1、正態分布2. 4黃金鵬學生編者：方少芳審核：預習檢測1.如圖是當 0取三個不同值 01, 02, 03 的三種正態曲線 N(0,。2)圖象，那么 01,02,。3的 大小關系如何？2. 正態分布的30?原則正態總體在三個特殊區間內取值的概率P( i o<X<|i+o)=,P(H-2o<X< n+2o)=,P(H-3o<X< n+3o)=(2)3。原則在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(w。2)的隨機變量 X只取(U 3。，u+3。)之間的值，并簡稱之為 3。原則.正態總體幾乎取值于區間 3 3。，口 +3o )之內，而在此區 間外 取值的概率只有 0.0

2、02 6,通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生試一試：已知隨機變量X? N(0,l),你能求岀X在區間(一 3, +8)內取值的概率嗎？隨堂練習1. 如圖所示，是一個正態曲線.試根據該圖象寫岀其正態分布的概率密度函數的解析式 求出總體隨機變量的期望和方差.2.設 4? Ml/),試求：(1)P( 1<03);(2)F(3攔 5);(3)F(O5).3. 設在一次數學考試中，某班學生的分數學 生共54人，求這個班在這次數學考試中及格X? '(110,202),且知試卷滿分150分，這個班的 (即90分以上)的人數和130分以上的人數.課后練習1 ('-1)21. 若則

3、下列正確的是()？A.C.無最大值，有最小值有最大，值、最小值B.有最大值，無最小值D.無最大值、最小值2. 設隨機變量 &? N(2,4),則 D( : S)=().1A. 1 B. 2 C. -. D. 423. 若隨機變量滿足正態分布N( ,b2),則關于正態曲線性質的敘述正確的是().A. 仃越大，曲線越“矮胖”，(T越小，曲線越“高瘦”B. 仃越小，曲線越“矮胖”，(T越大，曲線越“高瘦”C. 仃的大小，和曲線的“高瘦”、“矮胖”沒有關系D. 曲線的“高瘦”、“矮胖”受到的影響4.已知一次考試共有60名同學參加，考生的N(110,25), 據此估計，大約應C.(100,125

4、£ >.(105,115人的分數在下列哪個區間內？(A(90,11(95,1250值的概率 ()A(2,4C.(-2,0D.(-4,43.(0,26. 若隨機變量 &服從正態分布點 N(0,l) ，則 &在區間 ( -3,3上取值的概率等于 (7. 期望是 2,標準差為 J 勇的正態分布密度函數的解析式是 .8. 若隨機變量X? Ng),則P(3 < X < 7)=.9. 若一個正態總體落在區間 (0.2,+8) 里的概率是 0.5,那么相應的正態曲線 f (x)在. 時，達到最布的概率密度函數的解10. 若一個正態分布的概率密度函數是一個偶函數，且

5、該函數的最大值為南. 求該正態分11. 若 ? N(5,l), 求 P(5<<7).12. 工廠制造的某機械零件的尺寸 X 服從正態分布風 4 ,別，問在一次正常的試驗中，取000 個零件時，不屬于區間 (3,5)這個尺寸范圍的零件大約有多少個？0.2,13. 在一次測試中，測量結果X服從正態分布 N(2,形)0>0),若X在(0,2)內取值的概率為求 X 在(0,4)內取值的概率；(2)P(X>4).14. 從某企業生產的某種產品中抽取 500 件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果 得如下圖頻率分布直方圖：(I) 求這500件產品質量指標值的樣本平均值？和樣本

6、方差$2 (同一組的數據用該組區間中點值作代表)；(II) 由直方圖可以認為，這種產品的質量指標Z服從正態分布 N( ，cr2),其中“近似為樣本平均數 X, CT?近似為樣本方差尸.(i) 利用該正態分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ii) 某用戶從該企業購買了100件這種產品，記 X表示這100件產品中質量指標值位于間(187.8,212.2) 的產品件數.利用(i)的結果，求政.附：JEUQ12.2若Z ? N貝ijPAjLi-a<Z< / +cr) = 0.6826P(/-2cr<Z< +2cr) = 0.9544隨堂練習,所以1. 解 從

7、給岀的正態曲線可知，該正態曲線關于直線x=20對稱，最大值是20.*=夫，解得。=屯 271-(7 271于是概率密度函數的解析式是1(x20)2,加=云礦，xC(8, + °總體隨機變量的期望是=20,方差是<r = (V2) 2=2.2. 解.4? N(1,22), .?./ = 1,o =2,(1) P( 1<4W3)=F(1 2< 芹 1+2)=P(/z-(7<vfv+(7 ) =0.682 6(2) VP(3<f<5)=P(-3vfv-l),.?.P(3<vf5S5)=|F-3<|； 5S5)-A-l<<f<

8、3)=§ R1 -4<0+4)-也-2<0+2)=萬 只/1 一 2 C7< /Z + 2 一 P(JJ. C7<+ d)=1(0.954 4-0.682 6)=0.135 9.(3) FCN5)=P(<fW 3)= § 1 F 3<<fW5)=§ 1 -Rl-4< 奔 1+4)=§ 1 一印 z - 2 C7<+2 o)=1(1-0.954 4)=0.022 8.3. 規范解答/z = 110, (7=20, P(XN90)=P(X 110N 20)=F(X /zN cr),，/ P(X-fi &l

9、t;-<7)+P(-<7 WX / W b)+F(X / > <7)=2P(X- fi < b)+0.6826 = 1,.P(X 一 ?<一<7)=0.158 7, (3 分).?.P(XN90) =l P(X “ X<7) = 1 0.158 7=0.841 3.54X0.841 3A45(人)，即及格人數約為45人.(6分)，/ P(XN 130)= P(X 110 N 20)=F(X N ct),.P(X <7)+ P(/Z <7)+ P(Xf/ > <7)=0.682 6+2F(X /d)= 1.(9 分).?.P

10、(X Nb)=0.158 7.-.54X0,158 7A9(人)，即130分以上的人數約為9人.課后練習9. 0.24. C 5. C 6.Cy軸對稱，即=0.10. 解由于該正態分布的概率密度函數是一個偶函數，所以其圖象關于 由于盅=擊得"=4，故該正態分布的概率密度函數的解析式是1_A'2,所。=祠五e靈，* £ ( - 8 , + 8).11. 解I. ? N(5,l), . .?正態分布密度函數的兩個參數為=5, b=l,因為該正態曲線關于 x=5對稱,.?.F(5< <7)= XF(3< <7)= §0.954 4 = 0

11、.477 2.12. fi? LX ? 乂 4,/./z=4, o-=|,.不屬于區間(3,5)的概率為F(X?S3)+F(XN5)=1 P(3<X<5)=1-P(4-1<X<4+1)=1=1 -0.997 4=0.002 65.003,Al 000X0.003=3(個)，即不屬于區間(3,5)這個尺寸范圍的零件大約有3個.1)由于X對稱軸工=二 冋出不童圖.VP(0<X<2)=P(2<X<4), .P(0<X<4) = 2F(0VXV2) = 2X0.2=04(2)P(X>4)=§ R0<X<4)=；(1

12、 一 0.4)=0.3.14.【答案】(I) 200,150 ； (II) (i) 0.6826 ； (ii) 68.26.【解析】試題分析：(I)由頻率分布直方圖可估計樣本特征數眾數、中位數、均值、方差.若同一組 的數據用該組區間的中點值作代表，則眾數為最高矩形中點橫坐標.中位數為面積等分為上2的點.均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值.方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權平均值.(II) (i)由已知得，ZN(200,150), 故 P(島 <H<) =P?) B - Z ? <+0 皴 5=； (ii)某用戶從該企業購買了100件這種產品，相當于100次獨立重復試驗，則這100件產品中質 量指標值位于區間(187.8,0 的產品件數 X B( 1 0 0,0 .(,故期望 政= 100x0.6826 = 68.26.試題分析：(I)抽取產品的質量指標值的樣本平均值X和樣本方差尸分別為200x0.33 + 210x0.24+220x0.08 +如=170 X 0.02 + 180X 0.09 + 190x0.22 +230 x 0.02 = 200,站=(-30) 2 x0.02+ ( 20 尸 x0.09 + (-10)0.020.22 + 0 x 0.33 + 10x 0.24 + 20x