1、課題制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子設計人教材分析“制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子”是北師大版義務教育教科書七年級上 冊綜合與實踐的一個課題，是一個關于數學應用的典型課題。按照標準的要求， 綜合與實踐是以問題為載體，以學生自主參與為主的學習活動。經過一個學期的學習，學生已掌握了圖形的展開與折疊，字母表示數，代數式求值，簡單的統計圖等知識，本節課是對這些知識的一個綜合應用。面對一個實際問題學會從數學的角度發現問 題，提出問題和解決問題，獲得分析和解決問題的一些基本方法和經驗， 同時學會綜 合運用數學知識和現代教學工具圖形計算器來解決實際問題，提高學生綜合運用知識 的能力并培養學生的實踐探索

2、能力。學情分析學生的知識技能基礎：學生在前面的學習過程中經歷了圖形的展開與折疊， 模型 制作等活動，積累了一定的數學活動經驗。 經過學習字母表示數及代數式求值， 會利 用代數式求值推斷代數式所反映的規律。 另外，在信息技術發展的時代，學生對電子 設備的使用也逐漸增多，本節課基于學生對圖形計算器使用的熟練程度，設計了借助圖形計算器這一工具展開教學活動，提高了教學效率，發揮了學生學習的積極主動性。學生活動經驗基礎：七年級的學生正處于青春期，自我發展的意識越來越強，對 實際生活中的問題也越來越關注， 因此本節課如何制作一個盡可能大的無蓋長方體形 盒子的實際問題可以培養學生動手操作的能力， 激發學生積

3、極地用數學的思維去思考 這一問題。學習目標1. 經歷“從實際問題抽象出數學問題-建立數學模型-綜合運用已有的知識解 決冋題”的過程，體驗建立模型，解決冋題的方法。2.通過動手實踐及解決問題的過程中進一步培養學生的空間觀念和數學符號感。3. 借助已有的知識儲備得到相關信息，大膽猜想事物變化趨勢，并進行合理的推 理。4. 熟練圖形計算器的使用，借助現代科學技術提高學生的學習興趣，在探索的過 程中對數學知識的一個整體運用。5. 制作一個無蓋長方體形盒子，通過探索后得到如何制作一個盡可能大的無蓋長 方體形盒子。教學重點如何制作一個容積盡可能大的無蓋長方體形盒子教學難點熟練圖形計算器的使用，通過對數據的

4、加細處理，體會無限逼近的數學思想教學準備一張邊長為 20cm 的正方形紙片，2 個由邊長相等的正方形紙片折成的無蓋長方體形盒子，爆米花，剪刀，直尺，圖形計算器，多媒體課件教學方法啟發誘導法，多媒體，小組合作互相交流教學程序設計師生活動設計備注第一環節：制作一個無活動設計：蓋長方體形盒子師：這節課咱們一起來探究如何制作一個盡活動探究一：作品展示可能大的無蓋長方體形盒子。首先，如何制作一個無蓋長方體形盒子呢？課前老師給大家課前學生已經準備了用留了作業，用邊長為 20cm的正方形紙片制作一個邊長為 20cm的正方形一個無蓋長方體形盒子，大家完成的怎么樣紙片制作了無蓋體形盒子，呢？拿出來讓老師欣賞一下

5、你們的作品吧。學生展示自己的作品和成生：學生集體高高舉起手中的作品展示。果，并互相交流自己的制作師：相信每位同學在做的過程中都有自己經驗。的方法，一起來分享一下你們的制作經驗吧。教生：同學們舉手交流自己的想法和制作過 程。師：老師選擇幾種由不同折法制作而成的 無蓋長方體形盒子的平面展開圖用磁鐵固定學在白板上，引導學生觀察展開圖有什么共同特點。生：學生在教師的引導下得出無蓋長方體形盒子都是由正方形紙剪去四個完全相同的過小正方形后折疊起來的。師：進一步提問，剪去的四個角必須是正 方形嗎？若是長方形會怎樣？程生：將制作失敗的作品展示出來說明。設計意圖：讓學生充分發表設計方案，展示設 計成果，調動學生

6、的積極性。觀察展開圖的特 點得出剪去的四個角是大小相同的小正方形的結論，為下 步表小無蓋長方體形盒子的容 積做了鋪墊，追問剪去的正方形是否可以為長 方形，若是會怎樣，進一步引起同學們的思考， 驗證了剪去的四個角必須是大小相同的小正 方形。第二環節：制作一個盡活動設計：可能大的無蓋長方體形盒師：同學們都展示了自己的作品，老師也子來展示一下吧，老師手中的這兩個盒子（兩個不同顏色）是用邊長相等的正方形紙折疊而成活動探究二：趣味引入的。現在大家來猜一下，這兩個盒子哪一個盒用爆米花引出制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子指的容積盡可能大。教活動探究三：建立數學模型學如何制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子？

7、將實際問題轉化為數學問題來解決，建立數學模型。過子裝的爆米花多呢？是紅色盒子還是黃色盒 子呢？生：同學舉手表決。(學生會憑感覺來選) 師：請記住自己的選擇，怎樣才能很快知 道哪一個更大一些呢？答案將在這節課揭曉， 如果誰答對了爆米花就歸誰。設計意圖：使用爆米花符合學生這個年齡段的 興趣，可以調動學生的積極性，讓學生主動投 入到探索容積的大小中。另外，通過盛放爆米 花的多少引導學生理解課題中制作一個盡可 能大的無蓋長方體形盒子是指容積盡可能大， 自然引入后面第二環節的探索，不足之處在于 爆米花縫隙有點大，不夠精確，所以在展示時 忽略爆米花的縫隙。活動設計：師： 若設正方形紙片的邊長為acm剪去的

8、 小正方形邊長為xcm，你能用 a,x 來表示無蓋 長方體形盒子的容積嗎？生： 學生分小組討論， 并選代表為大家講 解。Cacm xcm學生很容易表達出容積的表達式：2V (a 2x) x師：x有取值范圍嗎？生：在老師引導下得出0 aa。2師： 生活中的實際問題轉化為數學問題，建立數學模型，這種研究問題的方法是數學中 重要的方法之一數學建模。設計意圖：培養學生合作交流的能力，體會實教學過程活動探究四：分割、無 限逼近1.冋題從一般轉化為特殊： 先探究邊長為 20cm 的正 方形紙片制成的無蓋長方體 形盒子的容積什么時候容積 盡可能大的問題。2.實驗一：探究剪去的 小正方形邊長取整數的情 形，通

9、過填寫統計表和借助 圖形計算器制作的統計圖來 分析其變化趨勢，并得到相 關信息。際問題轉化為數學問題的過程，體會數學建模 的思想。探索小正方形邊長取值范圍培養學生 思維的嚴密性，為下一步無限逼近最大值做準 備。活動設計：師：怎樣才能使制成的無蓋長方體形盒子 的容積最大呢？生：思考(對初一學生來說有一定的難度) 師：對于一般的情況我們無從下手，那么 我們就先來研究一下同學們手中由邊長為 20cm 的正方形紙片制成的無蓋長方體形盒子 的容積什么時候容積盡可能的大，我們先將一 般的轉化為特殊的試一試，此時容積怎么表示 呢？生：V (20 2x)2x (0 x 10)師：怎么來研究這個冋題呢？誰能提供

10、一 種思路？生：學生可能會想到將x取一些不同的值來比較大小，比如：x 取 1cm,2cm,3cm。師：從學生提供的思路引導學生，進入下 面的實驗。實驗一：如果剪去的小正方形邊長按整數值 依次變化，分別取 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm, 6cm,7cm, 8cm, 9cm時，折成的無 蓋長方體形盒子的容積分別是多少？請你用 圖形計算器計算并填入下表、制作折線統計 圖。x/cm123456789V / cm3問題：從統計表和圖形計算器上顯示的折 線統計圖中你能發現什么呢？師：教師引導學生一起來完成表格和借助 圖形計算器制作折線統計圖。生：獨立分析折線統計圖反映的變化趨勢 并得到結

11、論：結論1:隨著剪去的小正方形的邊長由 1cm逐漸增大到 3cm，所得無蓋長方體形盒子 的容積逐漸增大，而從 3cm逐漸增大到 10cm時，容積逐漸減小。結論 2:當剪去的小正方形的邊長為 3cm時，所得到無蓋長方體形盒子的容積最大，此時無蓋長方體形盒子的容積為 588cm3。師：折線統計圖的特征是反映事物的變化 趨勢或變化情況，從上面的變化趨勢上看邊長 為 3cm是否為最大值，若不是那么最大值應該 在哪個范圍內取得？引導學生找出最大值的 取值范圍，縮小步長繼續探究。實驗二：如果剪去的小正方形邊長在 2cm到 4cm之間并且按 0.1cm間隔取值，即分別取 2.0cm,2.1cm, 2.2cm

12、, 2.3cm, 2.4cm,2.5cm,，3.9cm, 4.0cm時， 折成的無 蓋長方體形盒子的容積分別是多少？請你用 圖形計算器計算其結果，并制作折線統計圖。問題：從統計表和圖形計算器上顯示的折 線統計圖中你能發現什么呢？師：這部分由學生分小組獨立探討研究， 教師巡視選擇一位學生代表在教師機的圖形 計算器上演示折線統計圖的畫法。3.實驗二：將小正方形 的邊長縮小到 2cm到 4cm之間，步長取 0.1cm繼續探 究體積變化情形，通過填寫 統計表和借助圖形計算器制 作的統計圖來分析其變化趨 勢，并得到相關信息。生：從統計圖中分析得到的結論：結論 1:隨著剪去的小正方形的邊長由2.0cm逐漸

13、增大到 3.3cm時,所得無蓋長方體 形盒子的容積逐漸增大,而從 3.3cm逐漸增大 到4.0cm時，容積逐漸減小。結論 2:當剪去的小正方形的邊長為3.3cm時， 所得到無蓋長方體形盒子的容積最 大，此時無蓋長方體形盒子的容積為592.548cm3。師：同樣的思路是否有比 592.548cm3更大的值呢？若有在哪個范圍內取得？引導學 生進入下面實驗。實驗三：如果剪去的小正方形邊長在 3.2cm到3.4cm之間并且按 0.01cm間隔取值，即分別取 3.20cm, 3.21cm, 3.22cm, 3.23cm, 3.24cm,3.39cm,3.40cm時， 折成的無 蓋長方體形盒子的容積分別是

14、多少？請你用 圖形計算器計算其結果，并制作折線統計圖。問題：從統計表和圖形計算器上顯示的折 線統計圖中你能發現什么呢？師：這部分由大家自己來做，咱們來個比 賽，誰先做出來誰就先站起來，最后我們會通 過圖形計算器教師監控端來展示這位同學做 法并讓其講解。（教師巡視并指導）4.實驗三：將小正方形的邊長縮小到 3.2cm至 V3.4cm之間， 步長取 0.01cm繼續探究體積變化 情形，通過填寫統計表和借 助圖形計算器制作的統計圖 來分析其變化趨勢， 并得到 相關信息。S1;14X;3.33Y;592.59214S生：積極的動手操作，等學生完成后展示 后得到下面結論：結論 1:隨著剪去的小正方形的邊

15、長3.20cm逐漸增大到 3.33cm,所得無蓋長方體 形盒子的容積逐漸增大,而從 3.33cm逐漸增 大到 3.40cm時,容積逐漸減小。結論 2:當剪去的小正方形的邊長為3.33cm時，所得到無蓋長方體形盒子的容積 最大，此時無蓋長方體形盒子的容積為592.592cm3。設計意圖：當邊長為acm時討論其容積何時盡 可能大的問題對學生來說難度稍微大了點，但 是面對一般的問題可以先轉化為特殊的問題 來解決，讓學生體會數學中由一般轉化為特殊 的思想方法。實驗中借助圖形計算器激發學生 的興趣，求知欲和探索欲，讓學生在最短時間 內體會無限分割逼近最大值的思想，學生親自 動手操作，在整個實驗過程中學生

16、學會了將取 值范圍分割、無限逼近最大值的思想方法，為 后面大膽猜想環節做了鋪墊。師：通過上面的實驗當x 3,x3.3, x 3.33時容積的取值不斷增大，隨著這樣的變化趨勢同學們來猜一下當小正 方形的邊長取多少時，體積可能取得最大值？ 也就是說當邊長越靠近哪個值時無蓋長方體 形盒子的容積可以盡可能的大？活動探究五：大膽猜想+驗證用過已有的數據進行找規律，進一步大膽猜想一般的情況。最后用幾何畫板動態圖演示容積變化，并驗證自己的結論。活動探究六：回歸實際 問題第三環節：課堂小結生：學生可能猜出當 x10時，容積達到3最大，當邊長取值越靠近10時容積可以盡可能3的大。師：如果設這張正方形紙的邊長為a

17、cm, 剪去小正方形的邊長為xcm,當a與x滿足怎 樣的關系時，長方體形盒子的容積最大？生：學生可能猜出當 x -時，容積達到最6大。師：播放幾何畫板動態圖來驗證當小正方形的邊長取值越接近-時，容積可以取得盡可6能大的值。設計意圖：分析統計圖變化趨勢上大膽猜想， 預測，培養學生分析問題的能力，讓學生體會 從特殊到一般化的轉化。師：哪個放的爆米花比較多呢？教師拿尺子量一下盒子的高度x，x取值越接近-時盒6子的容積越大，放的爆米花比較多。設計意圖：前呼后應，讓學生感受數學解決實 際冋題的神奇之處。師：通過這節課我們學到了什么？ 總結知識框架圖：廣展開與折疊,子母表示數知識列代數式1 統計圖的制作與

18、分析數學建模思想思想方法丿一般到特殊再到一般猜想估計+驗證1 無限逼近第四環節：作業布置1. 繼續借助圖形計算器將取值范圍分割驗證2. 撰寫實驗報告板書設計制作一個盡可能大的無蓋長方體形盒子一.作品展示二.頭驗二活動探究實驗一實驗二實驗三猜想x取值范圍步長x取值Vmax教學反思成功之處：在教學過程中注重學生的動手操作能力，展示學生的作品調 動了學生的積極性。用無蓋長方體形盒子裝爆米花的多少來引出如何制作一 個容積盡可能大的無蓋長方體形盒子，設置了懸念，引起學生的興趣，讓學 生主動參與到課堂中來。探索過程中用分割，無限逼近的思想對問題進行研 究，并利用圖形計算器計算并制作統計圖提高了教學效率，高

19、效地完成了教 學任務。不足之處：在教學過程中對于很多問題學生不知道該如何下手，引導的 過程中對不同的學生引導程度很難把握。實際問題轉化為數學問題，建立數 學模型對于學生來說也是難點之一，在建立模型上一方面應給予學生充分的 指導和提示，另一方面應該使問題更開放把問題拋出來，然后發揮學生的積 極主動性通過各個方式去解決這個實際冋題，真正讓學生體會數學建模的思 想。再教設計：1.建立數學模型：無蓋長方體形盒子的容積怎么表示呢？不要 將未知數設好方法限制，讓學生多去思考，發揮他們的主動性，真正用數學 建模的思想去解決實際問題。2.分割，無限逼近實驗中在時間允許的情況下一方面可以利用圖形計算 器再將步長取小一點，把取值范圍再細化一些，這樣更有利于學生猜測，另 一方面把冋題特殊化時至少把正方形的邊長取 3 個不同的值，然后比較歸納 小正方形與原正方形邊長的關系，最后得到結論，用更符合學生認知水平與 問題處理的合理性。第四環節：作業布置1.繼續借助圖形計算器將取值范圍分割驗證2