1、§2矢量的表示及其應(yīng)用xyA (x,y)0圖5-121矢量的直角坐標(biāo)表示利用直角坐標(biāo)系我們可以用有順序的一對(duì)數(shù)字表示矢量。如圖512所示，引進(jìn)坐標(biāo)系oxy后，矢量就可以用它的終點(diǎn)坐標(biāo)（x,y)來表示。這樣。矢量運(yùn)算就可以通過數(shù)量運(yùn)算來進(jìn)行。矢量的相加（或相減），就是相應(yīng)的坐標(biāo)相加（或相減），如圖513所示。yxx1Kx1y1Ky10圖514用表示矢量，用表示矢量，則：如果K取一切正數(shù)，則就表示一條過原點(diǎn)的直線（圖514）2矢量的三角函數(shù)表示圖515（甲）所示，單位矢量OM，其長(zhǎng)度為1，則，即sin、cos可看成單位矢量在特定狀態(tài)下（矢量和OX軸的夾角是時(shí)）在X軸上的投影。如果矢量的長(zhǎng)

2、度不是1而是（圖515乙），那么它的縱坐標(biāo)是，橫坐標(biāo)是，這樣矢量就可以寫成三角函數(shù)式。yx0yx0BMAcossin1甲Ncossin乙圖515yx圖516在解決實(shí)際問題時(shí)，我們又常常把一個(gè)矢量沿相互垂直的坐標(biāo)軸分解，或者用“一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量的投影”這樣的語言。如圖516所示，將矢量沿X軸和Y軸分解，和是矢量在X軸和Y軸方向上的分矢量，因?yàn)樽鴺?biāo)軸的方向已確定，所以分矢量和只要用數(shù)值和和正負(fù)號(hào)就可以把它們的大小和方向完全表示出來。這樣我們就可以省去矢量符號(hào)而簡(jiǎn)單地把它們寫成AX和AY，AX和AY叫做分量，顯然：由于分量是標(biāo)量而不是矢量（分量的正負(fù)表示分矢量的方向跟指定的方向相同或相反）因此，

3、在X軸和Y軸方向上運(yùn)算時(shí)，就可以把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算或三角運(yùn)算。AONB圖517圖517中的是矢量在矢量上的投影，的大小（ON）是的大小（OA）乘上和的夾角的余弦。即。3矢量的復(fù)數(shù)表示Y（虛軸）X（實(shí)軸）OMab圖518如圖518所示，我們以X軸為實(shí)軸，y軸為虛軸，這兩個(gè)坐標(biāo)軸組成復(fù)平面，每個(gè)復(fù)數(shù)（）都可用復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)M表示（這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)是b）也可以用連接為O、M的有向線段（O為起點(diǎn)，M為終點(diǎn)（即矢量來表示）因此，矢量可以寫成復(fù)數(shù)表示式：（復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相當(dāng)于矢量的x, y的分量）同樣利用三角函數(shù)，矢量還可寫成復(fù)數(shù)的三角函數(shù)式：由圖518可見，矢量的長(zhǎng)度為：稱為復(fù)數(shù)的模

4、，由X軸轉(zhuǎn)到矢量的角度稱為幅角。此外利用數(shù)學(xué)上的尤拉公式：，復(fù)數(shù)又可寫成為指數(shù)形式：必須指出：復(fù)數(shù)雖然是“一個(gè)數(shù)”，但具有“大小”和“方向”這兩個(gè)要素，因此我們把復(fù)數(shù)作為描寫矢量或刻劃只有大小和相位的數(shù)量（如諧振量）的工具。例55用計(jì)算法解例47。例47水流向東，速率為2km/h，汽船以8km/h的航速在向東偏北600的方向航行。一位旅客在甲板上散步，速度為1km/h，面向正西北。求旅客對(duì)岸的速度。解：令X軸指向正東，Y軸指向正北，建立直角坐標(biāo)系oxy，將各速度矢量的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn)，作矢量圖（圖519）用表示矢量，用表示矢量，用表示矢量。依速度合成規(guī)律，有：V水對(duì)岸與X軸所成的夾角為：向東偏

5、北。例56在加速行駛的火車上固定一斜面，斜面傾角為（圖520），有一物體靜止在斜面上，如果火車的加速度小于某一值a0,物體就會(huì)下滑。設(shè)物體和斜面間的靜摩擦a0圖520因數(shù)為0，推導(dǎo)a0的表達(dá)式。解：選斜面上的物體為研究對(duì)象，物體受三個(gè)力的作用：重力mg，豎直向下；斜面對(duì)它的支持力N，與斜面垂直向上，靜摩擦力f，沿斜面向上（當(dāng)加速度為a0時(shí)，有最大靜摩擦力）解法一：選取加速度a0的方向?yàn)閄軸正向，與之垂直的方向?yàn)閅軸方向建立直角坐標(biāo)系。將mg、N、f沿X、Y兩個(gè)方向分解（見圖521）得：yxNmgfmoa0圖521根據(jù)牛頓第二定律有：即：（1）（2）解（1）、（2）兩方程得：解法二：斜面是物體的

6、支承面，取沿斜面方向和垂直斜面方向?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系的方位，將N、mg、f進(jìn)行分解（見圖522），得：mg圖522yNfmx0a0a0xa0y根據(jù)牛頓第二定律有：即：解（1）、（2）兩式得：說明：本例是在分析物體受力情報(bào)基礎(chǔ)上，根據(jù)力的獨(dú)立性作用原理（每個(gè)力都能各自獨(dú)立產(chǎn)生相應(yīng)的效應(yīng)的效果），在受力體的適當(dāng)?shù)奈恢媒⒅苯亲鴺?biāo)系，把所有作用于物體上的外力沿兩條互相垂直的坐標(biāo)軸分解，然后利用代數(shù)方法將各分量疊加（各分量的正負(fù)由坐標(biāo)軸的取向決定），最后依據(jù)牛頓第二定律列出方程。在X軸方向上：在Y軸方向上：上述方法稱為正交分解法，其主要優(yōu)點(diǎn)在于：將力和加速度的矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算。若要求合力F，則，F(xiàn)合與

7、X軸的正向的夾角，這樣就可用直角三角形色股定理替換三角形的余弦定理進(jìn)行計(jì)算。正交分析法在解決動(dòng)力學(xué)問題中有重要作用。坐標(biāo)軸的選取需根據(jù)物體的運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，一般取加速度方向和垂直于加速度方向（或沿運(yùn)動(dòng)方向和垂直于運(yùn)動(dòng)方向）。AdcBVBDCl圖5-23例57如圖523所示，金屬矩形框架放在水平位置上，可動(dòng)邊cd可在框架上無摩擦地滑動(dòng)。已知cd的質(zhì)量m=0.05kg，邊長(zhǎng)L0.50m,勻強(qiáng)磁場(chǎng)的B0.50T,方向斜向上與框架平面成150且與線框邊AB，CD垂直，整個(gè)框架電阻R0.20歐，問當(dāng)cd的滑動(dòng)速度達(dá)到多大時(shí)，它才對(duì)框架AD，BC邊沒有壓力。ABCDdcFF1F2BIvGN圖524解：如圖52

8、4所示，由于cd 邊以速度V運(yùn)動(dòng)時(shí)切割了磁感應(yīng)線，產(chǎn)生由d向c的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：線框中的感應(yīng)電流：cd所受的磁場(chǎng)力F垂直于導(dǎo)線cd和磁感應(yīng)強(qiáng)度B所決定的平面，且：將力F沿直方向和水平方向正交分解：F2FF1GBIV圖5-25由此，導(dǎo)線cd在豎直方向上受三個(gè)力：重力G，彈力N，磁場(chǎng)分力FeBr2，（平面圖如圖525所示）為了使cd 對(duì)線框沒有壓力（即N0），必須有：即：即：例58證明質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它在直徑上的投影作簡(jiǎn)諧振動(dòng)地，并寫出其投影在任意時(shí)刻的位移、速度和加速度的表達(dá)式。證明：圖526所示，設(shè)質(zhì)點(diǎn)以勻角速度在半徑為r的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，并設(shè)當(dāng)t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)在M0處，半徑為OM0，與X軸的

9、夾角為，經(jīng)時(shí)間t后，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)M點(diǎn)，半徑OM與X軸的夾角為，M點(diǎn)在X軸（即直徑CB）上的投影為M/,它離開圓心O的位移是矢量在X軸上的投影，其大小：yxM0Maa/M/VV/CBD圖526即：（1）根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，質(zhì)點(diǎn)在M處的線速度的大小：,沿切線方向，加速度的大小為，方向指向圓心。M/既然是M在X軸上的投影，那么M/的速度V/、加速度a應(yīng)分別是M點(diǎn)的速度V和a/在X軸的投影, 即：V/的方向與X軸的取向相反，（2）a/的方向與X軸的取向相反，（3）以（1）代入（3）得：（4）（負(fù)號(hào)表示加速度的方向與位移的方向相反）（4）式表明投影M/的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。（1）、（2）、（3）式告訴我們，投影

10、M/的位移、速度和加速度都是時(shí)間t的正弦或余弦函數(shù)。說明：因?yàn)閯蛩賵@周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在直徑上的投影的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因此我們可借助于勻速園周運(yùn)動(dòng)來研究簡(jiǎn)諧振動(dòng)。M點(diǎn)所描繪的圓稱為M/點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的參考圓。例59如圖527所示，質(zhì)量為m，帶電量為q的帶電粒子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿Y軸正方向以速度V射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，B、E的方向均平行于Z軸的方向。當(dāng)帶電粒子第一次XOZ平面內(nèi)的擋板OACD上的小孔M射出時(shí)，試求帶電粒子的位移。（粒子的重量忽略不計(jì)）。ZxyEBACDOMzxx0圖5-27解：運(yùn)動(dòng)電荷進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)后，受到洛侖茲力和電場(chǎng)力作用：在OXY平面內(nèi)與垂直

11、，大小為：方向沿Z軸向上，大小為：因?yàn)镕B與FE互相垂直，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理，我們分別在XOY平面內(nèi)，和沿Z軸方向考慮粒子的運(yùn)動(dòng)。在XOY平面內(nèi)，由于，粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且圓周與坐標(biāo)原點(diǎn)O相切，半徑（），圓心在X軸上，其坐標(biāo)，當(dāng)粒子第一次從擋板的小孔M射出時(shí)，必須滿足y=0在Z軸方向上粒子作初速度為零，加速度為的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)的Z坐標(biāo)應(yīng)是：矢徑的長(zhǎng)度：矢徑與X軸的夾角：即帶電粒子的位移的大小等于：，方向在OXZ平面內(nèi)，現(xiàn)X軸的夾角例510用計(jì)算法解例48例48：某人以4km/h的速率向正東方向前進(jìn)時(shí)，感覺風(fēng)從正北方向吹來，若將速率增一倍，則感覺風(fēng)從東北方向吹來。求風(fēng)速和風(fēng)向。解：令x軸為實(shí)數(shù)軸，指向東；y軸為虛數(shù)軸，指向北，作速度矢量圖，如圖528所