1、數學選修4-7全套教案（共22頁）-本頁僅作為文檔封面，使用時請直接刪除即可-內頁可以根據需求調整合適字體及大小-高三數學選修4-7第一講優選法一什么叫優選法二單峰函數知識與技能：通過本節課的學習，初步了解優選法的概念，幫助學生了解優選問題的廣泛存在，能正確的判斷出單峰函數，能建立實際優選問題的數學模型，并尋找模型的最佳點，從數學角度加深對解決優選問題的認知.情感、態度與價值：通過本節課的學習幫助學生思考和解決一些簡單的實際問題.教學過程1. 有一種商品價格競猜游戲，參與者在知道售價范圍的前提下，對一件商品的價格進行競猜.當競猜者給出的估價不正確時，主持人以“高了”“低了”作為提示語，再讓競猜

2、者繼續估價，在規定的時間或次數內猜對的，即可獲得這件商品如果參加類似的游戲，每次你將怎么給出估價呢？2. 蒸饅頭是日常生活中常做的事情，為了使蒸出的饅頭好吃，就要放堿.如果堿放少了，蒸出的饅頭就發酸；堿放多了，蒸出的饅頭就發黃且有堿味.對于一定量的面粉來說，放多少堿最合適呢如果你沒有做饅頭的經驗，也沒有人可以請教，如何迅速地找出合適的堿量3. 一個農場希望知道某個玉米品種的高產栽培條件，如果可以掌握的因素是:種植密度、施化肥量、施化肥時間，如何迅速地找出高產栽培的條件如何找出其中對玉米的產量影響比較大的因素呢一、優選法優選法是根據生產和科學研究中的不同問題，利用數學原理，合理安排試驗，以最少的

3、試驗次數迅速找到最佳點的科學試驗方法.19、單峰函數在軍事訓練中，經常要考慮發射角度多大時炮彈的射程最遠.這是一個優選問題如圖，設炮彈的初速度為V,發射角度為（0-）,2在時刻t,炮彈距發射點的水平距離為x,離地面的高度為y.y如果忽略空氣阻力，則有yxtan其中v|v|,g為重力加速度.222vcos22令y0,得x10,x2Jsin2.因此，炮彈的射程為sin2gg如果函數f（x）在區間a,b上只有唯一的最大值點（或最小值點）C,而在最大值點（或最小值點）C的左側，函數單調增加（減少）；在點C的右側，函數單調減少（增加）,則稱這個函數為區間a,b上的單峰函數.例如，圖中的兩個函數f（x）,

4、g（x）就是單峰函數.我們規定，區間a,b上的單調函數也是單峰函數.z-f(x)ytg(x).d.上laXiCx2bx在炮彈發射試驗中，除發射角外，初速度、空氣阻力等也會影響炮彈的射程，我們把影響試驗目標的初速度、發射角、空氣阻力等稱為因素在一個試驗過程中，只有（或主要有）一個因素在變化的問題，稱為單因素問題.射程（目標）可以表示為發射角（因素）的函數.像這樣表示目標與因素之問對應關系的函數，稱為目標函數.若函數f(x)在區間a,b上是單峰函數。是最佳點，如果在區間a,b上任取X1,X2,如果在試驗中效果較好的點是X1,則必有C和X1在X2的同側，若以X2為分界點,含x1點的區間范圍是函數的一

5、個存優范圍.練習.判斷下列函數在區間1,5上哪些是單峰函數：(1)y=3x25x+2;(2)y=x2-3x+1;(3)y=cosx;(4)y=ex;(5) y=x3課后作業1 .閱讀教材P.；2.學案教學后記第一講優選法三、黃金分割法法知識與技能：黃金分割法法是非常著名的優選法，在生產實踐中有廣泛應用，通過學習這一內容，不僅可以使學生學會一種用數學知識解決實際問題的方法(數學建模)，了解黃金分割常數，而且還可以使學生感受數學在解決實際問題中的作用.情感、態度與價值：通過本課學習，增加學生的數學文化內涵，讓學生感受到數學的美.教學過程一、黃金分割常數對于一般的單峰函數，如何安排試點才能迅速找到最

6、佳點？.一21，1假設因素區間為0,1,取兩個試點一、一，那么對峰值在（0,一）中的單101010峰函數，兩次試驗便去掉了長度為4 一4的區間（圖1）；但對于峰值在舄,1）的函數，只能去掉長度一1一為府的區間（圖2），試驗效率就不理想了.怎樣選取各個試點，可以最快地達到或接近最佳點？ab在安排試點時，最好使兩個試點關于a,b的中心寸對稱.為了使每次去掉的區間有一定的規律性，我們這樣來考慮：每次舍去的區問占舍去前的區間的比例數相同.15黃金分割常數：15,用表示.2試驗方法中，利用黃金分割常數確定試點的方法叫做黃金分割法.由于巫是無理數，具體應用時，我們往往取其近似值.相應地，也把黃金分割法2叫

7、做法.二、黃金分割法法例.煉鋼時通過加入含有特定化學元素的材料，使煉出的鋼滿足一定的指標要求假設為了煉出某種特定用途的鋼，每噸需要加入某元素的量在1000g到2000g之間，問如何通過試驗的方法找到它的最優加入量？我們用存優范圍與原始范圍的比值來衡量一種試驗方法的效率，這個比值叫做精度，即n次試驗后的精度為n次試驗后的存優范圍n原始的因素范圍用法確定試點時，從第2次試驗開始，每一次試驗都把存優范圍縮小為原來的.因此，n次試驗后的精度為n0.618n1般地，給定精度，為了達到這個精度，所要做的試驗次數n滿足0.618n11,即（n1）lg0.618lg0,所以n1.lg0.618黃金分割法適用目

8、標函數為單峰的情形，第1個試驗點確定在因素范圍的處，后續試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.課后作業1 .閱讀教材P.；2 .學案第一講第三課時.教學后記第一講優選法四、分數法知識與技能：本節結合具體問題介紹分數法，讓學生認識到分數法最優性的含義，并能初步了解它的推導原理，注意斐波那契數列的表示.情感、態度與價值:通過本節內容的學習，豐富了數學內容，傳播了數學文化.一、復習黃金分割法適用目標函數為單峰的情形，第1個試驗點確定在因素范圍的處，后續試點可以用加兩頭，減中間”的方法來確定.用法確定試點時，從第2次試驗開始，每一次試驗都把存優范圍縮小為原來的.因此，n次試驗后的精度為n0.618

9、n1二、新課案例1在配置某種清洗液時，需要加入某種材料.經驗表明，加入量大于130ml肯定不好用150ml的錐形量杯計量加入量，該量杯的量程分為15格,每格代表10ml.用試驗法找出這種材料的最優加入量.斐波那契數列和黃金分割F。1F11. ) ; 3 2 3 5 8 1 2 3 :4 5 F F F F F/ 大10 toitxyto每個月兔子數構成的數列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,1 2 3 5 8 Fn， ，一， ，/ ， ，L2 3 5 8 13 Fn 1這個數列是意大利數學家斐波那契首先給出的，為了紀念他，此數列被稱為斐波那契數列.斐波那契數列有著廣泛的應

10、用，其中之一是由它可以構造出黃金分割常數的近似分數列.數列Fn為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,案例1中，加入量大于130ml時肯定不好，因此試驗范圍就定為0130ml.我們看到，10ml,20ml;,30ml,，120ml把試驗范圍分為13格，對照的漸進分數列，如果用813F5來代替，那么我們有%0(1300)800X250X180130丫IIIIIIIIIIIII用加兩頭，減中間”的方法，X201308050F4F5F6在存優范圍50130ml 內:50X180X3100130II山I111I0F3F4F6繼續用加兩頭，減中間”的方法確定試點，幾次試驗后，就能找到滿意

11、的結果.優選法中，像這樣用漸進分數近似代替確定試點的方法叫分數法.如果因素范圍由一些不連續的、間隔不等的點組成，試點只能取某些特定數，這是只能采用分數法.案例2在調試某設備的線路中，要選一個電阻，但調試者手里只有阻值為，1K,2K,3K,5K,等七種阻值不等的定值電阻.他應當如何優選這個阻值如果用法，則計算出來的電阻調試者手里可能沒有.這時，可以先把這些電阻由小到大的順序排列:阻值（K）1235排列(1)(5)(6)為了便于分數法，可在兩端增加虛點（0）,（8）,使因素范圍湊成為8格，用55代替.8一般地，用分數法安排試點時，可以分兩種情況考慮.（1）可能的試點總數正好是某一個（Fn1）.這時

12、，前兩個試點放在因素范圍的Z和匕位置上，即先在第Fn1和Fn2上做實驗.FnFn（2）所有可能的試點總數大于某一（Fn1）,而小于（Fn+11）.這時可以用如下方法解決.先分析能否減少試點數，把所有可能的試點減少為（Fn-1）個，從而轉化為前一種情形.如果不能減少，則采取在試點范圍之外，虛設幾個試點，湊成Fn+11個試點，從而轉化成（1）的情形.對于這些虛設點，并不增加實際試驗次數.分數法也是適合單因素單峰函數的方法，它與0.618法的本質是相同的，兩者的區別只是用分數匕且代替0.618和0.328來確定試點，后續的步驟FnFn是相同的分數法中，一旦用工確定了第一個試點，后續試點可以用“加兩頭

13、，Fn減中間”的方法來確定.分數法的最優性在目標函數為單峰的情形，通過n次試驗，最多能從（Fn+11）個試點中保證找出最佳點，并且這個最佳點就是n次試驗中的最優試驗點.在目標函數為單峰的情形，只有按照分數法安排試驗，才能通過n次試驗保證從（Fn+11）個試點中找出最佳點.綜上所述，對于試點個數為某常數時，用分數法找出其中最佳點的試驗次數最少，這就是分數的最優性.分數法在有有限個試點優選問題中被廣泛使用.課后作業1.閱讀教材P.教學后記第一講優選法五、其他幾種常用的優選法知識與技能：通過本節內容的學習，結合具體實例了解其他幾種常用的優選法，對分法，盲人爬山法，分批試驗法.情感、態度、價值：通過本

14、部分的學習，可以培養學生的應用能力，同時通過例題的分析與比較，提升思維的比較遷移能力.教學過程;復習1. 法適用目標函數為單峰的情形，第1個試驗點確定在因素范圍的處，后續試點可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.用法確定試點時，從第2次試驗開始，每一次試驗都把存優范圍縮小為原來的.因此，n次試驗后的精度為n0.618n12. 斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13,21,34,F01,F11,F22,F33,F45,F58,F613,F721,F834,F955,3.黃金分割常數的近似分數列12358Fn,235813Fni3 .分數法適用目標函數為單峰的情形，第1個試驗點確定在因素范圍的黃

15、金分割近似分數處，后續試點可以用加兩頭，減中間”的方法來確定.4 .法和分數法的區別法:適合a,b區間上的實數試點問題分數法:適合a,b區間上的有限試點問題5 .分數法的最優性2次試驗可以最多處理2個試點問題3次試驗可以最多處理4個試點問題4次試驗可以最多處理7個試點問題5次試驗可以最多處理12個試點問題6次試驗可以最多處理20個試點問題n次試驗可以最多處理（Fn+11）個試點問題新課一、對分法案例1有一條10km長的輸電線路出現了故障，在線路的一端A處有電，在另一端B處沒有電，要迅速查出故障所在位置.法和分數法都是先做兩個試驗，然后再通過比較，確定存優范圍，不斷地將試驗范圍縮小，最后找到最佳

16、點.現在找輸電線路故障所在位置，我們只需在AB之間的任意點C做檢查，就能根據點C是否有電，判斷出故障在哪一段，從而縮小故障范圍，而不需要做兩個試驗進行比較.那么，如何選取每次的檢查點才能迅速找出故障位置呢？第一個檢查點C安排在線路中間，如果有電，說明故障不在AC而在CB段，接著在CB中點D檢查，如果沒有電，說明故障在CD部分，再在CD中點E檢查，如此類推，很快就能找出故障的位置.illACEDB這個方法的要點是每個試點都取在因素范圍的中點，將因素范圍對分為兩半，所以這種方法就稱為對分法用這種方法做試驗的效果較法好，每次可以去掉一半.那么是不是所有的問題都可以用對分法呢？不是的.如果每做一次試驗

17、，根據結果，可以決定下次試驗的方向，就可以用對分法.例如案例1中，根據有沒有電就可以判斷是哪段線路有故障，下次就在有故障的一段檢查.決定下次試驗方向，只要滿足以下兩個條件就可以：一是要有一個標準,對分法每次只有一個試驗結果，如果沒有一個標準，就無法鑒別試驗結果的好壞，案例1中的標準是有沒有電；二是要預知該因素對指標的影響規律，也就是說，能夠從一個試驗的結果直接分析出該因素的值是取大了還是取小了，案例1中，根據檢查點是否有電，知道下一個應該離A點更近些還是更遠些.如果沒有這一條件就不能確定下一次應該在哪個因素范圍進行試驗.案例2在商品價格競猜游戲中，每一次試猜時，如何給出商品估價就可以最迅速地猜

18、出真實價格？因為每次給出估價都會得到高了“或低了”的提示語，于是，我們可以根據提示語確定下一次該往高還是往低估.這說明可以用對分法給出商品估價，每1一次給出的估價都是存優區間的中點.每給一次估價，可以使價格范圍縮小-,迅速猜中商品價格.可以發現對分法和法及分數法，在確定下一個試點時，比較的對象是不同的.后兩種方法是兩個試點上的試驗結果的比較，而對分法是一個試點上的試驗結果與已知標準（或要求）的比較.所以在滿足目標函數為單峰的假設下，使用對分法還需要滿足具有已知標準這個條件.從效果上看，對分法比法及分數法好，每一次試驗可以去掉一半的因素范圍.相對于法及分數法，對分法更簡單，易操作.思考分別用法和

19、對分法安排試驗，找出蒸饅頭時合適的放堿量，哪種方法會更有效呢為什么二、盲人爬山法在實際的生產實踐和科學試驗中，某些因素不允許大幅度調整.例如，設備正在運行中，如果壞一次損失會很大；某些成分含量的多少對結果影響很大，甚至由于該成分的過量破壞了試驗裝置的清潔度，而影響下一次試驗結果的正確性.這些試驗用法、分數法或對分法就不很合適.這種限制要求我們在原有生產條件的基礎上逐步探索，逐步提高，就像盲人爬山一樣，在立足處，對前后兩個方向進行試探，如果前面高了就向前走一步，否則試探后面，如果前后都比某點低，就說明達到山頂了.盲人爬山法的操作步驟是：先找一個起點A（可以根據經驗或估計），在A點做試驗后可以向該

20、因素的減少方向找一點B'做試驗.如果好，就繼續減少；如果不好，就往增加方向找一點C做試驗.如果C點好就繼續增加，這樣一步一步地提高.如果增加到E點，再增加到F點時反而壞了，這時可以從E點減少增加的步長，如果還是沒有E點好，則E就是該因素的最佳點.這就是單因素問題的盲人爬山法.盲人爬山法的效果快慢與起點關系很大，起點選得好可以省好多次試驗.所以對爬山來說，試驗范圍的正確與否很重要.另外，每步間隔的大小，對試驗效果關系也很大.在實踐中往往采取兩頭小，中間大”的辦法.也就是說，先在各個方向上用小步試探一下，找出有利于尋找目標的方向，當方向確定后，再根據具體情況跨大步，快接近最佳點時再改為小步

21、.如果由于估計不正確，大步跨過最佳點，這時可退回一步，在這一步內改用小步進行.一般說來，越接近最佳點的時候，效果隨因素的變化越緩慢.這個方法還可以應用在某些可變因素要調到某點，必須經過由小到大或由大到小的連續過程的問題上.像改變氣體和液體的流速、溫度；儀器調試中的可變電容、可變電阻；等等，采用爬山法比較合適.試驗中，可以邊調整邊檢查，調到最佳點時就固定下來.一般在大生產中爬山法較常用.三、分批試驗法(1)均分分批試驗法(2)比例分割分批試驗法從效果上看，比例分割法比均勻法好.但是比例分割法每批中的試驗點挨得太近，如果試驗效果差別不顯著的話，就不好鑒別.因此，這種方法比較適用于小的因素變動就能引

22、起結果的顯著變化的情形.究竟一批安排幾個試驗合適呢？這要根據具體的情況而定.如果做一次試驗很方便，消耗很少，時間很短；或檢驗很麻煩，時間又長；或代價很大，而且每次檢驗可以有好多樣品同時進行，在這種情況下每批試驗可多做幾個，即將試驗范圍分得細一些；否則就少做幾個.四、多峰的情形一般可以采用以下兩種方法.(1)先不管它是單峰”還是多峰”，用前面介紹的處理單峰的方法去做，找到一個峰”后，如果達到預先要求，就先應用于生產，以后再找其他更高的峰”即分區尋找).(2)先做一批分布得比較均勻的試驗，看它是否有多峰”現象.如果有，則分區尋找，在每個可能出現高峰”的范圍內做試驗，把這些峰”找出來.第一批分布均勻

23、的試點最好以下述比例分：=:.(圖1)這樣有峰值的范圍總是成(,)或(，)形式(圖2).11111圖11p11圖2課后作業1.閱讀教材P.教學后記第一講優選法六、多因素方法通過本節內容的學習，結合具體實例了解多因素方法.對于多因素問題，應抓住主要因素，略去次要因素，當剩下的因素不能再略去時，就只能用多因素方法了，處理雙因素問題的方法有縱橫對這法，從好點出發法，平行線法，平行線加速法、雙因素盲人爬山法.情感、態度、價值：通過本部分的學習，可以培養學生的應用能力，同時通過例題的分析與比較，提升思維的比較遷移能力.教學過程；一、縱橫對折法用x,y表示兩個因素的取值，z=f(x,y)表示目標函數1I(

24、并不需要z=f(x,y)的真正表達式).雙因素的優選問題，就是迅速地找到二元目標函數z=f(x,y)的最大值(或最小值)及其/對應的(x,y)點的問題.假設函數z=f(x,y)在某一區域內單峰，其幾何意義是把曲面z=f(x,y)看作一座山，頂峰只有一個.雙因素的優選問題就是找出曲面z=f(x,y)的最高峰.把試驗范圍中z=f(x,y)取同一值的曲線叫作等高線，.-二,”就如山上同-高度的點的連線在水平面上的投影.cSB?)等高線一圈套一圈，越高越在里邊.所以雙因素問題就是通過試驗、比較的方法來尋找比較靠里邊的等高線，直到找到最里邊的一圈等高線(即最佳點)為止.以橫坐標表示因素I,縱坐標表示因素

25、II.假設因素I的試驗范圍為ai,bi,因素II的試驗范圍為a2,b2.1先將因素I固定在試驗范圍的中點C1,即1(aibi)* |2處，對因素II進行單因素優選，得到最佳點Ai.同樣將因1素II周止在中點C2,即一(a22)處，對因素I進仃單因2素優選，得到最佳點Bi.比較Ai和Bi的試驗結果，如果Bi比Ai好，則沿壞點Ai所在的線，丟棄不包括好點Bi所在的半個平面區域，即丟棄平面區域：ai<I<ci,a2<II<b2.然后再在因素I的新范圍即(ci,bi的中點di,用單因素方法優選因素II,如果最佳點為A2,而且A2比Bi好，則7&壞點Bi所在的線，丟棄不包

26、括好點A2所在的半個平面區域，即丟棄平面區域：ci<Ibi,a2<II<C2.如此繼續下去，不斷地將試驗范圍縮小，直到找到滿意的結果為止.這個方法稱為縱橫對折法.思考是否每次都要固定在該因素試驗的中點？還有沒有改進的余地不一定.實踐證明，用以下的方法更好.二、從好點出發法* 忖 11先固定因素I于原生產點(或點)C1,用單因素方法優選因素II,得到最佳點為Al(C1,C2),然后把因素II固定在C2,用單因素法優選因素I,得到最佳點B1(dl,C2),則去掉Ai右邊的平面區域，試驗范圍縮小到aKI<ci1,a2&II&b2.再將因素I固定在di,優選因素

27、II,得到最佳點A2(di,d2),則去掉Bi以上部分，試驗范圍縮小到：ai<I<ci,a2&II<c2再將因素II固定在d2,用單因素方法在ai,ci)范圍內優選因素I,這樣繼續下去，就能找到所需要的最佳點.這個方法的要點是：對某一因素進行優選試驗時，另一因素固定在上次試驗結果的好點上(除第一次外)，所以稱為從好點出發法.案例i阿托品是一種抗膽堿藥.為了提高產量、降低成本，利用優選法選擇合適的脂化工藝條件根據分析，主要因素為溫度與時間，定出其試驗范圍為溫度：55C75C,時間：30min2i0min.用從好點出發法對工藝條件進行優選：(i)參照生產條件，先固定溫度為

28、55C,用單因素法優選時間，得最優時間為i50min,其產率為.(2)固定時間為i50min,用單因素法優選溫度，得最優溫度為67C,其產率為.(3)固定溫度為67C,用單因素法再優選時間，得最優時間為80min,其產率為.23（4）再固定時間為80min,又對溫度進行優選，結果還是“67c好.試驗到此結束，可以認為最好的工藝條件為溫度：67C,時間：80min（圖）.實際中采用這個工藝進行生產，平均產率提高了15%.三、平行線法設影響某試驗結果的因素有I、II兩個，而因素II難以調整.首先把難以調整的因素II固定在處，用單因素方法對另一個因素I的進行優選，例如最佳點在Ai處.然后再把因素II

29、固定在的對稱點處，再35用單因素方法對因素I進行優選，例如最佳點在A2處比較A2和Ai兩點上的試驗結果，如果Ai比A2好，則去掉A2以下的部分（圖中陰影部分），即好點不會在因素II的0之間（如果A2比Ai好，則去掉Ai以上的部分，即好點不會在因素的之問）.然后按法找出因素II的第三點.第三次試驗時，將因素II固定在，用單因素優選方法對因素46博1_進行優選，例如最佳點在A3處比較A3和Ai,如果仍然是Ai好帥；一去掉以上部分（圖）.如此繼續下去，直到找到滿意的結果為止.1這個方法的特點是，每次試驗都是在相互平行的直線上做，因此叫做平行線法.因素II上的取點方法是否一定要按法？不一定，也可以用其

30、他方法，例如可以固定在原有生產水平上，這樣可以少做試驗.在用平行線法處理兩因素問題時，不能保證下一條平行線上的最佳點一定優于以前各條平行線上的最佳點，因此，有時為了較快地得到滿意的結果，常常采用平行線加速法.所謂平行線加速”是在求得兩條平行直線11與12上的最佳。點Ai與A2后，比較Ai與A2兩點上的試驗結果，若Ai優于,*1國RIA2,則去掉下面一塊.然后在剩下白范圍內過A2,Ai作直線Li,在Li上用單因素法找到最佳點，設為A3.顯然A3優于Ai.如果對A3的試驗結果還不滿意，則再過A3作li的平行線13,在如13上用單因素法求得最佳點A4.顯然A4優于A3（若A4與A3重合，則可以認為A

31、4即為最佳點），因此可去掉圖的下邊一塊.若A4的試驗結果還不滿意，則在剩下的試驗范圍內過Ai,A4作直線L2,在L2上用單因素法進行優選.依次進行，直到結果滿意為止.對于A2優于Ai的情況也可以類似地討論.案例2除草醴”配方試驗中，所用原料為硝基氯化苯，一二氯苯酚和堿，試驗目的是尋找一二氯苯酚和堿的最佳配比，使其質量穩定、產量高.堿的變化范圍：（克分子比）；酚的變化范圍：（克分子比）.首先固定酚的用量（即處），對堿的用量進行優選，得最優用量為，即圖上的點A1.再固定酚的用量（即處），對堿的用量進行優選，得堿的最優用量為，即圖上的點A2.過Ai,A2作直線L（直線L上的點是酚：堿=1:1）,在直

32、線L上用單因素法進行優選（因為A2優于Ai,所以酚的用量低于時就不必做了），最佳點為A3,即酚與堿的用量均為.四、雙因素盲人爬山法是否一定要找出第一個因素的最佳點，然后再找另一個因素的最佳點呢？不一定，在雙因素尋找最佳點的過程，就像盲人爬山可以朝前后左右四個方向前進一樣.盲人在山上某點，想要爬到山頂，怎么辦？從立足處用明杖向前一試，覺得高些，就往前一步；如果前面不高，向左一試，高就向左一步；不高再試后面，高就退后一步；不高再試右面，高就向右走一步；四面都不高，就原地不動.總之，某個方向高了就朝這個方向走一步，否則試其他方向，這樣一步一步地走，就一定能走上山頂.在尋找最佳點時也可以以起點為中心，

33、向四周探索一下，找出有利于尋找目標的方向，在這個方向上跨一步，然后再探索.這樣邊探索邊前進，直到找到最佳點為止.這就是雙因素問題的盲人爬山法.案例3對某種物品鍍銀時，要選擇氯化銀和氟化鈉的用量，使得鍍銀速度快，質量好.為此采用爬山法選擇最佳點.起點：氟化鈉85g/ml,氯化銀55g/ml,步長:氟化鈉10g/ml,氯化銀5g/m1.試驗過程如圖所示.從起點1開始，向右試探，結果2比1好，繼續向右試探，結果3比2好,再向右試探，結果4不如3好，回到3再向上試探，5比3好，繼續向上試探,6比5好，再繼續試探，直到其他三個方向不如6號，并且6的結果滿足生產條件，即可以停止試驗.課后作業1 .閱讀教材

34、P.;教學后記第二講試驗設計初步一、正交試驗設計法教學過程;為了方便起見，在試驗中變化的因素用A,B,C,表示，因素在試驗中所取的不同狀態稱為水平，因素A的r個不同的水平用Ai,A2,，Ar表示.案例1某化工產品的產量受到溫度A、反應時間B和催化劑濃度C三個因素的影響.在具體生產過程中，根據經驗，溫度、反應時間及催化劑濃度分別可以取兩個水平:溫度：A1=80，A2=90；反應時間：Bi=1h,B2=2h;催化劑濃度：Ci=5%,C2=6%.現要在上述的情況下找出產量最佳的因素組合方案，并分析影響結果的主次因素.如果按它們所有可能組合的情況做試驗，全面試驗為:C1A1B1 、C2/Ci A1B2

35、C2/C A2B1'C/Ci A2B2'C2相互位置如圖所示，每個小黑圓點代表一個試驗，共需做23=8次然后從所有的試驗結果中選擇最佳方案.這樣做，原則上是可以的,A十CI-當因素和水平個數較大時，試驗的次數會相當大（比如因素為4,水平為6時，需64=1296次試驗），實際操作很困難為了減少試驗次數，人們通常會這樣進行試驗：先把兩個因素固定在某個水平上（如A1=80C,B1=1h）,然后將第三個因素的兩個水平C1,C2分別與之搭配進行試驗，若與C1的搭配結果好，則固定C1,并選擇A1,再與B2搭配試驗，并比較與B1搭配的結果.若與B2搭配結果好，則規定C1和B2,再與A1和A2

36、搭配試驗，經比較得到最后的結果，等等.這樣做的問題在于最初選擇的因素C的水平C1是在兩個因素a,B分別固定在A1,B1的情況下得到的，但后來A,B又變化了，這時因素C選擇水平C1不能說一定仍是最好的，所以所得結果未必是最好的.那么，是否有一種方法，只做少量一部分試驗，就能對多個因素同時進行考察，在各個因素都處于變動的情況下，既能找出最優的試驗方案，又能分析出各因素對試驗結果影響的大小呢？人們在長期的科學試驗和生產實踐中，總結出了一種解決這類安排多因素試驗問題的方法一一正交試驗設計法.它借助預先設計好的止交表”來安排試驗和對數據進行統計分析，幫助人們通過較少的試驗次數得到較好的因素組合，正交表有

37、4行，它意味著需要做4次試驗.括號里的指數3表示這張正交表有3列，每列中的數字代表試驗因素，每列僅可放一個因素，它意味著最多可安排3個因素.括號內的數字2表示表的主要部分只有兩種數字一一1和2,它們分別是因素的1水平和2水平的代號，因此L4（23）是一張2水平的正交表.常用的正交表有二水平正交表L4（23）,L8（27）,Li2（211）,Li6（215）;三水平正交表L9（34）,L27（213）;四水平正交表L16（45）.2 .正交試驗設計下面用正交試驗設計法安排案例1中的試驗.首先要確定試驗的因素和水平，這里已知影響試驗結果的有3個因素，每個因素有2個水平；然后根據確定的因素和水平，選

38、用一張合適的正交表.從附錄二中找到二水平正交表有：L4（23）,L8（27）,Li6（215）,L32（231）.本試驗考察3個因素，由于每個因素各需占用1歹I，故所選表的列數不得少于3列.查二水平正交表，從中找出列數不少于3列的最小正交表L4（23）.下面用正交試驗設計法安排案例1中的試驗.接著可以著手安排試驗方案了用L4（23）表安排試驗就是先在表中任選3歹I，由于L4（23）中有且僅有3列，所以就不用選擇了.將溫度A,反應時間B,催化劑濃度C三個試驗因素分別填入1,2,3三列上.哪一個因素安排在哪一列，一般來說是任意的.排定因素后，編排具體試驗方案，就是對號入座”按照這個安排需要做4次試

39、驗.第一個試驗就是按照表的第1行排出的水平組合（Ai,Bi,Ci）,在溫度為80c,反應時間為1h,催化劑濃度為5%的條件下完成；第二個試驗就是按照表的第2行排出的水平組合（A1,B2,C2）,在溫度為80c,反應時間為2h,催化劑濃度為6%的條件下完成；等等.經過試驗，將試驗的結果，即產量列在表2-2中.試耳僉A溫度(°C)B反應時間（h）C催化劑濃度產量1A1(80)B1(1)C1(5%)172A1(80)B2C2(6%)133A2(90)B1(1)C2(6%)194A2(90)B2C1(5%)103 .試驗結果的分析(1) 直接對比法從表2-2的試驗結果列中可以看到，第3號試驗

40、在4個試驗中的產量最高.這種直接對比法的好處是，不必另作計算，只憑試驗結果及實際經驗進行分析.顯然，直接對比的結論十分重要，因為這是拿到手的現實成果.但是，由于每個試驗號之間因素的水平有變化，究竟哪個因素的哪個水平引起試驗結果的好壞，就難于分辨了.而且正交試驗是從所有可能的因素組合中抽取其中一部分做試驗，本案例中從23個組合中抽取了4個.未做過試驗的組合情況如何更好的組合有有沒有漏掉這是難以回答的.顯然，這對選區最優生產條件是一個很大的缺陷.案例1中，除溫度、反應時間和催化劑濃度這三個考察因素之外，其他因素(如測量儀器、操作方法等)也會影響試驗結果.當這些其他因素都處于某種理想狀態時，所得試驗

41、結果叫做理論結果.觀察到的試驗結果與理論結果之間的偏離量，叫做試驗誤差.觀察結果大于理論結果時，誤差為正；反之，誤差為負.如果試驗中考察因素之外的其他因素的狀態差異難以把握，試驗誤差帶有隨機性，則稱之為隨機誤差.一般地說，隨機誤差在試驗活動中是難以避免的.我們要進一步考慮：是否可以設法克服隨機誤差對分析試驗結果的影響(2) 直觀分析法直觀分析法是分析各個因素對試驗結果影響大小的一種數學方法，它彌補了直接對比法的缺陷.用Kpq表示L4（23）表中對應第q列中水平p的試驗結果之和，kpq表示Kpq的平均值，即kpqKpq第q列中水平p重復的次數(q 123, p 1,2)表2-3號ABC產試溫度（

42、oC）反應時間（h）催化劑濃度量1A1(80)B1(1)C1 (5%)172A1(80)B2C2 (6%)133A2(90)B1(1)C2 (6%)194A2(90)B2C1 (5%)10Kq2K1q151813.51k© 2K©14.511.516其中Kii17表2-43013 30, kii- 15; K21 19 10229, k212914.5;號式3小、A 溫度(oC)B 反應時間（h）C 催化劑濃度產量1A1 (80)B1 (1)C1(5%)172A1 (80)B2(2)C2(6%)133A2 (90)BK1)C2(6%)194A2 (90)B2(2)C1(5%

43、)10Iq 3151813.51k2qIK©14.511.516Rq0.56.52.5為了直觀起見，我們把k和R的計算結果繪成產量和因果圖.4,正交表的特性上述特征性在正交表中是通過以下方式表現的:(1)每一列中，不同的數字出現的次數相等，即同一因素的任一水平在試驗中出現的機會相等.例如在表L4(23)中，每一列的水平數字1和2出現的次數都是兩次.(2)任意兩列，將同一行的兩個數字看成有序數對時，每種數對出現的次數相等，即任何兩因素的各種水平搭配，在試驗中出現的機會也相等.例如在表L4(23)中，有序數對共有四個：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),每種出現的次數都是一次.由于實際問題的復雜性，試驗中有各種各樣的情形.有的考慮因素多些，有的考