1、第二章 一維隨機(jī)變量及其分布2009考試內(nèi)容隨機(jī)變量 隨機(jī)變量分布函數(shù)的概念及其性質(zhì) 離散型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 常見隨機(jī)變量的分布 隨機(jī)變量函數(shù)的分布2009考試要求1 理解隨機(jī)變量的概念，理解分布函數(shù)的概念及性質(zhì)，會計算與隨機(jī)變量相聯(lián)系的事件的概率。2 理解離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念，掌握01分布、二項(xiàng)分布、幾何分布、超幾何分布、泊松（Poisson）分布及其應(yīng)用。3 了解泊松定理的結(jié)論和應(yīng)用條件，會用泊松分布近似表示二項(xiàng)分布。4 理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，掌握均勻分布U（a,b）、正態(tài)分布N（）、指數(shù)分布及其應(yīng)用，其中參數(shù)為的指數(shù)分布E（）的概率

2、密度為5 會求隨機(jī)變量函數(shù)的分布。本章導(dǎo)讀 本章的核心內(nèi)容是8大分布函數(shù)及其對應(yīng)的模型；如何根據(jù)定義求的函數(shù)分布一般方法。介紹了作者用于分布函數(shù)求一維分布的直角分割法秘技。分布函數(shù)的定義歷來是使讀者感到迷茫的知識點(diǎn)，如為什么要求分布函數(shù)必須右連續(xù)等問題？目前的教材和參考書的講法都不清晰，作者系統(tǒng)地揭開了這一神秘數(shù)學(xué)面紗。一、 隨機(jī)變量1概 念隨機(jī)試驗(yàn)的每一個可能的結(jié)果（即每一基本事件），對應(yīng)樣本間的集合中每一元素，我們都可以設(shè)令一個實(shí)數(shù)來表示該元素，顯然，為實(shí)值單值函數(shù)，稱為隨機(jī)變量。對，我們試驗(yàn)前無法確定，也就無法事先確定的值，只有在試驗(yàn)后才會知道的值，但取值一定服從某種確定的分布。隨機(jī)變量

3、與普通函數(shù)區(qū)別有三，第一，隨機(jī)變量定義域?yàn)闃颖究臻g的基本事件；第二，隨機(jī)變量取值是隨機(jī)的，只有它取每一個可能值有確定的概率；第三，隨即變量是隨機(jī)事件的人為數(shù)量化，而且這種數(shù)值只是一種符號表示。比如：將一枚硬幣拋三次，以表示三次投擲中出現(xiàn)正面的總次數(shù)，那么，對于樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)，都有一個值與之對應(yīng)，即樣本點(diǎn)的值 3 2 2 2 1 1 1 0二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)2.1 隨機(jī)變量的分布函數(shù)（適合任何類型的隨即變量） 陳氏第2技 隨機(jī)變量的分布函數(shù)的全新揭秘。 分布函數(shù)定義形式的淵源 一般情況下，人們只對某個區(qū)間內(nèi)的概率感興趣，即研究下列四種可能的區(qū)間的概率 讀者只要利用一維坐標(biāo)軸就分容易

4、得出下列結(jié)論當(dāng) 所以，我們只須定義一個形式就可以了，其他區(qū)間形式都可以用它表示出來。于是定義：為的分布函數(shù)。它就是落在任意區(qū)間上的概率，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)，對于離散點(diǎn)，采用疊加，對于連續(xù)點(diǎn)，使用一元積分。具有下列重要性質(zhì)： 單凋不減；因?yàn)閰^(qū)間越大，概率越大。 ； 上述全部可能的表示中，只有，但，因?yàn)榧偃?，那么，當(dāng)離散型在點(diǎn)的概率不為零時，等式就會出現(xiàn)矛盾，故不可能左連續(xù)。其中，是計算離散型分布函數(shù)的重要公式。 又，上式中根本不可能出現(xiàn)的形式，對上述5種關(guān)系沒有任何影響，即右連續(xù)。當(dāng)然，由于連續(xù)型在一點(diǎn)的概率恒為零，所以，連續(xù)型分布函數(shù)左連續(xù)和右連續(xù)同時成立。正是要求右連續(xù)，才使成為分布函數(shù)

5、的普適定義。評 注 分布函數(shù)可以描述任何類型的隨機(jī)變量，不僅可以描述連續(xù)型，還可以描述離散型及其其他非連續(xù)型，但不同的隨機(jī)變量可以有相同的分布函數(shù)。對連續(xù)型任一點(diǎn)的概率等于零，而對非連續(xù)型任一點(diǎn)的概率不一定等于零。我們要重點(diǎn)掌握離散和連續(xù)兩類隨機(jī)變量的分布規(guī)律。注意，存在既非離散型又非連續(xù)型的分布函數(shù)，如等類型，。22 離散型隨機(jī)變量的分布律（概率分布） 當(dāng)隨機(jī)變量所取的有限個或可列個值，能夠按照由小到大的順序排列時，稱為離散型隨機(jī)變量。當(dāng)已知分布函數(shù)，求分布律（概率分布）的計算方法是（參閱【例9】） 。 設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為，事件的概率為 ，離散型分布函數(shù)稱為離散分布律，一般使用列表

6、表示。注意 : 。要求掌握的離散性分布律有5種：分布，伯努利二項(xiàng)分布，泊松分布，幾何分布和超幾何分布。 評 注 離散分布函數(shù)一般為階梯函數(shù)。已知離散分布函數(shù)，根據(jù)分布函數(shù)的性質(zhì)，可以計算出離散分布律；反過來，已知離散分布律，根據(jù)一維直角分割法，可以計算出離散分布函數(shù)。2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度（分布密度） 稱為連續(xù)分布函數(shù) 稱為概率密度，或分布密度。離散型分布函數(shù)反應(yīng)在各個分布點(diǎn)上，而連續(xù)型分布點(diǎn)上的分布函數(shù)為0，顯然不能反應(yīng)其分布本質(zhì)，故而使用其相應(yīng)的概率密度或稱分布密度來反應(yīng)分布規(guī)律。連續(xù)型具有下列性質(zhì) 連續(xù)型是連續(xù)函數(shù)（左右均連續(xù)），即：； 連續(xù)型幾何意義是面積，且：； 要求掌握的

7、連續(xù)型分布函共有3種：均勻分布，指數(shù)分布和正態(tài)分布。陳氏第3技 常年考點(diǎn)用到的 5個分布函數(shù)組合的重要結(jié)論。 只有存在概率密度（不恒為零）的隨機(jī)變量才稱為連續(xù)型，但不能錯誤認(rèn)為分布函數(shù)連續(xù)的隨機(jī)變量為連續(xù)型。如分布函數(shù) 就不是連續(xù)型。 若均是分布函數(shù)，則當(dāng) 時 和仍然為分布函數(shù) 。 若均是分布函數(shù)，則當(dāng) 時 仍然為分布函數(shù)，但不一定是分布函數(shù)。 如果為連續(xù)型，則也是連續(xù)型，且，若如果為離散型，則卻不一定為離散型，如服從泊松分布，就不再是泊松分布。 普適分布函數(shù)和離散型分布函數(shù)右連續(xù)；連續(xù)型分布函數(shù)左右都連續(xù)；但密度函數(shù)不一定連續(xù)，而且一般規(guī)定：區(qū)間端點(diǎn)（注意不是分界點(diǎn)）處密度函數(shù)值取零。評 注

8、 設(shè)和是任意兩個獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為；分布函數(shù)分別為，則解：選。2.4 離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系 可見，積分元在在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用地位相同，這與微分的幾何意義完全一致。2.5 一維隨機(jī)變量的8大分布（3個離散分布+5個連續(xù)分布）（1） 兩點(diǎn)分布（又稱0-1分布）模 型：伯努利試驗(yàn)變量只有兩種可能結(jié)果（對立），隨機(jī)變量使用0與1 兩種取值。如每次發(fā)生的概率為，共試驗(yàn)了1次，求其中發(fā)生的概率（放回抽樣）。 0-1分布為： （2）伯努利二項(xiàng)分布模 型：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，如每次發(fā)生的概率為，共試驗(yàn)了次，求其中發(fā)生次的概率（放回抽樣）。

9、（3）泊松分布模 型：滿足下列條件的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流（一串重復(fù)出現(xiàn)的事件）稱為泊松流。(1)在時間 內(nèi)流過質(zhì)點(diǎn)數(shù)的概率僅與 有關(guān)，與無關(guān)； (2)不相交的時間間隔內(nèi)流過的質(zhì)點(diǎn)數(shù)彼此獨(dú)立； (3)在充分短的一瞬間只能流過一個或沒有質(zhì)點(diǎn)流過，要流過2個或2個以上質(zhì)點(diǎn)幾乎是不可能的。可以證明泊松流在單位時間內(nèi)流過質(zhì)點(diǎn)數(shù)便服從泊松分布。例如：單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的粒子數(shù)；單位時間內(nèi)某電話交換臺接到的呼喚次數(shù)； 單位時間內(nèi)走進(jìn)商店的顧客數(shù)等等；均可認(rèn)為它們服從泊松分布。 當(dāng)很小時，有。【例1】某人進(jìn)行射擊，命中率0.001，獨(dú)立射擊5000次，求射擊中次數(shù)不少于兩次的概率。解：服從二項(xiàng)分布，但由于次數(shù)很

10、大，可用泊松分布計算（4）幾何分布模 型：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，如每次發(fā)生的概率為，試驗(yàn)一直繼續(xù)，直到發(fā)生為止，求第次（放回抽樣）才發(fā)生的概率。 【例2】袋中有個白球，個紅球，從袋中先后取出個球，放回，求第次取到白球的概率。解：服從幾何分布，每次取到白球的概率為 ，則第次取到白球的概率 【例3】5把鑰匙，只有一把能開鎖，如果某次打不開仍不扔掉（放回），求下列事件的概率。（1）第一次打開；（2）第二次打開；（3）第三次打開；解：服從幾何分布 （5）超幾何分布模 型：隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果只有兩種，如件產(chǎn)品，其中有件次品，從中取件（不放回和放回抽樣結(jié)果相等），含有個次品的概率。【例4】袋中有個白球，個紅球，

11、從袋中先后取個球，求含有個白球和紅球概率。解：服從超幾何分布 放回抽樣：不放回抽樣：可見：超幾何分布遵循抽簽原理。（6）均勻分布 模型：設(shè)隨即變量的值落在內(nèi)，其內(nèi)取值具有“等可能”性，即其密度分布在上為常數(shù)，即 【例5】若服從上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率。解：有實(shí)根，則；則有實(shí)根的概率。（7）指數(shù)分布模 型：在實(shí)踐中，如果隨機(jī)變量表示某一隨機(jī)事件發(fā)生所需等待的時間，則一般。例如，某電子元件直到損壞所需的時間（即壽命）；隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間；在某郵局等候服務(wù)的等候時間等等均可認(rèn)為是服從指數(shù)分布。 指數(shù)分布計算中常用到函數(shù)：如 等等。【例6】指數(shù)分布的特點(diǎn)是：“無記憶性”，即。試證明之。證

12、明：（8）正態(tài)分布模 型：在實(shí)踐中，如果隨機(jī)變量表示許許多多均勻微小隨機(jī)因素的總效應(yīng)，則它通常將近似地服從正態(tài)分布。如：測量產(chǎn)生的誤差；彈著點(diǎn)的位置；噪聲電壓；產(chǎn)品的尺寸等等均可認(rèn)為近似地服從正態(tài)分布。盡管它來源于連續(xù)型，但它是任何分布在樣本數(shù)一般大于45時的極限分布。而且，根據(jù)中心極限定理，若干個未知分布的隨機(jī)變量之和近似地服從正態(tài)分布，它是數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)，是概率與數(shù)理統(tǒng)計中的第一大分布。 當(dāng)，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。此時分布函數(shù)為 評 注 8大分布產(chǎn)生的背景如下，伯努利試驗(yàn)產(chǎn)生的分布有：分布，。泊松流產(chǎn)生的分布有：，。誤差產(chǎn)生的分布有：，。【例7】設(shè)，證明 （重要結(jié)論，務(wù)必記住） 證明：根據(jù)概率

13、定義來證明。 設(shè) ，大寫表示隨機(jī)變量，小寫表示隨機(jī)變量取到的值。【例8】設(shè)隨機(jī)變量均服從，若概率，求解：令，注意連續(xù)型，則 分位數(shù)：如無特別說明，正態(tài)分布專指下分位數(shù)；三個抽樣分布專指上分為數(shù)。（1） 上分位數(shù) （2） 下分位數(shù) 評 注 無論哪種分位數(shù)，對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布都有：切 記：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表中使用的 是下分位數(shù)其他三種抽樣分布的查表中則使用的是上分位數(shù)，即： 。參見浙大三版附表25。三、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù) 3.1 離散型陳氏第4技 采用一維直角分割法計算一維分布函數(shù)。 如計算區(qū)間的，先在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，然后，由點(diǎn)向數(shù)軸左邊（往左邊畫是為了滿足的分布函數(shù)定義）畫一個直角區(qū)域，該直

14、角區(qū)域與樣本空間的交集就是所求的，即把該直角區(qū)域包含全部樣本點(diǎn)的概率相加， 如為連續(xù)則相加變?yōu)榉e分。直角分割法也適應(yīng)二維分布，由點(diǎn)向平面左下方畫一個直角區(qū)域即可。【例9】設(shè)的分布函數(shù)為，求的概率分布。解：由于要求右連續(xù)，故等號必須加在號上。又由于每一區(qū)間的為常數(shù)，故具有離散型特征。在處有第一類跳躍間斷點(diǎn)，即在這些點(diǎn)的概率不為零，即正概率點(diǎn)存在。根據(jù)直角分割法，計算如下 的概率分布（即離散分布律）為13【例10】設(shè)隨機(jī)變量的分布為-101230.250.150.35當(dāng)時，求的分布函數(shù)和和的分布。解：上表顯然為離散分布正概率點(diǎn)的值。根據(jù)概率歸一化： 利用直角分割法，如計算區(qū)間的 ，其余區(qū)間類推，故

15、： 評 注 由于分布函數(shù)右連續(xù)，故等號位置不能放在小于號上。-10380.150.450.350.05【例11】已知隨機(jī)變量的分布律為0.200.1求的分布律。解：的所有可能取值為，1 （將的所有取值代入得到）0.10.30.7 3.2 連續(xù)型 如果具有連續(xù)概率密度，處處可導(dǎo)，且不變號，則的概率密度為： 評 注 上述解法由于條件苛刻，應(yīng)用受到限制，而且一般的概率密度并非連續(xù)函數(shù)。所以分布的一般的解法（又稱分布函數(shù)法）是： 首先確定的值域，也可以是開區(qū)間或半開半閉區(qū)間。 ，根據(jù)分布函數(shù)定義求。 新增例子1：設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，分布函數(shù)為，求的分布函數(shù)。解：由分布函數(shù)的性質(zhì)知 當(dāng)時，。新增例子2：

16、設(shè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合分布是正方形上的均勻分布，求的概率密度。解：根據(jù)（值域）。 ； ；（畫圖求面積） 注意，由于分布的概率密度函數(shù)不一定連續(xù)，故一般規(guī)定在端點(diǎn)的密度函數(shù)值為零，故一般來說是個開區(qū)間。【例12】，求的。解：由于不滿足處處可導(dǎo)，故采用一般解法： 【例13】設(shè)隨機(jī)變量，求的分布密度。解 法： 公式法， 而在存在反函數(shù) 且，使用公式法【例14】已知隨機(jī)變量的服從上的均勻分布，求的概率密度。解:： 分布函數(shù)定義法的概率密度為： 先確定的值域?yàn)椤９十?dāng)時的單調(diào)區(qū)域有兩個，即，根據(jù)反函數(shù)的定義，的兩個單調(diào)區(qū)域存在反函數(shù)。使用一般法，得 評 注 如無特別指明，則，而本題為。【例15】，求的概率密度

17、函數(shù)。解：因?yàn)橹笖?shù)分布要求，故不僅處處可導(dǎo)，且存在反函數(shù)，可直接利用公式： 可見，在容易判斷滿足條件情形下，使用公式效率很高。【例16】服從，求, , 的概率密度。解： 一般解法：由，故，當(dāng)當(dāng)時=故的概率密度 公式解法： 由知，當(dāng)時，；當(dāng)時，因?yàn)椴淮嬖诜春瘮?shù)，故使用一般解法 = 由知，當(dāng)時，,當(dāng)時 【例17】 設(shè)都是分布函數(shù)，常數(shù)，證明也是分布函數(shù)，并舉例說明分布函數(shù)不只是離散與連續(xù)兩種。證明：分布函數(shù)的三個基本條件：（1）（2）（3）所以，也是分布函數(shù)。取：，并令由于是不連續(xù)的分段函數(shù)，故即不是離散型，又不是連續(xù)型。【例18】已知，求。解： 又， 故 【例19】設(shè)，證明：。 證明： 又，所以

18、，只需考慮區(qū)間 ，此時 故：。【例20】設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 ，求的分布函數(shù)。解：顯然，當(dāng) 時 【例21】向平面區(qū)域隨機(jī)投擲一點(diǎn)，設(shè)。求 恰好發(fā)生一個的概率；是否獨(dú)立？ 是否獨(dú)立？解：的面積為 恰好發(fā)生一個的概率為 又， 顯然 ，故不獨(dú)立； 又 評 注 求連續(xù)函數(shù)的概率時，積分區(qū)域?yàn)橹苯欠指顓^(qū)域與概率密度分布的正概率點(diǎn)區(qū)域的交 集。如果讀者對二元分布及其邊緣分布不熟悉，可以不看此題的是否獨(dú)立的證 明，以后再回頭來研究。第二章 隨機(jī)變量及其分布模擬題一 填空題1 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 則_。2 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 則常數(shù)C=_。3 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為以Y表示對X的三次獨(dú)立重復(fù)觀

19、察中事件出現(xiàn)的次數(shù)，則P（Y=2）=_。4 設(shè)X服從0，1上的均勻分布，則概率=_。5 設(shè)為其分布函數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)，有_。6 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為 則 _。7 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 又為（0，1）中的一個實(shí)數(shù)，且，則_。8 若 則X的密度函數(shù)的兩個拐點(diǎn)為_。9 設(shè)X服從參數(shù)為的泊松分布，則使得達(dá)到最大的_。10設(shè)X服從0，1上的均勻分布，則隨機(jī)變量的概率密度為_，的概率密度為_。二選擇題1下列函數(shù)中能夠作為分布函數(shù)的是（A） （B）（C） （D） 2設(shè)隨機(jī)變量而且C滿足，則C等于（A）0 （B）2008 （C）1998 （D）2010 3設(shè)為一概率密度，則k的值為（A） （B）

20、 （C） （D） 4下列命題正確的是（A）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。（B）連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)滿足。（C）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。（D）兩個概率密度函數(shù)的乘積還是密度函數(shù)。 5設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為，分布函數(shù)為，且，則對于任意實(shí)數(shù)，有=（A）F(a) （B）（C） （D） 6設(shè) 對于任何正數(shù)，有（A） （B）（C） （D） 7設(shè)都是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則為使是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)，必須滿足（A） （B）（C） （D） 8設(shè)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，是密度函數(shù)，則（A）是密度函數(shù)。（B）是密度函數(shù)。（C）對任何滿足是密度函數(shù)。（D）是分布函數(shù)。 三解答題1設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 求X的分布函數(shù)F（X）和概率。2假設(shè)隨機(jī)變量