1、2.1 橢物的簡單幾佝佐彥【學習目標】1. 熟練掌握橢圓的范圍，對稱性，頂點等簡單幾何性質 .2. 掌握標準方程中 a,b,c 的幾何意義，以及 a,b,c,e 的相互關系3. 理解、掌握坐標法中根據曲線的方程研究曲線的幾何性質的一般方法 【學習重點】： 橢圓的幾何性質【學習難點】： 如何貫徹數形結合思想，運用曲線方程研究幾何性質 一、自主學習：1. 橢圓定義：2. 標準方程：3. 問題：（1）橢圓曲線的幾何意義是什么？（2）“范圍”是方程中變量的取值范圍，是曲線所在的位置的范圍，橢圓的標準方程中 的 x, y 取值范圍是什么？其圖形位置是怎樣的？3）標準形式的方程所表不的橢圓，其對稱性是怎樣

2、的？（4）橢圓的頂點是怎樣的點？橢圓的長軸與短軸是怎樣定義的？長軸長、短軸長各是 多少？ a,b,c 的幾何意義各是什么？（ 5）橢圓的離心率是怎樣定義的？用什么來表示？它的范圍如何？在這個范圍內，它的變化對橢圓有什么影響？6）畫橢圓草圖的方法是怎樣的4.由橢圓方程% + % = 1(對0)研究 橢圓的性質.(利用方程研究，說明結論與由圖形觀察一致)從標準方程得出，即有 a' b范圍：1+-a < x < a , -b < y <b ,可知橢圓落在x = +a, y = +b 組成的矩形中. 對稱性：把方程中的x換成-x方程不變，圖象關于y軸對稱.y換成-y方程

3、不變，圖象關于x軸對稱.把同時換成-X,-y方程也不變，圖象關于原點對稱.如果曲線具有關于 x軸對稱，關于y軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，則它一定具有第三種對稱.原點叫橢圓的，簡稱中心.x軸、y軸叫橢圓的對稱軸.從橢圓的方程中直接可以看岀它的范圍，對稱的截距，頂點：橢圓和對稱軸的交點叫做橢圓的頂點2 2在橢圓二+ 土 = 1的方程里，令 y = 0得x = 士 a,因此橢圓和 x軸有兩個交點-2 i2 JA ( Q,0),人 2 (。，)，它們是橢圓+ % = 1的頂點,令X = O,得)=±，因此橢圓和y軸有兩個交8 (0-/?),B2(0,&),它們也是橢圓二+谷=1

4、的頂點.因此橢圓共有四個頂點：a2 b2B (0,2),% (0，Q加兩焦點F (-c,0),F2 (C,0)共有六個特殊點A,叫橢圓的，用之叫橢圓的.長分別為2"。a,b分別為橢圓的和.橢圓的即為橢圓與對稱軸的交點至此我們從橢圓的方程中直接可以看岀它的范 圍，對稱性，頂點.因而只需少量描點就可以較正確的作圖了.(4) 離心率：發現長軸相等，短軸不同，扁圓程度不同.這種扁平性質由什么來決定呢？概念：？定義式： 范圍：，考察橢圓形狀與 e的關系：eTO,crO，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在e = 0時的特例.eTI,cTa,橢圓變扁，直至成為極限位置線段FxF2

5、,此時也可認為圓為橢圓在 e = I時的特例'b2離心率、焦點和頂點的坐標，并. . 2 . .、合作探究：例1求橢圓16x + 25W = 400 的長軸和短軸的長、點法畫岀它的圖形X012345y先描點畫岀橢圓的一部分，再利用橢圓的對稱性畫岀整個橢圓例 2 在同一坐標系中畫出下列橢圓的簡圖2 2 2 2+ 匕 =1(2) 土 25 925 16例 3 分別在兩個坐標系中，畫出以下橢圓的簡圖2 2土 +匕 =12 2(2) 土 + 匕 =149 36三、課堂練習 : 1.已知橢圓的一個焦點將長軸分為由：扼兩段，求其離心率2 22.如圖，求橢圓二+仁=1,（。人0）內接正方形 ABCD

6、勺面積.疽b-五、課堂小結我勺收獲： 這節課學習了用方程討論曲線幾何性質勺思想方法；學習了橢圓勺幾何性質: 對稱性、頂點、范圍、離心率；學習了橢圓勺描點法畫圖及徒手畫橢圓草圖勺方法.我勺困惑橢圓勺簡單幾何性質學習目標： 1 掌握橢圓勺范圍、對稱性、頂點、離心率、理解 a,b,c,e 勺幾何意義2 通過對橢圓標準方程勺討論，理解在解析幾何中是怎樣用代數方法研究幾 何問題勺。3 初步利用橢圓勺幾何性質解決問題。學習重點：橢圓勺幾何性質 學習難點：橢圓勺幾何性質勺探討以及 a,b,c,e 勺關系思想方法：數形結合的方法、分類討論的思想 三、綜合躍升例1 求適合下列條件的橢圓的標準方程(1) 一焦點坐

7、標為 (-3, 0), 一頂點坐標為 (0, 5);3(2) 長軸長等于 20, 離心率為一。522例2 .若橢圓一+ A = 1的離心率為土，求k的值.k + 892四 小結自測題：2 21 橢圓 *3 = 1 上點 p(x,y) 的橫坐標的范圍為2 22若點 p(2,4) 在橢圓 % +與=1, (Q/? 0)上，下列在橢圓上的點有a b具有哪些特條折痕的交圓的中心 p (-2,4) (2) p (-4. 2 ) (3) p (-2, -4 ) (4) p (2,-4)3 求中心在原點，焦點在 x 軸上，長軸、短軸的長分別為 8 和 6 的橢圓方程4 寫出橢圓 4/+y2=i6 的長軸長，

8、短軸長，離心率，頂點和焦點坐標 .1. 創設情境，欣賞傾聽這節課我們繼續研究有關橢圓的相關知識，在進入本節課的知識之前，我們先看一段視頻短片 :播放中央電視臺新聞中關于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片 提出問題：教師：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設計呢？ 其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又 性？讓我們一起來研究一下橢圓的幾何性質，以方程2 27 + 七 = l(a > b > 0) 為研究對象。a b 自主探究學生活動 1：探究一：橢圓的對稱性問題 1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？ (思考并回答)用手中的紙板折紙把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重

9、合，兩 點，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。得出結論：橢圓具有對稱性。%1 兩條折痕為對稱軸 橢圓是軸對稱圖形，它關于 x 軸和 y 軸對稱；%1 實物演示：橢圓繞中心旋轉 180。后與原橢圓重合橢圓也是中心對稱圖形， 這時坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢 實物演示部分可以由學生同桌兩兩一組共同完成，首先讓兩橢圓重合，旋轉180°后觀察 , 得出結論。學生活動 2:探究二：橢圓的頂點問題 2： 橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標嗎？直角坐標系內學生： 橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。 我們把橢圓與它

10、的對稱軸的這四個交點分別記作A，A2,B PB2請同學們將這四個點標在自己的橢圓紙板上，并抽象成數學圖形將橢圓放在平面 研究，求出 AVA2,BVB2 的坐標。 學生取點、畫圖，自己動手親自體驗將橢圓抽象成數學圖形的過程，并求出 的坐標。2 2我們把橢圓 + 口 = w M > 0 ）與坐標軸的交點 &（-們 0）,盅（ a,0 ） ,3| （0"）, = （0 力） 2a o就叫做橢圓的頂點。其中線段 A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長IAiA2l = 2a, 短軸 長IBiB2l =2b, a 和 b 分別叫做橢圓的長 半軸長和短半軸長，此時長軸

11、在 x 軸上。 本過程可以由老師引導啟發學生先求出橢圓與 x 軸的交點坐標，即 A|,A2 的坐標 , 而求橢圓與 y 軸的交點由學生討論 來完成，并由學生自己到黑板前來講解，自己解決此問題。鍛煉學生合作、探究的能力，同時培養學生邏輯表達能力。本過程加強課件的演示部分，更加形象，有利于學生的接受、掌握和理解2. 探究問題，觀察發現 為培養學生觀察、分析、歸納問題的能力。活躍的課堂氣氛，調動學生主動參與的積極性，同時樹立學生相互協作和競爭的意識，為進一步的學習打下良好的基礎。本部分設計四個問題，引導學生探究學習橢圓的幾何性質的研究。問題 3：做一做：請 同學們拿起手中的作業紙，思考如果在一張矩形

12、紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應如何做？學生活動 3: 分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準確、精練。得岀結論：橢圓是有范圍的標系內來研教師引導學生動手動腦，將具體實例抽象成數學圖形，數學問題，在平面直角坐究：如下圖，教師：如果圖中虛線所代表的就是你所要制作的橢圓紙板所在矩形紙的四個邊緣，那么在平面直角坐標系中，他們所在直線的直線方程是什么？學生自己通過計算，自己解決本問題，考慮到學生的能力和基礎水平，本過程可以在老師的引導下完成。（板書）橢圓的范圍：橢圓位于直線 x = +a,y = 所圍成的矩形內。橢圓的簡單的幾何性質中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的

13、問題形象化，利于學生的理解與接受，可設計如下的課堂活動，讓全體學生參與到課堂中來,在自己的探究中獲得學習的樂趣，學習的快樂，并且可以使不同程度的學生都有所收獲。教師：請前三排的同學分別依次舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？第一排同學手中的橢圓形紙板扁長，第二排同學手中的橢圓形紙板稍圓，第三排同學手中的學生活動橢圓更接近于圓形。學生3：從第一排到第三排橢圓的形狀逐漸變圓，越來越接近于圓形在同學們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關注想與大家交流，同時，在其他同學們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關注其他同學手中的橢圓的形狀，進而與自己手中的橢圓進行比

14、較。在比較的過程中就會發現橢圓形狀的變化，引起思考。教師：是什么量控制并決定了橢圓的變化呢？（帶著疑問進入探究四。）學生活動5：探究四：離心率問題3）范圍： 4 ）考察橢圓形狀與 e 的關系：eTO,cTO, 橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時也可認為圓為橢圓在。 =0 時的特例橢圓變扁，直至成為極限位置線段職, 此時也可認為圓為橢圓在e = 1 時的特例。本過程中，由具體的同學們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標系 中橢圓形狀的 變化的過程中，幾何畫板的強大功能會發揮巨大的作用。在幾何畫 板中展示橢圓的形狀變化的 同時，還可以讓學生觀察到橢圓中 a,b,c 三個參量的 變化，進而對橢圓的離心率充分了解。觀 看課件演示，加深對離心率問題的直觀 認識。3. 反思構建，性質應用221） 求橢圓 9x 2+25y 2=225 的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標。2） 請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標準方程。由于每個同學手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學生都熱情非常高的參與到這個測量