1、 三角函數(shù)求值域?qū)ｎ} 求三角函數(shù)值域及最值的常用方法：（1） 一次函數(shù)型：或利用為：， 利用函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解；化為一個角的同名三角函數(shù)形式， （1）：， （2） （3）.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 1 （4）函數(shù)且的值域是_（2）二次函數(shù)型：化為一個角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法、 換元及圖像法求解； 二倍角公式的應(yīng)用：如： （1） （2）函數(shù)的最大值等于 （3）.當(dāng)時，函數(shù)的最小值為 4 （4）.已知k4，則函數(shù)ycos2xk(cosx1)的最小值是 1 （5）.若，則的最大值與最小值之和為_2_（3） 借助直線的斜率的關(guān)系用數(shù)形結(jié)合求解；型如型。此類型最值問題可考慮如下幾

2、種解法：轉(zhuǎn)化為再利用輔助角公式求其最值；利用萬能公式求解；采用數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為斜率問題）求最值。例1：求函數(shù)的值域。解法1：數(shù)形結(jié)合法：求原函數(shù)的值域等價于求單位圓上的點P(cosx, sinx)與定點Q(2, 0)所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖象，當(dāng)過Q點的直線與單位圓相切時得斜率便是函數(shù)得最值，由幾何知識，易求得過Q的兩切線得斜率分別為、。結(jié)合圖形可知，此函數(shù)的值域是。解法2：將函數(shù)變形為，由，解得：，故值域是解法3：利用萬能公式求解：由萬能公式，代入得到則有知：當(dāng)，則，滿足條件；當(dāng)，由，故所求函數(shù)的值域是。解法4：利用重要不等式求解：由萬能公式，代入得到當(dāng)時，則，滿足條件；當(dāng)時

3、，如果t 0，則，此時即有；如果t 0，則，此時有。綜上：此函數(shù)的值域是。例2.求函數(shù)的最小值解法一：原式可化為，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值為解法二：表示的是點與連線的斜率，其中點B在左半圓上，由圖像知，當(dāng)AB與半圓相切時，最小，此時，所以的最小值為（4）換元法代數(shù)換元法代換： 令：再用配方、 例題：求函數(shù)的最大值 解：設(shè)，則，則，當(dāng)時，有最大值為 （5）降冪法型如型。此類型可利用倍角公式、降冪公式進行降次、整理為再利用輔助角公式求出最值。例1：求函數(shù)的最值，并求取得最值時x的值。解：由降冪公式和倍角公式，得 ， ，的最小值為，此時，無最大值。例2. 已知函數(shù)， （I）求的最大值和

4、最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍解：（） 又，即， （）， 且，即的取值范圍是（5）典型應(yīng)用題ABORSPQ扇形的半徑為1，中心角為，是扇形的內(nèi)接矩形，問在怎樣的位置時，矩形的面積最大，并求出最大值解：連接，設(shè)，則，所以當(dāng)時，在圓弧中心位置， 類型6：條件最值問題（不要忘了條件自身的約束）。 例1. 已知，求的最大值與最小值解：（1）由已知得：，則，當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，有最小值例2：已知，求的取值范圍。解：， 。sin=0時，； 時， 。例3 ：求函數(shù)的最大值和最小值，并指出當(dāng)x分別為何值時取到最大值和最小值。解：定義域為0x1，可設(shè)且，即當(dāng)或，即 =0或（此時x=1或

5、x=0），y=1；當(dāng)，即時，（此時），當(dāng)x=0或x=1時，y有最小值1；當(dāng)時，y有最大值。【反饋演練】1 函數(shù)的最小值等于_1_2已知函數(shù)，直線和它們分別交于M，N，則_3當(dāng)時，函數(shù)的最小值是_4 _4函數(shù)的最大值為_，最小值為_.5函數(shù)的值域為 . 6已知函數(shù)，則的值域是 .7已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等 于_8（1）已知，函數(shù)的最大值是_.（2）已知，函數(shù)的最小值是_3_.9在OAB中，O為坐標(biāo)原點，則當(dāng)OAB的面積達(dá)最大值時，_10已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值解：（）因此，函數(shù)的最小正周期為（）因為在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，

6、故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為yxO解法二：作函數(shù)在長度為一個周期的區(qū)間上的圖象如下：由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為11若函數(shù)的最大值為，試確定常數(shù)a的值.解：因為的最大值為的最大值為1，則所以12已知函數(shù)（1）若求使為正值的的集合；（2）若關(guān)于的方程在內(nèi)有實根，求實數(shù)的取值范圍.解：（1） 又 （2）當(dāng)時，則， 方程有實根，得 【高考賞析】（1）設(shè)函數(shù)（其中），且的圖象在軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)為。 （I）求的值。（II）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值。 2.已知函數(shù)f(x)=sin(2x)+2sin2(x) (xR)()求函數(shù)f(x)的最小正周期 ; (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.解:() f(x)=sin(2x)+1cos2(x)= 2sin2(x) cos2(x)+1