1、博弈論：原理、模型與教程第二部分 完全信息動態博弈第6章 擴展式博弈（已精細訂正！）對博弈問題的規范性描述是科學、系統地分析博弈問題的基礎。前面介紹了一種常用的博弈問題描述方式戰略式博弈，雖然這種博弈模型結構簡單，只要給出博弈問題的三個基本構成要素（即參與人、參與人的戰略集及參與人的支付），就可完成對博弈問題的建模。但是，由于戰略式博弈假設每個參與人僅選擇一次行動或行動計劃（戰略），并且參與人同時進行選擇，因此從本質上來講戰略式博弈是一種靜態模型，一般適用于描述不需要考慮博弈進程的完全信息靜態博弈問題。雖然戰略式博弈也可以對動態博弈問題進行建模，但是從所得到的模型中只能看到博弈的結果，而無法直

2、觀地了解到博弈問題的動態特性。本章將介紹一種新的博弈問題描述方式擴展式博弈。從擴展式博弈模型中，不僅可以看到博弈的結果，而且還能直觀地看到博弈的進程。在介紹擴展式博弈構成的基礎上，還將對擴展式博弈的戰略和解進行討論。6.1 擴展式博弈（文字描述、博弈樹描述）所謂擴展式博弈（extensive form game），是博弈問題的一種規范性描述。與戰略式博弈側重博弈結果的描述相比，擴展式博弈更注重對參與人在博弈過程中所遇到決策問題的序列結構的詳細分析。一般而言，要了解一個博弈問題的具體進程，就必須弄清楚以下兩個問題：（1）每個參與人在什么時候行動（決策、選擇）；· 第六章108（2）每個

3、參與人行動時，他所面臨決策問題的結構，包括參與人行動時可供他選擇的行動方案及所了解的信息（集）。注：行文中頻繁出現的“行動”一詞，有兩義：其一，動詞的“行動”，指選擇、決策。其二，名詞的“行動”，指策略、戰略、謀略、行動方案、方案。上述兩個問題構成了參與人在博弈過程中所遇到決策問題的序列結構。對于一個博弈問題，如果能夠說清楚博弈過程中參與人的決策問題的序列結構，那么就意味著知道了博弈問題的具體進程。定義6 1 擴展式博弈包括以下要素：（1）參與人集合；（2）參與人的行動順序，即每個參與人在何時行動；（3）每個參與人行動時面臨的決策問題，包括參與人行動時可供他選擇的行動方案及他所了解的信息（集）

4、；（4）參與人的支付函數，即博弈結束時每個參與人得到的博弈結果。從上述定義可以看到：如果要用擴展式博弈對一個博弈問題進行建模（或者描述），那么除了要說明博弈問題所涉及的參與人及每位參與人的支付函數以外，還必須對博弈過程中參與人所遇到的決策問題的序列結構進行詳細的解釋，說清楚每個參與人在何時行動，以及參與人行動時可供選擇的行動方案和所了解到的信息。【例6-1】 考察一個“新產品開發博弈”。試用擴展式博弈對兩個企業都知道市場需求且企業同時決策的博弈情形，即完全信息靜態的“新產品開發博弈”進行建模。圖1-1 新產品開發的投入-產出圖解： 文字描述如下：根據定義6-1，完全信息靜態的“新產品開發博弈”

5、的擴展式博弈包括以下要素：（1）參與人是企業1和企業2；（2）兩個企業同時行動，即同時選擇產量；（3）每個企業行動時有兩種選擇“開發”和“不開發”，并且每個企業行動時不知道對方的選擇 注意，雖然此時每個企業都不知道對方的選擇，但用擴展式博弈進行建模時仍然假設參與人都同時看到了圖1-1所示的投入-產出圖，即圖1-1對兩個企業來說為共同知識。；（4）兩個企業的支付如圖1-1所示。圖1-1 新產品開發的投入-產出圖【例6-2】 繼續考察“新產品開發博弈”。試用擴展式博弈對兩個企業都知道市場需求且企業1先決策，企業2觀測到企業1的選擇后再進行選擇的博弈情形，即完全信息動態的“新產品開發博弈”進行建模。

6、解： 文字描述如下：根據定義6-1，完全信息動態的“新產品開發博弈”的擴展式博弈包括以下要素：（1）參與人是企業1和企業2；（2）企業1先行動，企業2后行動；（3）企業1行動時有兩種選擇“開發”和“不開發”，企業1行動時不知道企業2的行動；企業2行動時有兩種選擇“開發”和“不開發”，但企業2行動時已經知道企業1的行動；（4）兩個企業的支付仍然有如圖1-1所示。上述兩個例子中，用文字描述的方法給出了博弈問題的擴展式描述。對于一些簡單的博弈問題，這種文字表述的方法也許是簡單可行的。但可以想象，如果遇到的是更為復雜的博弈問題，如參與人人數大于，每個參與人可以多次行動且每次行動時可供選擇的行動方案不同

7、等，文字描述所給出的模型就會顯得繁冗拖沓，極不直觀，因此需要尋找一種簡便易行的擴展式博弈的描述方式。下面就以“新產品開發博弈”為例，介紹一種不僅簡單方便，而且十分直觀的擴展式博弈的描述方式博弈樹。所謂博弈樹，就是由結和有向枝構成的“有向樹”。圖6-1給出的是當市場需求為大時，完全信息動態的“新產品開發博弈”的博弈樹。在圖6-1所示的博弈樹中，最上端的一個點(用空心圓表示)表示博弈的開始，將“企業1”標示在點上，表示博弈開始于企業1的選擇。企業1的選擇有“開發”和“不開發”，分別用標有“開發”和“不開發”的有向枝表示。若企業1選擇“開發”，則博弈從點達到（用實心圓表示）；若企業1選擇“不開發”，

8、則博弈從點達到點（用實心圓表示）。點（或）上標有“企業2”，表示企業2在博弈到達點（或）時，即企業1選擇“開發”（或“不開發”）后，再進行選擇；企業2的行動也有“開發”和“不開發”，同樣分別用標有“開發”和“不開發”的有向枝表示。若企業2選擇“開發”，則博弈從點（或）達到點（或）（都用實心圓表示）；若企業2選擇“不開發”，則博弈從點（或）達到點（或）（都用實心圓表示）。由于企業2選擇后博弈結束，因此點、和都表示博弈的結束。在點、和旁標有支付向量，表示博弈達到該點時企業的所得。其中，支付向量中的第一個數字表示企業1的所得，第二個數字表示企業2的所得 一般情形下，支付向量中數字的順序與博弈樹中參與

9、人的行動順序相對應。 開發 不開發 企業2 企業2 開發 不開發 開發 不開發 (300,300) (800,0) (0, 800) (0,0) 圖6-1 博弈樹企業1圖6-1中，點、和稱為博弈樹的結（node），其中標有參與人（即企業）的結、和稱為決策結（decision node）,表示參與人在此選擇行動；標有支付向量的結、和表示博弈結束，稱為終點結（terminal node）。在決策結中，決策結表示博弈的開始，亦稱為博弈樹的初始結或根（root）。結與結的連線稱為博弈樹的枝（branch），表示博弈從枝的一個結達到另一個結參與人需要選擇的行動。例如，博弈從決策結達到，需要企業1選擇行動

10、“開發”，所以在連接和的枝上標有行動“開發”。在博弈樹中，枝是有向的，表示博弈只能從枝的一個結達到另一個結。例如，在連接和的枝上，標有行動“不開發”，表示當企業1選擇“不開發”時，博弈從達到，因此連接到的枝的方向是從指向。通過以上介紹，再考察圖6-1中的博弈樹，可以得到這樣的信息：（1）博弈中的參與人是企業1和企業2；（2）博弈中企業1先選擇，企業2后選擇；（3）企業1選擇時有行動“開發”和“不開發”，企業2選擇的行動有“開發”和“不開發”；（4）博弈中企業的支付。也就是說，除了“企業2行動時是否觀測到企業1的選擇”這一點暫時無法從圖6-1中知道以外，完全信息動態的“新產品開發博弈”的擴展式描

11、述所需要的信息（或要素）都可以從圖6-1中得到。如果還能夠直接從博弈樹中知道“企業2行動時是否觀測到企業1的選擇”，那么給出博弈樹，就意味著給出了完全信息動態的“新產品開發博弈”的擴展式描述。下面探討如何在博弈樹中，將“企業2行動時是否觀測到企業1的選擇”這一信息表示出來。在完全信息動態的“新產品開發博弈”中，企業2決策時企業1已經做出選擇，此時企業2面臨的決策情形無非只有以下兩種：第一種：企業2知道企業1的選擇；第二種：企業2不知道企業1的選擇。對于第一種情形，企業2知道企業1的選擇，即知道企業1選擇“開發”還是“不開發”，因此企業2知道博弈是從到了還是從到了。這就意味著當輪到企業2決策時，

12、他知道自己是在點上還是在點上。對于第二種情形，企業2不知道企業1的選擇，即不知道博弈是從到了還是從到了。因此，當輪到企業2決策時，他不知道自己是在點上還是在點上。所以，“企業2行動時是否觀測到企業1的選擇”這一問題，實際上就等價于“企業2行動時是否知道自己是在博弈樹中的點上還是在點上”。為了將“企業2行動時是否知道自己是在博弈樹中的點上還是在點上”這一點說清楚，需要引入“信息集”（information set）的概念。在博弈樹中，參與人的一個信息集（用表示）是參與人決策結的一個集合，它滿足以下條件：（1）中的每個決策結都是參與人的決策結；（2）當博弈到達信息集（即博弈到達中某個決策結）時，參

13、與人知道自己是在信息集中的決策結上，但不知道自己究竟在中哪個決策結上。因此，參與人的信息集可以用來描述當輪到參與人行動時他所了解到的信息，即他知道什么（知道自己位于哪一個信息集上）、不知道什么（不知道自己位于信息集中哪一個決策結上）。例如，在“新產品開發博弈”中，假設企業1先行動，企業2后行動，但企業2行動時不知道企業1的行動，那么在如圖6-1所示的博弈中當企業2行動時就只知道博弈要么到達點，要么到達點，但具體在哪一點上，企業2不清楚。也就是說，企業2只知道自己位于決策結集合上，但不知道位于中哪一個決策結上。在這種情況下，就是企業2的一個信息集。如果假設企業2行動時知道企業1的行動，那么在如圖

14、6-1所示的博弈中，當企業2行動時就知道博弈是到達了點，還是到達了點。此時，企業2的決策結集和都是企業2 的信息集 注意，這是一種信息退化了的情況，即信息集中只含有一個決策結（亦稱單結信息集）。此時，雖然信息集的定義要求參與人不知道自己在信息集哪一個決策結上，但由于只有一個決策結，實際上也意味著參與人知道自己在哪一個決策結上。設為一決策結集合，用表示參與人的由決策結集構成的一個信息集。例如，表示企業2的由決策結集構成的信息集，和分別表示企業2的由決結集和構成的信息集。為了更好地理解信息集這個概念，考慮如圖62所表示的博弈情形中參與人3的信息集 在圖62中，省略了參與人的支付，但這樣并不影響對問

15、題的分析。（順便考慮參與人2、參與人3的信息集）。由于參與人3選擇時，參與人1和參與人2都已經做出選擇，因此參與人3選擇時可能面臨的決策情形就有以下4種：（1）既知道參與人1的選擇，也知道參與人2的選擇；（2）知道參與人1的選擇，但不知道參與人2的選擇；（3）知道參與人2的選擇，但不知道參與人1的選擇；（4）既不知道參與人1的選擇，也知道參與人2的選擇。L33 12R圖6-2 博弈樹：知道1的選擇；不知道2的選擇2 下面對上述4種情形分別進行考察：首先考察第二種情形，即參與人3知道參與人1的選擇，但不知道參與人2的選擇。參與人3知道參與人1的選擇，就意味著當輪到他選擇時，他知道博弈進入了博弈的

16、左邊（如果參與人1選擇）還是右邊（如果參與人1選擇）；但由于參與人3不知道參與人2的選擇，因此當輪到他選擇時，他不知道自己是在上還是在上，或者上還是上。但是，參與人3知道自己要么就在或者上，要么就在或者上，所以參與人3的決策結集和都為參與人3的信息集。在博弈樹中，用虛線將屬于同一信息集的決策結連起來，表示它們屬于同一信息集。例如，62中，用虛線將點和連起來，表示它們都屬于信息集，用虛線將點和連起來，表示它們都屬于與信息集 。其次考察第三種情形，即參與人3知道參與人2的選擇，但不知道參與人1的選擇。雖然參與人3知道參與人選擇了 還是 ，但由于他不知道參與人1的選擇，因此當參與人2選擇 時，參與人

17、3知道自己是在或者上，但究竟在哪一點上參與人3并不清楚，所以決策集合是參與人3的一個信息集。當參與人2選擇 時，參與人3知道自己是在或者上，但究竟在哪一個點上并不清楚，所以決策結集合是參與人3的另一個信息集。在圖中63中，用虛線將點和連起來，表示它們都屬于信息集 ，用虛線將點和連起來，表示它們都屬于信息集。 1L22R圖6-3 博弈樹：知道2的選擇；不知道1的選擇33考察第四種情形，即參與人3既不知道參與人1的選擇也不知道參與人2的選擇。由于參與人1和參與人2的選擇參與人3都不知道，因此當輪到參與人3行動時，他只知道自己位于點、和四點中的某一點上，但究竟在哪一點上參與人3并不清楚，所以決策結集

18、合是參與人3的一個信息集。在圖64中，用虛線將點、和連起來，表示它們都屬于信息集。2R3331L2圖6-4 博弈樹：既不知道1的選擇；也不知道2的選擇最后考察第一種情形，即參與人3既知道參與人1的選擇也知道參與人2的選擇。由于參與人3既知道參與人1的選擇，又知道參與人2的選擇，因此當輪到參與人3行動時，他知道自己在點、和四點中的哪一點上，所以決策集合、和都是參與人3的信息集（參見圖65）。33331L22R圖6-5 博弈樹：既知道1的選擇；也知道2的選擇從上面分析可以看到：如果有了信息集這個概念，同時又在博弈中用特定的方式將信息標示出來 即將屬于同一信息集問題結用虛線連起來這種方式來標示博弈中

19、的信息集。，那么給出一個博弈問題的博弈樹時，實際上就意味著給出了這個博弈問題的擴展事描述。例如，如果讀者現在看到的是如圖6 2(或者圖63、圖64、圖65)所示的博弈樹，那么就應該從圖62中得到一個博弈問題的擴展事描述，這種描述包含了擴展事博弈的所有要素。 當然，當采用“將參與人屬于同一信息集的決策結用虛線連起來”的方式表示參與人的信息集時，在圖6圖65隱含了參與人2行動時已經觀察到參與人1的行動，因為在圖6圖65中，參與人2的信息集都是單結信息集（即值包含一個決策結的信息集） 在博弈考試時，最先行動的參與人知道自己在博弈樹起始結進行選擇，所以行動的參與人的信息集都是單結信息集。【例63】 考察“新產品開發博弈”。試用博弈樹描述“兩個企業都知道市場要求，且企業1先決策，企業2觀察到企業1的選擇后在進行選擇”的博弈情形。 開發 不開發 企業2 企業2 開發 不開發 開發 不開發 (300,300) (800,0) (0, 800) (0,0) 圖6-1 博弈樹企業1圖61實際上已經給出了當市場需求為大時，“新產品開發博弈”的博弈樹。圖66給出的是當市