1、微觀經濟學：原理與模型第三篇 企業經濟行為第十章 企業最優決策（已精細訂正！）在研究生產函數和成本函數的基礎上，便可以將兩者結合起來，研究企業如何進行最優決策。也可以說，研究生產函數是為了研究成本函數，研究成本函數是為了研究經營決策。根據利潤最大化的企業經濟行為目標，我們首先以靜態分析法研究企業要素投入的最優組合，然后以比較靜態分析法研究企業要素投入最優組合的變動。第一節 要素投入最優組合在市場經濟運行中，盡管企業目標有所不同，但作為資源配置的一種組織形式，都要追求經濟效益，以最小的成本實現最大的產量以一定的成本實現最大的產量，或者以最小的成本實現一定的產量。一、一種變動投入最優組合假如其他投

2、入要素不變，只有一種變動投入勞動，企業如何選擇勞動的最優雇用量呢?圖10.1 對一種要素的需求 圖101表示，在完全競爭條件下，假定由市場供求決定的產品價格和勞動價格都不變，根據邊際生產力遞減法則，一種變動要素投入的邊際生產價值 (即邊際生產收益)，將隨著投入量的增加而下降。在投入量為以下，例如，說明雇用這一單位要素的產品收益大于成本支出，企業獲得利潤。在投入量為時，說明雇用這一單位要素的產品收益等于成本支出，企業收支相抵。在投入量為以上，例如，說明雇用這一單位要素的產品收益小于成本支出，企業得不償失。由于的積分面積最大，表明總利潤最大，企業將雇用要素單位。從企業的收益來看，總產量與產品價格的

3、乘積形成總收益。即從企業的成本來看，要素投入量與要素價格的乘積形成總成本，也就是總支出TE(total expenditure)。即 (102) 平均單位要素的成本稱為平均支出AE(average expenditure)。即 (103) 新增單位要素的成本稱為邊際支出ME(marginal expenditure)。即 (104)利潤為總收益與總支出之差，即為求利潤最大，令則 (105)即 (106)式(106)為雇用一種變動投入的均衡條件。二、兩種變動投入最優組合當要素投入為兩種時，要素投入的最優組合可有兩種方法：在成本既定的條件下實現產量最大化；在產量既定的條件下實現成本最小化。實際上，

4、這是一個對偶規劃，具有同解。(一)成本既定產量最大1等成本線等成本線(isocostline)是指，在要素價格既定的條件下，企業以一定的成本支出所能雇用的兩種要素各種可能的組合。圖10.2 一定成本的最大產量圖102表示，等成本線上任何一點決定的兩種要素組合，總成本都是相等的。設兩種要素為，其價格為，則 (107)將式(107)改寫為等成本線的直線方程式，有 (108)式中，右端第一項為等成本線的縱軸截距，第二項為等成本線的斜率，見圖102中的等成本線。2等產量圖 根據兩種變動投入生產函數的討論，我們可以設想圖102LK平面上由許多條連續生產函數等產量線構成的等產量圖，是其中的三條，。等產量線

5、任何一點切線的斜率，表示其邊際技術替代率 (109)由于 (1010) (1011)3生產者均衡 基于連續性生產函數等產量線的特性，我們以一定的總成本能夠生產的最大產量，就是與既定等成本線相切的等產量線所代表的產量。與等成本線既不相切，也不相交，說明既定成本無法達到這個產量。與相交于，兩點，雖然這兩點所代表的成本支出與既定總成本相等，但，不是最大產量，因此，企業在點或點組織生產是不經濟的。顯然，企業的最優選擇是在與的切點進行生產，這意味著企業以相當于點，所代表的成本支出，達到了相當于的產量。所以，圖102既定等成本線與等產量線的切點正所決定的，的投入量，是企業最優要素投入組合，這時，等產量線的

6、邊際技術替代率正好等于等成本線的斜率。即 (1012)或 (1013)以上兩式說明，兩種變動投入最優組合的條件是：兩種要素的邊際技術替代率等于兩種要素的價格比；或一種要素每增加一單位成本所增加的產量，與另一種投入要素每增加一單位成本所增加的產量相等。在投入要素價格既定條件下，如果兩種變動要素的邊際技術替代率大于要素的價格比(如圖中的點)，企業應設法增加投入，相應減少投入，直到與要素價格比相等為止。同理，當小于要素的價格比(如圖中的點)，企業則應減少投入，增加投入，直到為止。成本既定產量最大的要素投入組合，可用數學式表達如下：這個模型屬于約束極大化問題，可用拉格朗日乘數法求解。令則約束極大值的一

7、階條件為 (1014)或 (1015)式(1014)的左端為等產量線的邊際技術替代率，右端為等成本線的斜率，表明成本既定產出最大的投入要素組合的均衡條件是，邊際技術替代率等于要素投人價格比。(二)產量既定成本最小與成本既定產量最大原理一樣，企業產量既定成本最小的要素投人組合，是既定的等產量線與某一條等成本線切點所代表的要素組合，即圖103中的點。圖10.3 一定產量的最小成本在圖103的LK平面上，由于要素價格既定，可以有許多條斜率相等的等成本線，。顯然，達不到既定的產量，雖然在范圍內可以達到并超過既定產量，但成本過高。而在與的切點，既可以達到既定的產量水平，又是惟一能夠達到這一既定產量的最小

8、成本。 從數學上看，這就是將目標函數與約束條件互換，從求解約束條件下的極大值轉為約束條件下的極小值。利用拉格朗日乘數法，令則或 顯然，產量既定成本最小的要素組合條件，與成本既定產量最大的要素組合條件是一樣的。 借助同樣方法，也可求得多種投入要素的最優組合條件。以表示第種投入要素的價格，則 (1016)式(1016)可稱為邊際報酬均等法則，它是邊際效用均等法則在經營決策中的應用。三、多種變動投入最優組合線性規劃在研究三種以上變動投入的最優組合時，如果有多個約束條件且為不等式，求解起來就比較困難，甚至無解。因此，在研究多種變動投入的最優組合時，線性規劃(1inear programming)得到廣

9、泛的應用。(一)線性規劃的特點從經濟學上看，線性規劃要解決的問題是：假如規模報酬和市場價格不變，企業在技術、財務、制度等多種約束條件下，如何優化各種投入要素的組合，才能做到利潤最大(產量最大或成本最小)?以數學語言表達，線性規劃模型在比例性、可加性、連續性、確定性的假定下，具有以下四個特點：(1)線性規劃模型由目標函數、約束條件、非負限制三組方程構成。(2)方程的變量都是一次的，即生產函數、成本函數、利潤函數均為線性函數。(3)約束條件可以是不等式，不必像拉格朗日乘數法那樣，必須是等式。(4)任何線性規劃的原始規劃(primal programming)，都可能變成其對偶規劃(dual pro

10、graming)，兩者同解。 一般來說，經濟現象都是非線性的，但在一定生產時期或一定產量范圍內，線性規劃還是適用的，至少是近似的，而求解方法卻大為簡化，且有許多現成的軟件包，只要輸入有關數據，可以立即得到答案。(二)線性規劃模型1原始規劃組成原始規劃的模型通常是以下三組方程：由決策變量構成的決策者線性目標函數；由決策變量的線性等式或不等式構成的約束方程；限制決策變量取值范圍的非負約束。其一般形式為 (1017)其中，為目標值；為目標函數系數；為決策變量；為約束方程系數；為約束條件的右邊項。 為討論方便起見，上述原始規劃模型式(1017)常寫成向量和矩陣形式 (1018)其中，2對偶規劃對偶規劃

11、與原始規劃具有內在聯系和對應關系：原始規劃求目標函數最大化，對偶規劃求目標函數最小化；原始規劃目標函數系數成為對偶規劃的右邊項，對偶規劃的目標函數成為原始規劃的右邊項；原始規劃的約束系數矩陣是對偶規劃約束系數矩陣的轉置。若原始規劃模型為式(1017)，則其對偶規劃模型為 (1019)其中，為目標值；為影子價格(shadow price)，是的變動量引起目標值的變動量，反映資源的稀缺程度。 上述對偶規劃模型式(1019)也可以寫成向量和矩陣形式 (1020)其中， 原始規劃與對偶規劃是一對問題，互為對偶。任何線性規劃既可以是原始規劃，也可以是對偶規劃，視決策需要和決策條件而定。(三)線性規劃解法

12、 求解多投入、多產品、多約束的線性規劃，通常采用單純形法，詳見運籌學。這里，僅簡單介紹圖解法和代數法。 莫瑞斯，托馬斯管理經濟學陳章武等譯機械工業出版社20011圖解法 設某公司生產兩種產品，價格分別為。生產這兩種產品需要使用三種不同的機床：每單位產品需要使用6小時機床1，2小時機床2，8小時機床3；每單位產品需要使用3小時機床1，4小時機床2，8小時機床3。但是，該公司只有3臺機床1，2臺機床2，5臺機床3，而且3種機床每天只能工作8小時。若市場銷售不成問題，的單位利潤分別為12，8，怎樣決定，的產量，才能使公司利潤最大?根據以上數據，可以建立原始規劃模型 (1019)78312645783

13、12645圖10.4 線性規劃的圖解法圖104的橫軸表示產品，縱軸表示產品。設式(1021)的約束方程均為等式，則依次可得約束直線方程 (1022)由網紋表示的多邊形為可行域，可行域的任何一點所表示的的組合，都是可行解。式(1021)中的目標函數可以直線方程表示為等利潤線 (1023) 顯然，可行域能夠達到的最高等利潤線是，最優解是邊角點，最大利潤是52。雖然大于，但不在可行域內；雖然能夠達到，但小于。可見，邊角點表示的產品組合是惟一最優解。2、代數法為說明代數法，需要首先引入松弛變量(又稱剩余變量)，即各種并未使用的投入量，使約束方程從不等式變為等式。當決策變量的數目少于約束方程的數目時，必

14、定至少有一種資源未被充分利用。 利用松弛變量，可將原始規劃式(1021)中的不等式變為等式，以便用代數法求解這種標準形式。 (1024) 在圖104中，共有5個邊角點：。這些邊角點所表示的產量組合及其利潤，見表101。表10.1 各邊角點的產量組合及其利潤邊角點00241640004120832400884832020522330048顯然，在這些邊角點中，點C的利潤52最大。這時，表示機床1，機床3都已得到充分利用，屬于有約束條件；，表示機床2尚有剩余工時2，屬于無約束條件。 這個原始規劃模型是在機床工時的約束下，求利潤最大化，其對偶規劃模型則是在產品利潤的約束下，求機床工時最小化的機會成本

15、。 (1025)其中，為機會成本。在對偶規劃中，決策變量為機床工時的影子價格。影子價格是在實現產品利潤的前提下，使總成本最低的最優價格。顯然，生產單位產品的機床工時的影子價格，必須大于或等于單位產品的利潤。 為了用代數法求解對偶規劃模型，列入松弛變量，將式(1025)的約束方程變為標準等式。由于這個對偶規劃是求機會成本最小化，約束條件是大于或等于，引入的松弛變量必須加減號。 (1026)原始規劃模型求解過程表明：任何可行解中非值的最大數目是約束條件的數目。由于這個對偶規劃的約束條件為，只能在非值變量最多為時確定一個可行解。為此，我們從個決策變量中任意挑選個決策變量并設定其值為，然后代人約束方程

16、，求出其他個變量的值。最后，便可從所有可行解中選擇使機會成本最小的最優解。例如，設定的值為，通過式(1026)的第一個約束方程便可求出 同理，通過式(1026)的第二個約束方程便可求出由于為負，這不是一個可行解。又如，設的值為，通過式(1026)的第一個約束方程可求出，通過式(1026)的第二個約束方程可得。由于這個解符合非負約束，是一個可行解。表102包括所有可能的可行解。表10.2 對偶規劃的可行解可行解1001.50460206001.69632.6600406441.3300.5005251.80.6600053.75從表102可以看到，可行解4的機會成本最小，為52。在這個最優解中，機床2工時的影子