1、精選優質文檔-傾情為你奉上2015年全國碩士研究生入學統一考試數學一試題答案一、選擇題:18小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1、設函數在連續，其2階導函數的圖形如下圖所示，則曲線的拐點個數為（）（A）0 （B）1（C）2 （D）3【答案】(C)【考點】拐點的定義【難易度】【詳解】拐點出現在二階導數等于0，或二階導數不存在的點上，并且在這點的左右兩側二階導數異號，因此，由的圖形可知，曲線存在兩個拐點，故選(C).2、設是二階常系數非齊次線性微分方程的一個特解，則（）（A） （B）（C） （D）【答案】(A)

2、【考點】常系數非齊次線性微分方程的解法【難易度】【詳解】為齊次方程的解，所以2、1為特征方程的根，從而再將特解代入方程得：3、若級數條件收斂，則與依次為冪級數的：（A）收斂點，收斂點 （B）收斂點，發散點 （C）發散點，收斂點 （D）發散點，發散點【答案】(B)【考點】級數的斂散性【難易度】【詳解】因為條件收斂，故為冪級數的條件收斂點，進而得的收斂半徑為1，收斂區間為，又由于冪級數逐項求導不改變收斂區間，故的收斂區間仍為，因而與依次為冪級數的收斂點、發散點.4、設D是第一象限中曲線與直線圍成的平面區域，函數在D上連續，則（A） （B） （C） （D）【答案】(D)【考點】二重積分的極坐標變換【

3、難易度】【詳解】由得，；由得，由得，由得，所以5、設矩陣，若集合，則線性方程組有無窮多個解的充分必要條件為（A） （B）（C） （D）【答案】(D)【考點】非齊次線性方程組的解法【難易度】【詳解】有無窮多解或且或6、設二次型在正交變換下的標準形為，其中，若，則在正交變換下的標準形為（A） （B）（C） （D）【答案】(A)【考點】二次型【難易度】【詳解】由，故且：所以，故選(A)7、若為任意兩個隨機事件，則（A） （B）（C） （D）【答案】(C)【考點】【難易度】【詳解】故選8、設隨機變量不相關，且則（A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5【答案】(D)【考點】【難易度】【詳解】二、填空題

4、：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.9、【答案】【考點】極限的計算【難易度】【詳解】10、【答案】【考點】積分的計算【難易度】【詳解】11、若函數由方程確定，則.【答案】【考點】隱函數求導【難易度】【詳解】令，則，又當時，所以，因而12、設是由平面與三個坐標平面所圍成的空間區域，則【答案】【考點】三重積分的計算【難易度】【詳解】由輪換對稱性，得其中為平面截空間區域所得的截面，其面積為.所以13、n階行列式【答案】【考點】行列式的計算【難易度】【詳解】按第一行展開得14、設二維隨機變量服從正態分布，則.【答案】【考點】【難易度】【詳解】，且獨立，三、解答題：1523

5、小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）設函數，若與在是等價無窮小，求，值。【考點】等價無窮小量，極限的計算【難易度】【詳解】是等價無窮小16、（本題滿分10分）設函數在定義域上的導數大于零，若對任意的，曲線在點處的切線與直線及x軸所圍成的區域的面積為4，且，求的表達式.【考點】微分方程【難易度】【詳解】如下圖：處的切線方程為：與軸的交點為：時，則，因此，.即滿足微分方程：，解得：.又因，所以，故.17、（本題滿分10分）已知函數，曲線，求在曲線上的最大方向導數.【考點】方向導數，條件極值【難易度】【詳解】根據方向導數與梯度

6、的關系可知，方向導數沿著梯度方向可取到最大值且為梯度的模.，故故在曲線上的最大方向導數為，其中滿足，即就求函數在約束條件下的最值.構造拉格朗日函數令可得其中綜上根據題意可知在曲線上的最大方向導數為.18、（本題滿分10分）()設函數可導，利用導數定義證明()設函數可導，寫出的求導公式.【考點】導數定義【難易度】【詳解】19、（本題滿分10分）已知曲線的方程為起點為，終點為，計算曲線積分【考點】曲線積分的計算【難易度】【詳解】曲線的參數方程為從到20、（本題滿分11分）設向量組是3維向量空間的一個基，。（）證明向量組是的一個基；（）當k為何值時，存在非零向量在基與基下的坐標相同，并求出所有的。【考點】線性無關，基下的坐標【難易度】【詳解】（）因為，所以線性無關，是的一個基。（）設，為從基到基的過渡矩陣，又設在基下的坐標為，則在基下的坐標為，由，得，即由，得，并解得為任意常數。從而為任意常數。21、（本題滿分11分）設矩陣相似于矩陣.（）求的值.（）求可逆矩陣，使得為對角陣.【考點】相似矩陣，相似對角化【難易度】【詳解】由相似于則解得當特征向量當則特征向量所以得22、（本題滿分11分）設隨機變量的概率密度為對進行獨立重復的觀測，直到第2個大于3的觀測值出現時停止，記為觀測次數.（）求的概率分布；（）求.【考點】【難易度】【詳解】