1、2021-2022學年福建省三明市高二（上）期末數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，僅有一項是符合題目要求的1（5分）直線xy+10的傾斜角是（）A4B3C34D232（5分）已知雙曲線C：x2my24=1的漸近線方程是y=23x，則m（）A3B6C9D1693（5分）已知圓C1：x2+y24y0，圓C2：x2+y22x2y+10，則兩圓的位置關系為（）A內切B相交C外切D外離4（5分）在四面體OABC中，設OA=a，OB=b，OC=c，OE=3EA，若F為BC的中點，P為EF的中點，則OP=（）A38a+14b+14cB13a+14b+14cC23

2、a+14b+14cD14a+38b+14c5（5分）函數yf（x）的圖象如圖所示，f（x）是f（x）的導函數，則下列數值排序正確的是（）Af（2）f（3）f（2）f（3）Bf（3）f（2）f（3）f（2）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）6（5分）已知等比數列an滿足a22，a2+a4+a642，則a6+a8+a10（）A168B210C672D10507（5分）已知直線l：y=3（x+c）過橢圓x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為線段PF的中點，若|OQ|c，則橢圓的離心率為（）A312B31C22D128（5分）瑞士

3、數學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的幾何學一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上后人稱這條直線為歐拉線已知ABC的頂點A（2，0），B（0，2），其歐拉線方程為2xy20，則頂點C的坐標是（）A（185，165）B（165，185）C（3613，5013）D（5013，3613）二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分（多選）9（5分）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則（）A點C1的坐標為（2

4、，0，2）BC1A=(2，2，2)CBD1的中點坐標為（1，1，1）D點B1關于y軸的對稱點為（2，2，2）（多選）10（5分）已知兩條直線l1：（a2）x+3y+2a0，l2：x+ay+60，則下列結論正確的是（）A當a=12時，l1l2B若l1l2，則a1或a3C當a2時，l1與l2相交于點（103，43）D直線l1過定點（2，43）（多選）11（5分）已知數列an的前n項和為Sn，下列說法正確的是（）A若Sn=2n2+n+1，則an為等差數列B若Sn=2n1，則an為等比數列C若an為等差數列，則2an為等比數列D若an為等差數列，S8S9S7，則a7a8a9a10（多選）12（5分）已

5、知拋物線y24x的焦點為F，準線與x軸交于點P，直線xmy+n與拋物線交于M，N兩點，則下列說法正確的是（）Am2+n0B|MN|xM+xN+2C若PM=2PN，則|MF|2|NF|D若n1，則MPF的最大值為3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13（5分）已知平面，的法向量分別為n1=（1，y，4），n2=（x，1，2），若a，則xy的值為 14（5分）函數f（x）xlnx的導函數f（x） 15（5分）若方程（m1）x2+（m3）y2（m1）（m3）表示的曲線是雙曲線，則實數m的取值范圍是 ，該雙曲線的焦距是 16（5分）設P為圓C：（x4）2+y24上一動點，Q為直線l：x+y

6、70上一動點，O為坐標原點，則|PO|+2|PQ|的最小值為 四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）ABC的三個頂點分別為A（1，3），B（3，1），C（4，0）（1）求ABC的外接圓M的方程；（2）設直線l：2x+y10與圓M交于P，Q兩點，求|PQ|的值18（12分）已知等差數列an的公差為整數，Sn為其前n項和，a37，a1a2a3105（1）求an的通項公式；（2）設bn=1Sn，數列bn的前n項和為Tn，求T819（12分）已知動點M到點F（0，12）的距離與它到直線y=12的距離相等（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點P（12，1

7、）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程20（12分）如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，M為BC的中點，PN=23PA，PDDC2（1）證明：DNPM；（2）設平面PAB平面PCDl，求l與平面MND所成角的正弦值21（12分）某企業2021年年初有資金5千萬元，由于引進了先進生產設備，資金年平均增長率可達到50%每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產設從2021年的年底起，每年年底企業扣除消費基金后的剩余資金依次為a1，a2，a3，（1）寫出a1，a2，a3，并證明數列an3是等比數列；（2）至少到哪一年的年底，企業的剩余資

8、金會超過21千萬元？（lg20.3010，lg30.4771）22（12分）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（ab0）過點A（0，2），且與雙曲線x24y22=1有相同的焦點（1）求橢圓C的方程；（2）設M，N是橢圓C上異于A的兩點，且滿足kMA+kNA1，試判斷直線MN是否過定點，并說明理由2021-2022學年福建省三明市高二（上）期末數學試卷答案解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，僅有一項是符合題目要求的1（5分）直線xy+10的傾斜角是（）A4B3C34D23【考點】直線的傾斜角 【分析】由已知直線方程求得斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解【

9、解答】解：直線xy+10的斜率k1設其傾斜角為（0），則tan1，得=4故選：A【點評】本題考查由直線方程求直線的斜率，考查斜率與傾斜角的關系，是基礎題2（5分）已知雙曲線C：x2my24=1的漸近線方程是y=23x，則m（）A3B6C9D169【考點】雙曲線的性質 【分析】利用已知條件列出方程，求解即可【解答】解：雙曲線C：x2my24=1的漸近線方程是y=23x，所以2m=23，解得m9故選：C【點評】本題考查了雙曲線的漸近線的方程的應用，屬于基礎題3（5分）已知圓C1：x2+y24y0，圓C2：x2+y22x2y+10，則兩圓的位置關系為（）A內切B相交C外切D外離【考點】圓與圓的位置關

10、系及其判定 【分析】求出兩圓的圓心和半徑，根據圓心距與半徑和與差的關系，判斷圓與圓的位置關系【解答】解：O1：x2+y24y0的圓心為O1（0，2），半徑r2，O2：x2+y22x2y+10的標準方程為（x1）2+（y1）21，圓心為O2（1，1），半徑R1，兩圓的圓心距|O1O2|=11+(12)2=2，2122+13，故兩圓相交，故選：B【點評】本題主要考查圓與圓的位置關系的判斷，是基礎題4（5分）在四面體OABC中，設OA=a，OB=b，OC=c，OE=3EA，若F為BC的中點，P為EF的中點，則OP=（）A38a+14b+14cB13a+14b+14cC23a+14b+14cD14a+

11、38b+14c【考點】空間向量基本定理、正交分解及坐標表示 【分析】利用空間向量的線性運算法則求解【解答】解：畫出圖形，如圖所示，則OP=OE+EP=OE+12EF=OE+12(OFOE)=12OF+12OE=1212(OB+OC)+1234OA=14（b+c）+38a =38a+14b+14c故選：A【點評】本題主要考查了空間向量的線性運算法則，是基礎題5（5分）函數yf（x）的圖象如圖所示，f（x）是f（x）的導函數，則下列數值排序正確的是（）Af（2）f（3）f（2）f（3）Bf（3）f（2）f（3）f（2）Cf（2）f（3）f（3）f（2）Df（3）f（2）f（2）f（3）【考點】利用

12、導數研究函數的單調性 【分析】結合導數的幾何意義確定正確選項【解答】解：f（3）f（2）=f(3)f(2)32，表示（2，f（2），（3，f（3）兩點連線的斜率，f（2）表示f（x）在x2處切線的斜率；f（3）表示f（x）在x3處切線的斜率；根據f（x）圖象可知，f（2）f（3）f（2）f（3）故選：A【點評】本題考查了導數的幾何意義、數形結合思想及過兩點斜率的公式，難點在于將f（3）f（2）轉化為過（2，f（2），（3，f（3）兩點連線的斜率，屬于基礎題6（5分）已知等比數列an滿足a22，a2+a4+a642，則a6+a8+a10（）A168B210C672D1050【考點】等比數列的性質

13、 【分析】設等比數列an的公比為q，根據題意可得2+2q2+2q442，即q4+q2200，從而解得q24或q25（舍去），進一步利用a6+a8+a10（a2+a4+a6）q4進行求解即可【解答】解：設等比數列an的公比為q，由a22，a2+a4+a642，得2+2q2+2q442，即q4+q2200，解得q24或q25（舍去），所以a6+a8+a10（a2+a4+a6）q44242672故選：C【點評】本題考查等比數列的通項公式，考查學生邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎題7（5分）已知直線l：y=3（x+c）過橢圓x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為

14、線段PF的中點，若|OQ|c，則橢圓的離心率為（）A312B31C22D12【考點】橢圓的性質 【分析】直線l的傾斜角為60，可得PFM60，又O是FM的中點，Q是PF的中點，所以|OQ|=12|PM|，PFM是等邊三角形，可得2a2c+2c，計算可得離心率【解答】解：直線l：y=3（x+c）的斜率為3，所以直線l的傾斜角為60，直線l：過橢圓x2a2+y2b2=1（ab0）的左焦點F，設橢圓的右焦點為M，所以PFM60，又O是FM的中點，Q是PF的中點，所以|OQ|=12|PM|，又|OQ|c，所以|PM|2c，又|FM|2c，所以PFM是等邊三角形，所以|PF|2c，又P在橢圓上，所以|P

15、M|+|PF|2a2c+2c，所以2a4c，所以離心率為e=ca=12，故選：D【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，屬中檔題8（5分）瑞士數學家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的三角形的幾何學一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上后人稱這條直線為歐拉線已知ABC的頂點A（2，0），B（0，2），其歐拉線方程為2xy20，則頂點C的坐標是（）A（185，165）B（165，185）C（3613，5013）D（5013，3613）【考點】歐拉公式的應用 【分析】設出點C的坐標，由重心坐標公式求得重心，代入歐拉線得一方程，求出AB的垂直平分線，和歐拉線方程聯立求得

16、三角形的外心，由外心到兩個頂點的距離相等得另一方程，兩方程聯立求得點C的坐標【解答】解：設C（m，n），由重心坐標公式得，三角形ABC的重心為（2+m3，2+n3），代入歐拉線方程得：22+m32+n320，整理得：2mn40 AB的中點為（1，1），kAB=2002=1，AB的中垂線方程為y1x1，即yx聯立y=x2xy2=0，解得x=2y=2ABC的外心為（2，2）則（m2）2+（n2）24，整理得：m2+n24m4n+40 聯立得：m=185，n=165或m2，n0當m2，n0時A，C重合，舍去頂點C的坐標是（185，165）故選：A【點評】本題考查直線方程的求法，訓練了直線方程的點斜式

17、，考查了方程組的解法，是基礎的計算題二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分（多選）9（5分）已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則（）A點C1的坐標為（2，0，2）BC1A=(2，2，2)CBD1的中點坐標為（1，1，1）D點B1關于y軸的對稱點為（2，2，2）【考點】空間向量及其線性運算 【分析】由圖求得正方體各頂點的坐標，然后逐一分析四個選項得答案【解答】解：由題意可知，A（2，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），C1（0，2

18、，2），D1（0，0，2），則C1A=(2，2，2)，BD1的中點坐標為（2+02，2+02，0+22=（1，1，1），點B1關于y軸的對稱點為（2，2，2），故選：BCD【點評】本題考查空間向量的線性運算，考查數形結合思想，是基礎題（多選）10（5分）已知兩條直線l1：（a2）x+3y+2a0，l2：x+ay+60，則下列結論正確的是（）A當a=12時，l1l2B若l1l2，則a1或a3C當a2時，l1與l2相交于點（103，43）D直線l1過定點（2，43）【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關系 【分析】根據直線平行和垂直判斷AB，根據方程組的解判斷C，根據直線過定點求出點的坐標即可判斷

19、D【解答】解：若l1l2，則1（a2）+3a0，解得a=12，故A正確；若l1l2，則a（a2）130，解得a1或a3，當a3時，l1與l2重合，故a1，故B錯誤；當a2時，由3y+4=0x+2y+6=0，解得x=103，y=43，故l1與l2相交于點（103，43），故C正確；直線l1：（a2）x+3y+2a0過定點，則a（x+2）2x+3y0，即x+2=02x+3y=0，解得x2，y=43，故D正確故選：ACD【點評】本題考查兩直線平行和垂直，兩直線的交點，直線過定點，屬于基礎題（多選）11（5分）已知數列an的前n項和為Sn，下列說法正確的是（）A若Sn=2n2+n+1，則an為等差數列

20、B若Sn=2n1，則an為等比數列C若an為等差數列，則2an為等比數列D若an為等差數列，S8S9S7，則a7a8a9a10【考點】等比數列的性質 【分析】利用an=S1，n=1SnSn1，n2并結合等差數列與等比數列的定義即可判斷選項AB；設等差數列an的公差為d，確定2an+12an為常數即可判斷選項C；結合通項公式利用作差法即可判斷選項D【解答】解：對于A：當n1時，a1S14，當n2時，Sn12（n1）2+n1+12n23n+2，則anSnSn12n2+n+1（2n23n+2）4n1（n2），又a14不滿足上式，所以an=4，n=14n1，n2，an不是等差數列，選項A錯誤；對于B：

21、當n1時，a1S1211，當n2時，Sn12n11，則anSnSn12n1（2n11）2n1，所以an+1an=2n2n1=2，a1201，所以an是等比數列，選項B正確；對于C：設等差數列an的公差為d，則2an+12an=2an+1an=2d為常數，所以2an為等比數列，選項C正確；對于D：設等差數列an的公差為d，由S8S9S7，得a90a8+a90a10d0，即a1+8d02a1+15d0a10d0，所以152da18d，所以a7a8a9a10（a1+6d）（a1+7d）（a1+8d）（a1+9d）4a11d30d24d（a1+152d）0所以a7a8a9a10，選項D正確故選：BCD

22、【點評】本題考查利用數列的前n項和求通項的方法，即等差數列等比數列的判斷，等差數列的通項公式等，考查學生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于中檔題（多選）12（5分）已知拋物線y24x的焦點為F，準線與x軸交于點P，直線xmy+n與拋物線交于M，N兩點，則下列說法正確的是（）Am2+n0B|MN|xM+xN+2C若PM=2PN，則|MF|2|NF|D若n1，則MPF的最大值為3【考點】直線與拋物線的綜合 【分析】根據拋物線的定義及簡單幾何性質對選項進行逐一計算驗證【解答】解：由拋物線的方程可得準線方程為x1，則P（1，0），聯立x=my+ny2=4x，整理可得y24my4n0，則（4m）24（4n

23、）0，可得m2+n0，所以A正確；只有直線MN過焦點F時，|MN|xM+xN+2，所以B不正確；C中，當PM=2PN，則P，M，N三點共線，即n1，|MF|xM+1，|NF|xN+1，則直線MN的方程為：xmy1，代入拋物線的方程可得y24my+40，設M（x1，y1），N（x2，y2），可得y1+y24m，y1y24，x1+x2m（y1+y2）24m22，可得（x1+1，y1）2（x2+1，y2），則可得y12y2，所以|MF|x1+1my11+1my1，|NF|x2+1my21+1my2，所以|MF|2|NF|，故C正確；當PM與拋物線相切時，MPF最大，設過P（1，0）的拋物線的切線為y

24、k（x+1），y=k(x+1)y2=4x，消去y整理得k2x2+（2k24）x+k20，所以0得（2k24）24k40，解得k1，所以MPF的最大值為4，故D錯誤；故選：AC【點評】本題考查了直線與拋物線的綜合，屬于難題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13（5分）已知平面，的法向量分別為n1=（1，y，4），n2=（x，1，2），若a，則xy的值為 8【考點】向量語言表述面面的垂直、平行關系 【分析】根據題意，由a，可得n1n2=xy80，然后求出xy的值【解答】解：根據題意，平面，的法向量分別為n1=（1，y，4），n2=（x，1，2），若a，則有n1n2=xy80，即xy8故

25、答案為：8【點評】本題考查空間向量的應用，向量垂直的性質，屬于基礎題14（5分）函數f（x）xlnx的導函數f（x）lnx+1【考點】導數的運算 【分析】根據導數的運算法則計算即可【解答】解：f（x）（x）lnx+x（lnx）lnx+1，故答案為：lnx+1【點評】本題考查了導數的運算法則，屬于基礎題15（5分）若方程（m1）x2+（m3）y2（m1）（m3）表示的曲線是雙曲線，則實數m的取值范圍是 （1，3），該雙曲線的焦距是 22【考點】雙曲線的性質 【分析】由題意可得（m1）（3m）0，進一步得到關于m的不等式組求解【解答】解：由（m1）x2+（m3）y2（m1）（m3）所表示的曲線是雙

26、曲線，可知（m1）（m3）0，解得m（1，3），雙曲線的焦距：2|m3+1m|=22故答案為：（1，3）；22【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，是基礎題16（5分）設P為圓C：（x4）2+y24上一動點，Q為直線l：x+y70上一動點，O為坐標原點，則|PO|+2|PQ|的最小值為 42【考點】直線與圓的位置關系 【分析】取點A（3，0），可得CAPCPO，從而|PO|2|PA|，|PO|+2|PQ|2|AQ|，從而可求解【解答】解：取點A（3，0），則ACPC=PCOC=12，CAPCPO，|PO|2|PA|，|PO|+2|PQ|2|PA|+2|PQ|2|AQ|42當且僅當AQ直線l時

27、取等號故答案為：42【點評】本題考查直線與圓的位置關系，求距離最小值問題，屬中檔題四、解答題：本題共6小題，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分）ABC的三個頂點分別為A（1，3），B（3，1），C（4，0）（1）求ABC的外接圓M的方程；（2）設直線l：2x+y10與圓M交于P，Q兩點，求|PQ|的值【考點】圓的標準方程；直線與圓的位置關系 【分析】（1）設出圓的一般式方程，代入三個點的坐標，求解D、E、F的值，則圓的方程可求；（2）化圓的方程為標準方程，求得圓心坐標與半徑，再由垂徑定理求弦長【解答】解：（1）設ABC的外接圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F0，則1

28、0+D+3E+F=010+3DE+F=016+4D+F=0，解得D=4E=2F=0ABC的外接圓M的方程為x2+y24x2y0；（2）由（1）得圓M：x2+y24x2y0，即（x2）2+（y1）25圓心M（2，1），半徑r=5，圓心到直線2x+y10的距離d=|4+11|5=455，|PQ|=25(455)2=655【點評】本題考查圓的方程的求法，考查直線與圓位置關系的應用，考查運算求解能力，是中檔題18（12分）已知等差數列an的公差為整數，Sn為其前n項和，a37，a1a2a3105（1）求an的通項公式；（2）設bn=1Sn，數列bn的前n項和為Tn，求T8【考點】數列的求和 【分析】（

29、1）由題意可知2a2a1=7a1a2=15，結合公差為整數，求出a1，a2的值，進而求出公差，得到an的通項公式（2）（1）可知Sn=n(a1+an)2=n（n+2），所以bn=1Sn=1n(n+2)=12(1n1n+2)，再利用裂項相消法即可求出T8【解答】解：（1）設等差數列an的公差為d，則dZ，a37，a1a2a3105，2a2a1=7a1a2=15，解得a1=3a2=5或a1=10a2=32，又dZ，a13，a25，da2a12，ana1+（n1）d2n+1（2）由（1）可知Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n（n+2），bn=1Sn=1n(n+2)=12(1n1n+2

30、)，T8b1+b2+b8=12（113）+（1214）+（1315）+（1719）+（18110）=12（1+1219110）=2945【點評】本題主要考查了等差數列的通項公式和前n項和公式，考查了裂項相消法求和，同時考查了學生的計算能力，屬于中檔題19（12分）已知動點M到點F（0，12）的距離與它到直線y=12的距離相等（1）求動點M的軌跡C的方程；（2）過點P（12，1）作C的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，求直線AB的方程【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；軌跡方程；直線與拋物線的綜合 【分析】（1）設M（x，y），列出關系式，求解軌跡方程即可（2）設切線的方程為：y+1=k

31、(x12)，與拋物線方程x22y聯立，求出A（1，12），B（2，2），得到切線方程解法二：（1）同解法一（2）利用函數的導數求解切線的斜率，切線切點坐標，得到切線方程【解答】解法一：（1）設M（x，y），則x2+(y12)2=|y+12|，（2分）解得x22y所以該拋物線的方程為x22y；（4分）（2）依題意，切線的斜率存在，設切線的方程為：y+1=k(x12)，與拋物線方程x22y聯立，得x22kx+2+k0，（6分）令4k24（k+2）0，得k1或k2（8分）從而x2+2x+10或x24x+40，解得x1或x2，所以切點A（1，12），B（2，2），（10分）直線AB的斜率為2122(1

32、)=12，所以直線AB的方程為y2=12(x2)，整理得x2y+20（12分）解法二：（1）同解法一（4分）（2）由x22y可得y=x22，所以yx，（5分）設切點為（x0，x022），則切線的斜率kx0（6分）又切線過點P（12，1），所以x022+1x012=x0，整理得x02x02=0（8分）解得x01或x02，所以切點的坐標為A（1，12），B（2，2），（10分）所以直線AB的斜率為k=2122(1)=12，所以直線AB的方程為y2=12(x2)，整理得x2y+20（12分）【點評】本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關系的綜合應用，函數的導數的應用，是中檔題20（12分）如圖

33、，四棱錐PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，M為BC的中點，PN=23PA，PDDC2（1）證明：DNPM；（2）設平面PAB平面PCDl，求l與平面MND所成角的正弦值【考點】直線與平面垂直；直線與平面所成的角 【分析】解法一：（1）以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，通過DNPM=0，證明DNPM（2）證明CDAB，CDl，說明CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角求出平面MND的一個法向量，求出DC=(0，2，0)，利用空間向量的數量積求解即可解法二：（1）取AD的中點Q，連接PQ，MQ，在正方形ADPA1

34、中，延長DN交AA1于G，則ANGPND證明DGPQ，即DNPQ，推出QMDC，得到QM平面PAD，證明DN平面PQM，推出DNPM（2）同解法一【解答】解法一：（1）PD平面ABCD，CDAD，以點D為坐標原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，（1分），則 D（0，0，0），N（43，0，23），P（0，0，2），M（1，2，0），（3分）所以DN=(43，0，23)，PM=(1，2，2)，所以DNPM=4343=0，（4分）所以DNPM（5分）（2）由正方形ABCD得，CDAB，AB平面PAB，CD平面PAB，CD平面PAB；又CD平面PCD

35、，平面PAB平面PCDl，CDl；（8分）于是CD與平面MND所成的角即為l與平面MND所成的角由（1）知，DN=(43，0，23)，DM=(1，2，0)設平面MND的一個法向量n=（x，y，z），則nDN=0nDM=0，即43x+23z=0x+2y=0，取x2，則y1，z4，于是n=（2，1，4）是平面MND的一個法向量，（10分）因為DC=(0，2，0)，設l與平面MND所成角為，則sin=|cosDC，n|=224+1+16=2121（12分）解法二：（1）依題意，將幾何體補形為一個棱長為2的正方體ABCDA1B1C1P，如圖所示，（1分）取AD的中點Q，連接PQ，MQ，在正方形ADPA

36、1中，延長DN交AA1于G，則ANGPNDANPN=AGPD=12，即G為AA1的中點，（2分）DGPQ，即DNPQ，（3分）DC平面PAD，QMDC，QM平面PAD，又DN平面PAD，QMDN，又QMPQQ，DN平面PQM，PM平面PQMDNPM（5分）（2）同解法一（12分）【點評】本題考查直線與平面垂直，直線與平面平行的判斷定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，轉化思想以及計算能力，是中檔題21（12分）某企業2021年年初有資金5千萬元，由于引進了先進生產設備，資金年平均增長率可達到50%每年年底扣除下一年的消費基金1.5千萬元后，剩余資金投入再生產設從2021年的年底

37、起，每年年底企業扣除消費基金后的剩余資金依次為a1，a2，a3，（1）寫出a1，a2，a3，并證明數列an3是等比數列；（2）至少到哪一年的年底，企業的剩余資金會超過21千萬元？（lg20.3010，lg30.4771）【考點】根據實際問題選擇函數類型 【分析】（1）由題意可知，a151.51.56，a261.51.57.5，a37.51.51.59.75，再結合等比數列的性質，即可求解（2）由（1）知，an3=31.5n1，則an=3+31.5n1，令3+31.5n121，再結合對數函數的公式，即可求解【解答】證明：（1）由題意可知，a151.51.56，a261.51.57.5，a37.51.51.59.75，因為an+11.5an1.5，所以an+131.5（an3），又因為a133，所以an3是首項為3，公比為1.5的等比數列，即得證（2