1、數學廣角-植樹問題教材分析主備人：張高英和前面幾冊教材一樣，本冊也專門安排了“數學廣角”單元，向學生滲透了一些重要的數學思想方法。本冊的“數學廣角植樹問題”包含三個例題，主要是滲透有關植樹問題的一些思想方法，通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現一些規律，抽取出其中的數學模型，然后再用發現的規律來解決生活中的一些簡單實際問題。解決植樹問題的思想方法是實際生活中應用比較廣泛的數學思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數（間隔數）和植樹的棵數之間的關系就不同。在現實生活中類似的問題還有很多，比

2、如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都隱藏著總數和間隔數之間的關系問題，我們就把這類問題統稱為植樹問題。在植樹問題中，“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是關于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。教材在編排上，注重引導學生進行觀察、猜測、驗證、推理等數學活動，使學生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養學生從實際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學植樹問題時，教師要引導學生根據實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發

3、現隱含的規律，經歷建立數學模型的過程，幫助學生積累數學活動的經驗，提高學生解決實際問題的能力。下面就教材中安排的三個典型例題進行分析。一、經歷解決問題的過程教材第106頁例1通過學生熟悉的植樹情境，引導學生借助線段圖，經歷猜想、實驗、抽象等數學活動過程，探索間隔與點之間的數量關系，建立植樹問題的數學模型，再運用模型解決實際問題。讓學生經歷分析、思考、解決問題的全過程。教材用幾個小朋友的對話和圖片來呈現學生探索解決問題的過程。首先由一個男孩說出學生們可能會想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接著一個女孩問：“對嗎？檢驗一下”，來引發學生思考。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法從

4、簡單的情況入手解決復雜的問題。這里先呈現直觀的圖示法，讓學生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹。使學生發現植樹時確定樹苗數量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉為抽象，更是向學生滲透歸納思想一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規律。然后向學生提問：“你發現了什么規律？”啟發學生透過現象發現規律，也就是栽樹的棵數要比間隔數多1。同時教材進一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學生利用發現的規律先解決簡單的問題。最后教材要求應用發現的規

5、律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、思考、解決問題的整個全過程展示出來，讓學生經歷這個過程并從中學習一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，并且可以從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。對于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁“做一做”第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學生前面有了探索的經驗，這里可以放手讓學生去探索，用自己的方法去發現這兩種情況的植樹問題中隱含的規律。二、體會基本的數學思想本單元通過一些生活中的事例，讓學生根據不同

6、的情況總結出規律，并利用這些規律解決問題。但是，本單元的教學最終目的并不只是讓學生明白規律，而是要引領學生進一步探究規律的產生原因，幫助其建立“一一對應”的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗數學思想方法在解決實際問題中的應用。在“植樹問題”中最重要的數學思想就是模型思想，而如何讓學生理解從實際問題中抽象出數學模型的過程是教學“植樹問題”的難點。為了突破這一難點，教材突出了線段圖的教學，通過幾何直觀幫助學生理解“植樹問題”的數學模型。例1是探討關于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學生通過畫線段圖來發現栽樹的棵數和間隔數之間的關系。通過這兩幅圖，讓學生把“點”（樹）與“線”（間隔）一一對

7、應起來，結果發現還多出一個“點”（樹），所以“栽樹棵數=間隔數+1”。例2通過遷移呈現出兩端都不栽的線段圖，“做一做”的第2題讓學生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯系。整個單元教材通過線段圖的教學，突出“一一對應”的思想，并以此為基礎分析植樹問題三種不同的情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”。無論哪種情形，都能用“一一對應”的思想統領。教材通過選取生活中不同的事例，讓學生體會一種在數學學習、研究問題上都很重要的數學思想方法化歸思想，使學生感悟到應用數學模型解決問題所帶來的便利。同時

8、培養學生在解決實際問題中探索規律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養學生抽取數學模型的能力。在練習中，教材以“植樹問題”為背景幫助學生清楚地認識到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數學結構，讓學生建構相應的數學模型。三、感受轉化的研究方法，積累基本的活動經驗教材第108頁例3討論的是在封閉圖形周圍栽樹的情形。學生學習了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數與間隔數的關系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中的植樹問題。面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：“先畫圖試試看。

9、假設周長是40 m”，引導學生根據前面例1、例2的研究經驗直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當學生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學生探索出封閉圖形植樹問題中的規律（即間隔數等于棵數），而是請小精靈進一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發現什么？”從而把學生的思維引向深處。讓學生通過觀察、思考發現，化曲為直后，封閉圖形上植樹其實可以轉化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，教材通過兩位學生的對話“我發現間隔數與樹一一對應”“相當于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規律，更是為學生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯系。本單元注重讓學生經歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學

10、生既學會一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數學活動經驗。例如，例1通過“對嗎？檢驗一下”“100 m太長了，可以先用簡單的數試試”“你發現了什么規律”等，滲透了“猜測探索歸納應用”的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法。重難點突破一、建構數學模型，探尋規律突破建議：本單元是讓學生通過生活中的簡單事例，初步體會解決植樹問題的思想方法，同時培養學生在解決實際問題中探索規律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養學生抽取數學模型的能力。教師教學時，應從實際問題入手，引導學生在解決問題的分析、思考過程中逐步發現隱含于不同的情形中的規律，經歷抽取出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決實際問

11、題中的應用。二、初步體會植樹問題的數學思想方法突破建議：“數學廣角”的教學目的主要是讓學生體驗知識的形成過程和感悟數學思想方法。本單元并非讓學生記熟規律、熟練解決與植樹問題相類似的實際問題，而是把解決植樹問題作為滲透數學思想和方法的一個學習支點。在教學中教師不妨讓學生先猜測，再動手操作、實踐驗證。怎樣檢驗這個結果是否正確？初步向學生滲透用比較簡單的例子來驗證較為復雜的問題，即化繁為簡的思想。例1教學中，假設路長只有20米，要栽幾棵樹呢？提示學生用畫線段圖或者示意圖的方式來輔助思考，從中滲透“數形結合”的思想。這樣學生就很容易地發現直接用除法20÷5=4算出的結果和通過直觀圖看出的5棵

12、樹有沖突，引發學生的思考。還要結合教材中“對嗎？檢驗一下”“可以畫線段圖來驗證”等線索，向學生滲透簡單的化歸、數形結合、一一對應、模型、推理等數學思想，激發學生對數學的興趣。三、應用畫圖策略，有效地解決生活中的植樹問題突破建議：在日常教學中，在指導學生學習數學的過程中，幫助學生養成畫圖的習慣是非常重要的。因此，教師在教學中要重視畫線段圖的方法，并通過多媒體直觀演示輔助教學，突出“一一對應”思想，把間隔點數和栽樹的棵數對應起來。之后讓學生再用“25 m”或者自己列舉的數據進一步探究，教師可以出示統計表，學生將研究結果記錄下來，利用統計表發現栽樹的棵數和間隔數之間的規律。四、用發現的規律解決生活中

13、的一些簡單實際問題突破建議：植樹問題的模型是現實世界中一類相近問題的拓展，它源于現實，又高于生活。所以，在現實中有著廣泛的應用價值。為了讓學生理解這一建模的意義，在教學中把植樹問題推廣到與植樹問題相近的一些問題中，以圖片、文字等形式讓學生了解生活中與植樹問題相似的現象，讓學生進一步體會現實生活中的許多不同事件（如隊列問題、公交站問題、敲鐘問題等），這些問題都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，使學生感悟到數學建模的重要意義。從而引導學生靈活運用所學知識解決生活中的一些實際問題，體驗生活中的數學，充分感受到數學知識來源于生活，又回歸于生活。但是，也要注意不要對例題進

14、行過多的變式，提高問題的難度，造成教學要求過高。第一課時：在一條線段上植樹（兩端都栽）教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第106頁例1及相關內容。教學目標：1建立并理解在線段上植樹（兩端都栽）的情況中“棵數=間隔數+1”的數學模型。2利用線段圖理解“點數=間隔數+1”“總長=間隔數×間距”等間隔數與點數、總長、間距之間的關系，解決生活中的實際問題。教學重點：建立并理解“點數=間隔數+1”的數學模型。教學難點：培養用畫線段圖的方法解決問題的意識，并能熟練掌握這種方法。教學準備：課件。教學過程：一、情境出示，設疑激趣教師：哪位同學知道我們國家設立的植樹節是在哪一天？（3月12日）在這

15、一天的植樹活動中，遇到了這樣一個問題。（課件出示問題）例1：同學們在全長100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？教師：你能利用所學的知識解決問題嗎？預設1：20棵。（教師追問：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）。預設2：我認為是21棵，因為題目中寫著“兩端要栽”，所以要再加1棵。教師：你認為哪一個結果是正確的？（指名回答）【設計意圖】直接出示例題的情境，通過學生的嘗試解答，既是對教學起點的了解，又利用兩種不同的結果設置疑問，激發了學生探求新知的熱情。二、經歷過程，感受方法教師：可以用怎樣的方法進行檢驗呢？（畫線段圖）那我們可

16、以在草稿本上試一試。遇到了什么困難？預設：100 m太長了，不太好畫。（追問：那我們可以怎么辦？）學生：可以先用簡單的數試一試。（課件出示）【設計意圖】使學生經歷分析思考的整個過程，感受“猜測驗證”的學習方法。在實際操作中發現問題有助于激發學生的思考，從而深刻地體會“從簡單事例中發現規律，并利用此規律解決較復雜問題”的數學思想。三、探索實踐，建立模型教師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。實物投影或課件出示：教師：說說你是怎么想的？預設：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因為兩端要栽，所以要栽5棵樹。教師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？（學

17、生操作）誰來說說你的想法？預設：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因為兩端都要栽，所以要栽6棵樹。還可以這樣畫：這里的藍色線段表示什么？（間隔數）紅色線段呢？（植樹棵數）教師：不畫圖，你能把下面的表格填寫完整嗎？（根據學生回答，教師在課件上輸入數據）你發現了什么規律？預設：棵數要比間隔數多1。（追問：可以用怎樣的一個式子表示？）棵數=間隔數+1。教師：誰能說說為什么要“+1”？（因為兩端都要栽，所以栽樹的棵樹比間隔數多1。）你能用發現的規律解決開頭的問題嗎？（指名回答，分析講解）教師：回顧這個問題的解答過程，說說你的想法。歸納小結：在解決較復雜或數據較大的問題時，可以先從簡

18、單數據出發得出規律，然后將規律運用于復雜問題進行解決。【設計意圖】“畫示意圖抽象出線段圖不畫圖”的教學過程，體現了從具體到抽象、從特殊到一般的設計理念，也正是在這一進程中，通過積極有效的教學活動，使學生建立起“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數學模型。四、利用新知，解決問題教師：根據剛才學到的知識，還可以解決許多生活中的問題。（課件出示問題）1在一條全長2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞。一共要安裝多少盞路燈？教師：讀完這個題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？預設1：單位不統一，要先進行轉化再計算。預設2：兩旁。（追問：表示什么？）就是兩邊。你能通過畫圖的方法表

19、示出“兩旁”嗎？在計算時該怎樣體現？（先算出一邊的路燈的數量，再乘以2。）學生練習，指名回答。2 km=2000 m （2000÷50+1）×2=82（盞）答：一共要安裝82盞路燈。教師：2000÷50算的是什么？（間隔數）“+1”說明了什么？（兩端都要安裝）2馬路一邊栽了25棵梧桐樹。如果每兩棵梧桐樹中間栽一棵銀杏樹，一共要栽多少棵？教師：仔細讀題，認真思考，說說你對這個題目的理解。引導得出：要求一共栽多少棵銀杏樹，實際就是求梧桐樹的間隔數。由“棵數=間隔數+1”可得“間隔數=棵數-1”。25-1=24（棵）答：一共要栽24棵銀杏樹。教師：可以用怎樣的方法驗證結

20、果是否正確？（可以先用比較簡單的例子，通過畫線段圖的方法進行驗證）和這題有關的簡單的例子，我們只要張開一只手。五個手指相當于題目中的？（梧桐樹）每兩個手指之間栽一棵（銀杏樹），可以栽幾棵？你還有其他的方法嗎？【設計意圖】練習中的實際問題，相比例題有一些變化，對于學生的理解能力提出了更高的要求。第1題用畫圖的方法直觀地表示出“兩旁”，解決了算式中為什么要“×2”的問題；第2題先讓學生思考，說說自己的理解，驗證的環節既是對方法的回顧，又體現了數學的趣味性。五、逆向思考，拓展新知園林工人沿一條筆直的公路一側植樹，每隔6 m種一棵，一共種了36棵。從第1棵到最后一棵的距離有多遠？教師：讀題并

21、思考，要求“從第1棵到最后一棵的距離”就是求什么？（路長）跟例題相比，有什么不同？預設：例題是知道了路長求栽樹的棵數，這題是知道了栽樹的棵數，求路線長度。教師追問：該怎樣解答呢？試一試，并說說你的思路。（36-1）×6=210（m）答：從第1棵到最后一棵的距離是210 m。教師：“36-1”算的是什么？（間隔數）再根據“間隔數×間隔距離=路長”計算。【設計意圖】通過變式練習，加深學生對例題中發現的規律的理解。該題是植樹問題數學模型的逆向應用，有了前一題“間隔數=棵數-1”的知識為基礎，學生應該能比較容易地解決這一問題。對于學習有困難的同學，也可引導他們用畫線段圖的方法解答。

22、六、回顧思考，全課總結教師：通過這一節的學習，你有什么收獲？跟大家交流一下。根據學生回答，強調：1解決兩端都要栽的植樹問題的數學模型：棵數=間隔數+1。2當遇到較為復雜的數學問題時，可以先從簡單的事例中發現規律，然后應用找到的規律來解決原來的問題。板書設計：例1：100÷5=20（棵）。 2 km=2000 m （2000÷50+1）×2=82（盞）20+1=21（棵） 答：一共要安裝82盞路燈。答：一共可以載21棵。教學反思：第二課時：在一條線段上植樹（兩端都不栽）教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第107頁例2及相關內容。教學目標：1建立并理解在線段上植樹

23、（兩端都不栽）的情況中“棵數=間隔數-1”的數學模型。2通過畫線段圖初步培養學生探索解決問題的有效方法的能力，嘗試用植樹問題的模型解決實際生活中的簡單問題，培養應用意識。教學重點：建立并理解“棵數=間隔數-1”的數學模型。教學難點：培養學生探索解決問題的有效方法的能力。教學準備：課件。教學過程：一、創設情境，復習引入教師：上節課，我們學習了植樹問題中兩端都栽的情況，誰能說一說是用怎樣的數學模型解決這類問題的？（棵數=間隔數+1）能快速地完成下一題嗎？（課件出示題目）準備題：綠化隊要在相距60 m的小路一邊植樹（兩端都栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？指名回答：60÷

24、;3+1=21（棵） 答：一共要栽21棵樹。再來看看這一題（課件出示例2）認真思考，這兩個題目有什么不同？大象館和猴山相距60 m。綠化隊要在兩館間的小路兩旁栽樹（兩端不栽），相鄰兩棵樹之間的距離是3 m。一共要栽多少棵樹？【設計意圖】例2是在例1的基礎上教學的，對已學知識的復習是為了找準知識遷移的“原點”，為下一個環節的教學做好鋪墊。二、比較分析，遷移新知教師：你能用畫圖的方法表示出你的發現嗎？同桌之間可以互相交流。（指名匯報）預設1：準備題是一邊，例2是小路兩旁。（追問：在圖上該如何表示？）就是有兩條線段。（怎么計算？）只要先算出一邊的樹木數量，再“×2”就可以了。預設2：準備題

25、是兩端都栽，例2是兩端不栽。（追問：你能通過示意圖說說為什么嗎？）因為小路的兩端都是場館。教師：這個題目該如何解決呢？你想到了什么方法？（可以先從簡單的事例中發現規律）請你在草稿本上試一試。【設計意圖】通過比較分析，使學生更為深刻地理解題意，引導“用畫圖的方法表示出來”對于培養學生良好的審題習慣具有非常重要的作用。該環節的設計還重點突出了對“先從簡單的事例中發現規律，再將規律應用于問題的解決”這一數學方法的遷移。三、理解歸納，得出模型指名回答，過程預設：1先畫一個簡單的線段圖看看，以20 m長的線段為例，在兩端都栽的情況下“棵數=間隔數+1”，需要栽5棵樹。2同樣長的線段，在兩端都不栽的情況下

26、只需要栽3棵樹，也就是說栽的棵數比間隔數少1。（教師追問：可以用怎樣的數學模型表示？）棵數=間隔數-1。教師：你能用不同的方法試一試，對這一數學模型進行驗證嗎？（學生操作，交流發現。）運用這一模型，例2可以怎樣解答？60÷3-1=19（棵）19×2=38（棵）答：一共要栽38棵樹。教師追問：為什么要“×2”？（因為小路兩旁都要栽樹）教師小結：我們一起來回顧一下這個題目的解決過程。通過與例1中兩端都栽的植樹問題相比較，采用同樣的方法得出了兩端不栽的植樹問題的數學模型，即棵數=間隔數-1。【設計意圖】通過教師的引導，促使學生自主探索，經歷了問題解決的整個過程，對數學思

27、想的滲透也在知識的遷移和轉化過程中得到了體現。在教學實際中，可結合“你能用不同的方法對這一數學模型進行驗證嗎？”這一問題，進行開放式的教學實踐，鼓勵學生用自己的方法探索出規律。四、課堂練習，應用新知教師：利用這一數學模型，還能解決許多生活中的問題。1一條走廊長32 m，每隔4 m擺放一盆植物（兩端不放）。一共要放多少盆植物？學生練習，指名回答：32÷4-1=7（盆）答：一共要放7盆植物。教師：如果改為兩端都放，該怎么算？32÷4+1=9（盆）教師：這兩種不同的擺法相差幾盆？（2盆）為什么？（兩端都放時，盆數=間隔數+1；兩端都不放時，盆數=間隔數-1。）2一根木頭長10 m

28、，要把它平均分成5段。每鋸下一段需要8分鐘，鋸完一共要花多少分鐘？教師：這個問題和我們學習的植樹問題有關聯嗎？屬于植樹問題中的哪一種情況？可以先用畫圖的方法試一試。學生練習，分析講評：10÷5-1=4（次） 8×4=32（分鐘）答：鋸完一共要花32分鐘。【設計意圖】第1題在完成后進行了比較練習，加深了學生對兩種不同數學模型之間關系的認識；第2題雖然不是植樹的情境，但規律是相同的，引導學生通過畫線段圖的方法即可抓住題目的本質，同時擴展了學生對所學知識的應用視野。五、利用變式，強化認知小明家門前有一條35 m的小路，綠化隊要在路旁栽一排樹。每隔5 m栽一棵樹（一端栽一端不栽）。

29、一共要栽多少棵？教師：這題與已經學過的植樹問題有什么不同？（一端栽一端不栽）先猜一猜，再用自己喜歡的方法驗證結果是否正確。預設1：兩端都栽的情況下，棵數=間隔數+1；兩端不栽的情況下，棵數=間隔數-1。這種一端栽一端不栽的情況，應該是棵數=間隔數。預設2：是用畫線段圖的方法得出的，一共要栽7棵。預設3：直接用35÷5=7（棵）。（教師追問：35÷5算的是什么？）間隔數。（用這樣的方法計算其實是以什么作為依據的？）在一端栽一端不栽的情況下，棵數=間隔數。教師：比較植樹問題的三種情況，說說你自己的理解。【設計意圖】以已學知識為基礎，放手讓學生獨立思考，鼓勵用自己喜歡的方法探索這

30、種情況的規律，在最后的比較環節也強調說出自己的理解。學生通過這樣的方式獲取的知識、思維活動的經驗才能更加鮮活和深刻，充分體現了“不同的人在數學上得到不同的發展”這一基本理念。六、課堂小結，布置作業小結：植樹問題在生活中的應用非常廣泛，在解決這類問題時，應該先判斷出屬于哪一種情況，再根據題意列式解答。課外作業：先判斷以下各題屬于哪種情況，再列式解答。（1）在一條長2千米的公路的一邊栽白楊樹，每隔8米栽1棵，最多可以栽多少棵？最少可以栽多少棵？（2）搬運工從一樓到二樓，走了16級臺階，王麗家住6樓，每相鄰兩層臺階相同，從一樓到六樓一共走多少級臺階？（3）一個古老的擺鐘，于六時整敲響六下，需時五秒鐘

31、；那么，在正午敲響十二下時，需時多少秒？板書設計：例2：60÷3-1=19（棵）19×2=38（棵）答：一共要栽38棵樹。教學反思：第三課時：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第108頁例3相關內容。教學目標：1運用轉化的方法，使學生理解在一條首尾封閉的曲線上植樹所需棵數與間隔數“一一對應”的數學模型。2進一步培養學生在解決實際問題中探索規律，找出解決問題的有效方法的能力，以及抽取數學模型的能力。教學重點：理解在一條首尾相接的封閉曲線上植樹的基本數學模型。教學難點：培養學生在解決實際問題中探索規律，找出解決問題的有效方法的能力。教學準備：課

32、件。教學過程：一、談話引入，復習舊知教師：在前面兩節課中，我們共同探討了在一條線段上植樹的問題，還運用發現的規律解決了許多生活中的實際問題。誰來幫助大家一起回顧這些知識？預設：在一條線段上植樹可以分成三種情況：兩端都栽時，棵數比間隔數多1；兩端都不栽時，棵數比間隔數少1；一端栽一端不栽時，棵數和間隔數相等。教師：在解決復雜問題時，我們是怎么做的？預設：可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以從簡單的事例中發現規律，再應用找到的規律來解決原來的問題。教師：同學們對已學知識掌握得很好！今天這節課，我們要一起來研究植樹問題中的另一種情況。【設計意圖】復習舊知再現了在一條線段上植樹的三種情況，以

33、及“猜測驗證”的方法和“從簡單事例中發現規律，再將規律應用于復雜問題解決”的數學思想，為本課新知內容的探索打下了堅實的基礎。二、自主探索，學習新知1出示情境，展開探索例3：張伯伯準備在圓形池塘周圍栽樹。池塘的周長是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵樹？教師：這道題與前面學習的植樹問題相比，有什么相同和不同的地方？預設：不同之處在于前面學習的是在線段上植樹的問題，這道題是在一個圓形周圍植樹。（教師追問1：線段是怎樣的？圓形又是怎樣的？）線段是直的，圓形是一條曲線。（教師追問2：一條什么樣的曲線？）逐步引導得出：一條首尾相接的封閉曲線。預設：相同之處是，都是已知長度和間隔距離。教師

34、：你能聯系已經學過的知識，自主解決“一共要栽多少棵樹”的問題嗎？學生獨立思考，討論匯報。2概括歸納，得出模型教師：大家想到了用什么方法來解決問題？（畫圖）120 m的長度太長了，怎么辦？（先用簡單的數據試一試）（1）以周長為40 m的圓為例，通過下圖得知，能栽4棵樹。（2）如果把圓拉直成線段，你能發現什么？預設：相當于在線段上植樹的問題中“一端栽一端不栽”的情況。（3）我們還可以用這樣的方式來理解。引導得出：植樹的棵數與間隔數“一一對應”。教師：利用發現的知識，你能解決例3的問題嗎？（出示：池塘的周長是120 m？）120÷10=12（棵）答：一共要栽12棵樹。教師：誰能完整地概括一下剛才的發現？預設：在一條首尾相接的封閉曲線上植樹，所需棵數與間隔數“一一對應”，相當于在線段上植樹的一端栽一端不栽的情況。【設計意圖】學生已經有了“在線段上植樹”的學習經驗，在出示情境圖引導學生比較相同點和不同點之后，教師放手讓學生自主探究。在概括歸納的環節，注重模型的對比和溝通，通過兩種不同的方式，自然地得出在一條首尾相接的曲線上植樹所需棵樹與間隔數“一一對應”的結論，相當于在線段上植樹中一端栽一端不栽的情況。三、課堂練習，鞏固強化教師：運用剛