅當即時取“=”號，故的取值范圍是解法二：由，知，則，由，則：，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。，當且僅當，并求得時取“=”號，故的取值范圍是。三