1、2012-2013學年第一學期統計10本隨機過程期中考試一. 填空題1設馬氏鏈的一步轉移概率矩陣，步轉移矩陣，二者之間的關系為 2.狀態i常返的充要條件為。3.在馬氏鏈中，記=，n1. =,若<1,稱狀態i為 。二. 判斷題1. 是一個可數集，是取值于S的一列隨機變量，若，則是一個馬氏鏈。 × 2. 任意狀態都與它最終到達的狀態是互通的，但不與它自己是互通的。 ×3. 一維與二維簡單隨機游動時常返的，則三維或更高維的簡單隨機游動也是常返的。×4. 若狀態狀態，則與具有相同的周期。 5. 一個有限馬爾科夫鏈中不可能所有的狀態都是暫態。 三. 簡答題1什么是隨機

2、過程，隨機序列？答：設T為0，+）或（-，+），依賴于t(tT)的一族隨機變量（或隨機向量）通稱為隨機過程，t稱為時間。當T為整數集或正整數集時，則一般稱為隨機序列。2 .什么是時齊的獨立增量過程？答：稱隨機過程：t0為獨立增量過程，如果對于起始隨機變量及其后的增量是相互獨立的隨機變量組；如果的分布不依賴于s, 則此獨立增量過程又稱為時齊的獨立增量過程。3.由4個狀態組成的馬氏鏈的轉移概率矩陣 ，確定哪些狀態是暫態，哪些狀態是常返態？4.考慮由狀態0,1,2,3,4組成的馬爾科夫鏈，而，確定常返態？5.設有四個狀態的馬氏鏈，它的一步轉移概率矩陣1) 對狀態進行分類；2) 對狀態空間進行分解。解

3、：1) 均為零，所以狀態3構成一個閉集，它是吸收態，記；0，1兩個狀態互通，且它們不能到達其它狀態，它們構成一個閉集，記，且它們都是正常返非周期狀態；由于狀態2可達中的狀態，而中的狀態不可能達到它，故狀態2為非常返態，記。 2）狀態空間可分解為：3)四. 計算題1. 說是有一位賭徒，他去賭博帶有賭資100元，而對手有200元賭資，他們的規則是每次下注五元，每次贏五元或輸五元的概率相等, = =1/2.當賭徒破產或完勝時停止賭博。問：（1）該賭徒完勝和破產的概率分別是什么？ （2）賭博結束時，該賭徒平均能贏多少錢？ （3）這場賭博平均要用多長時間？解：（1）由題可得，m=100.M=300.則完

4、勝時: =m/M=100/300=1/3, 破產時： (2): （元）2. 設子代分布為二項分布B(2，1/2).考察相應的分支過程及其滅絕時間，求滅絕概率 解：由子代分布為二項分布B(2，1/2)，可得：Pk= =P0=1/4，P1=1/2，P2=1/4.又知f()=1/4+1/2+1/4解得：=1 3. 設馬爾科夫鏈的轉移概率矩陣為: (1).求兩步轉移概率矩陣及當初始分布為 ，時，經兩步轉移后處于狀態2的概率。 （2）求馬爾科夫鏈的平穩分布。：4.設馬爾科夫鏈的狀態空間I=1,2,3,4,5，轉移概率矩陣為：求狀態的分類，各常返閉集的平穩分布及各狀態平均返回時間。解：（1）狀態分類=1,

5、2,3；=4,5（2）由常返閉集的定義可知，常返集有兩個，下面分別求其平穩分布及各狀態的平均返回時間。A對的常返閉集而言解方程組解上述方程組的平穩分布為各狀態的平均返回時間為B對的常返閉集而言解方程組解上述方程組的平穩分布為各狀態的平均返回時間為5.若,它的滅絕概率為,且,它的滅絕概率為.求:(1) 的值；（2）的值；（3）假定它們的初始時由n個個體組成，分別求出兩者的總體滅絕的概率。解：（1）由于所以=1； （2）滿足 = 解得這個二次方程的最小的正解是=。 （3）因為總體滅絕當且僅當初始代的每個成員的家庭都滅絕，要求的概率是。則 =1， =6小張的賓館剛開張不久，入住的家庭數是均值為的隨機

6、變量，再假定一個家庭在賓館停留的天數是參數為的幾何隨機變量，（于是在前一個晚上留在賓館的一個家庭，獨立于已經在賓館呆了多久，將在第二天以概率P退房），再假定所有的家庭是彼此獨立的，在這些條件下容易看出，如果以記在第n天開始入住賓館的家庭數，那么，n0是馬爾科夫鏈。求：此馬爾科夫鏈的轉移概率。解：為了求，我們假定在一天開始是賓館中有i個家庭，因為這i個家庭將以概率q=1-q再呆一天，由此推出這i個家庭中再留一天的家庭數是二項（i,q）隨機變量。所以，以N記這天新入住的家庭數，我們看到對于取條件，并且利用N是均值為的泊松隨機變量，我們得到7.設明天是否有雨僅與今天的天氣有關，而與過去的天氣無關。又

7、設今天下雨而明天也下雨的概率為，而今天無雨明天有雨的概率為；規定有雨天氣為狀態0，無雨天氣為狀態1。設，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。解：由題設條件，得一步轉移概率矩陣為，于是，四步轉移概率矩陣為，從而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率為。8.一質點在1,2,3三個點上作隨機游動，1和3是兩個反射壁，當質點處于2時，下一時刻處于1,2,3是等可能的。寫出一步轉移概率矩陣，判斷此鏈是否具有遍歷性，若有，求出極限分布。解：一步轉移概率矩陣， 9 設馬爾科夫鏈的狀態空間為, 一步轉移概率矩陣為，求其相應的極限分布。解：設其極限分布由W=WP得到方程組 解方程組得到： 10.設馬氏鏈的轉移概率矩陣為P，求該馬氏鏈的平穩分布及各狀態的的平均返回時間？ 11.設有時齊次的馬氏鏈轉移概率矩陣為P ，討論其馬氏性，并求其平穩分布。解 馬氏鏈的狀態空間為I=1,2，均為吸收態，狀態空間可分解為兩個閉集之和，I=1+2，故其是不可約的馬氏鏈， 1 0 P= =PPP=P(n),0 1所以狀態1和狀態2都是非周期的，且有LimP11(n)=