第14課函數的微分及其應用課題函數的微分及其應用課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：1．理解函數微分的概念，及其幾何意義2．掌握函數微分的運算3．掌握微分在近似運算中的應用4．掌握用MATLAB求函數導數的方法思政育人目標：由具體問題引出微分的定義，使學生體會到數學是源于生活的，是對實際問題的抽象產生的，不是脫離實際生活的；培養學生的邏輯思維、辯證思維和創新思維能力；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神；引導學生運用所學知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學以致用的目的教學重難點教學重點：函數微分的概念教學難點：微分在近似運算中的應用教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第一節課：課前任務→考勤（2min）→復習（10min）→講授新課（33min）第二節課：講授新課（20min）→課堂測驗（12min）→數學實驗（10min）→課堂小結（3min）→課后拓展教學過程主要教學內容及步驟設計意圖第一節課課前任務【教師】和學生負責人取得聯系，布置課前任務，提醒同學做完作業，在指定時間內交齊【學生】做完作業，在指定時間內交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學習軟件，布置課前問答題：（1）什么是函數的微分？（2）微分有哪些運算？（3）微分在近似計算中有哪些應用？【學生】查找資料，預習教材通過課前的預熱，讓學生了解所學科目的大概方向，激發學生的學習欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數，記錄好考勤【學生】班干部報請假人員及原因培養學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況復習（10min）【教師】提前設計好上節課的復習題目，并針對學生存在的問題及時講解【學生】做復習題目復習上節課所學內容，為講授新課打好基礎講授新課（33min）【教師】講解微分的定義、幾何意義和微分的運算【教師】通過案例導出微分的定義，并通過例題介紹其應用圖3-5先看一個例子：如圖3-5所示，當一塊正方形的金屬薄片受熱膨脹后，其邊長由變到．問此薄片的面積增加了多少？圖3-5變到．從上式可以看出，由兩部分組成：第一部分是，即圖中帶有斜線的兩個矩形面積之和，它是的線性函數；第二部分是，即圖中帶有交叉斜線的小正方形面積．當很小時，是比高階的無窮小，面積的增量可以用近似表示，即，因為，所以一般地，對于函數，當自變量從變到時，函數的增量可表示為．其中，是不依賴的常數，是比高階的無窮小．因此，當很小時，的近似值表示為，稱為的線性主部，由此給出微分的定義．定義若函數在點處具有導數，則稱為在點處的微分，記作，即．通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作，即，則函數在點處的微分可寫成．當函數在點處有微分時，稱函數在點處可微．一般地，函數在區間內任意點的微分稱為函數的微分，記作，即．由得．由此可見，函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數．因此導數也稱微商．例1求函數在，時的改變量及微分．例1解由已知得而，即．例2設，求．例2解由已知得．【教師】通過函數圖像講解微分的幾何意義如圖3-6所示，點和是曲線上鄰近的兩點．為曲線在點處的切線，其傾斜角為，容易得到．這就是說函數在點處的微分，在幾何上表示曲線在點處切線的縱坐標的增量．圖3-6從圖3-6中可以看出，表示與之差．當很小時，與相比是微不足道的，因此可用近似代替．這就是說，當很小時，有．因此在點P的附近，可以用切線段來近似代替曲線段，即．【教師】通過函數微分的定義和導數的基本公式和運算法則，推出微分的基本公式和運算法則，并通過例題介紹其應用根據函數微分的定義及導數的基本公式和運算法則，可直接推出微分的基本公式和運算法則．1．微分的基本公式（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）；（15）； （16）．2．函數和、差、積、商的微分法則設都是的可微函數，為常數，則存在下列微分法則：（1）；（2）；（3）；（4）．這里給出乘積的微分法則的證明．根據微分的定義，有．類似地，可以證明其余法則．3．微分形式的不變性由微分的定義知，當是自變量時，函數的微分是．如果不是自變量而是的可微函數，那么對于復合函數，根據微分的定義和復合函數的求導法則，有．其中，所以上式仍可寫成．由此可見，不論是自變量還是中間變量，函數的微分總是同一個形式：，此性質稱為微分形式的不變性．例3設函數，求．例3解法一直接應用微分公式計算，則有．解法二把看成中間變量，則有例4求函數的微分．例4解由已知得．【學生】理解微分的定義和幾何意義，掌握微分的運算學習微分的概念、微分的幾何意義和微分的運算，使學生體會到數學是源于生活的，是對實際問題的抽象產生的，數學學科不是脫離我們實際生活的，所以要好好學習數學。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化第二節課講授新課（20min）【教師】引入課題——微分在近似計算中的應用．（3-1）由于比容易計算，且誤差很小，因此上式很有實用價值．下面來研究微分在近似計算中的應用．【教師】通過例題，介紹計算函數增量的近似值的方法當很小時，可得．例5例5解設圓片的半徑為，圓片的面積為，于是．由題意知，當，時，圓片面積的改變量為，因此圓片面積增大了約．【教師】通過例題，介紹計算函數值的近似值的方法當很小時，由式（3-1）可得．（3-2）在式（3-2）中，令，（當很小時），可得．（3-3）例6計算的近似值．例6解設，則．因為，所以可取，．由式（3-2）得．例7證明：當較小時，．例7證明設，則，于是，．由式（3-3）得，即證當較小時，．利用式（3-3）可計算函數在點附近的近似值，同時由它可以推出常用的近似公式，即當較小時，有下列常用的近似公式．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．在解決實際問題時，為了簡化計算，經常要用到一些近似公式．由微分得到的上述近似公式，為解決近似計算中的某些問題提供了較好的方法．例8計算的近似值．例8解利用近似公式，得．例9求的近似值．例9解利用近似公式，得．【教師】講解誤差估計，并通過例題介紹其應用如果某個量的精確值為，它的近似值為，那么稱為近似值的絕對誤差，而絕對誤差與的比值稱為近似值的相對誤差．在實際工作中，某個量的精確值往往是無法知道的，于是絕對誤差和相對誤差也就無法求得．但是根據測量儀器的精度等因素，有時能夠確定誤差在某一個范圍內．如果某個量的精確值是，測得它的近似值是，又已知它的誤差不超過，即，則稱為測量的絕對誤差限（簡稱絕對誤差），稱為測量的相對誤差限（簡稱相對誤差）．例10測得圓鋼截面的直徑60.03

mm，測量的絕對誤差限．利用公式計算圓鋼的截面積時，試估計面積的誤差．例10解由已知得．因為的絕對誤差限為，所以

，于是．已知60.03mm，0.05mm，因此面積的絕對誤差為()，面積的相對誤差為．【學生】掌握微分在近似計算中的應用學習微分在近似計算中的應用。邊做邊講，及時鞏固練習，實現教學做一體化課堂測驗（12min）?教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發布測試的題目，并讓學生加入測試。【教師】公布題目的正確答案，每組指定一名答題準確率最高的同學，輔導本組的未答對同學掌握答題知識，實現組內互助【學生】做測試題目【教師】公布題目的正確答案，演示解題過程【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節課知識的印象數學實驗（10min）?使用MATLAB進行數學實驗【教師】演示用MATLAB求函數導數MATLAB中用diff函數來求解函數的導數，可以實現一元函數求導和多元函數求偏導，diff函數的調用格式主要有以下幾種：diff(f)：表示函數f對默認變量x求一階導數；diff(f,t)：表示函數f對變量t求一階導數；diff(f,x,n)：表示函數f對變量x求n階導數．例求函數的一、二階導數.例解在命令窗口中輸入:>>symsx %創建符號變量x>>f=sin(x)/x;>>y1=diff(f) %求一階導數y1=cos(x)/x-sin(x)/x^2 %輸出結果

>>y2=diff(f,x,2) %求二階導數y2=-sin(x)/x-2*cos(x)/x^2+2*sin(x)/x^3 %輸出結果

【學生】觀看、聆聽、記錄、思考通過演示使用MATLAB進行數學實驗的過程，使學生了解數學在實際中的應用課堂小結（3min）【教師】簡要總結本節課的要點本節課上大家理解了函數微分的概念，及其幾何意義，掌握了函數微分的運算和微分在近似運算中的應用，還掌握了用MATLAB求函數導數的方法，課后要多加練習，鞏固認知【學生】總結回顧知識點【教師】布置課后作業：習題3-5、復