1、 h S z = - cos g 2 æ 1 ö R21 (r Y11 (q , j ÷ ç ÷ 7.5 設氫的狀態是 y = ç 2 3 ç ÷ R21 (r Y10 (q , j ÷ ç- è 2 ø 的平均值； 和自旋角動量 z 分量 S 求軌道角動量 z 分量 L z z 解： 可改寫成 r e r e r L- S 求總磁矩 M = - 2m m 的 z 分量的平均值（用玻爾磁矩子表示）。 æ1ö æ 0ö 1 3 ÷

2、; y = R21 (r Y11 (q , j ç - R21 (r Y10 (q , j ç ç ÷ ç1÷ ÷ 2 è 0ø 2 è ø 1 3 R21 (r Y11 (q , j c 1 (S z - R21 (r Y10 (q , j c 1 (S z - 2 2 2 2 h 從 的表達式中可看出 Lz 的可能值為 0 = 相應的幾率為 1 4 3 4 Þ Lz = h 4 h 2 1 4 - h 2 3 4 的可能值為 S z 2 相應的幾率 C i 為 S z =

3、 å Ci S zi = 2 h 1 h 3 h ´ - ´ =- 2 4 2 4 4 Mz = - = e e e h e h Lz - S z = - ´ - ´ (- 2m m 2m 4 m 4 e h 1 ´ = MB 2m 4 4 7.6 一體系由三個全同的玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩 個可能的單粒子態。 問體系可能的狀態有幾個？它們的波函數怎樣用單粒子波函 數構成？ 解：體系可能的狀態有 4 個。設兩個單粒子態為 f i ， f j ，則體系可能的狀態為 F1 = fi (q1 fi (q2 fi (q3

4、 F2 = f j (q1 f j (q2 f j (q3 F3 = 1 3 fi (q1 fi (q 2 f j (q3 + fi (q1 fi (q3 f j (q 2 + fi (q 2 fi (q3 f j (q1 F4 = 1 3 f j (q1 f j (q2 fi (q3 + f j (q1 f j (q3 fi (q2 + f j (q2 f j (q3 fi (q1 (1 ( 2 (3 7.7 證明 c S 和 c A 組成的正交歸一系。 , cS , cS (1+ (1 解： c S c S = c1/ 2 (S1z c1/ 2 (S 2 z + c1/ 2 (S1z c1

5、/ 2 (S 2 z = c1+/ 2 (S2 z c1+/ 2 (S1z c1/ 2 (S1z c1/ 2 (S2 z = c1+/ 2 (S2 z c1/ 2 (S2 z =1 (1+ ( 2 cS c S = c1/ 2 (S1z c1/ 2 (S 2 z + c -1/ 2 (S1z c -1/ 2 (S 2 z (1 + ( 3 cS cS = c1+/ 2 (S2 z c1+/ 2 (S1z c-1/ 2 (S1z c-1/ 2 (S2 z = 0 1 = c1 / 2 ( S1z c1 / 2 ( S 2 z + × 2 × c1 / 2 ( S1z c -1

6、 / 2 ( S 2 z + c -1 / 2 ( S1z c1 / 2 ( S 2 z 2 + c1+/ 2 (S 2 z c1+/ 2 ( S1z c -1 / 2 ( S1z c1 / 2 ( S 2 z 1 = c1+/ 2 ( S 2 z c -1 / 2 ( S 2 z + 0 = 0 2 = 1 c1+/ 2 ( S 2 z c1+/ 2 (S1z c1 / 2 ( S1z c -1 / 2 ( S 2 z + 同理可證其它的正交歸一關系。 ( 3 + ( 3 cS c S = c1 / 2 ( S1z c -1 / 2 ( S 2 z + c -1 / 2 ( S1z c1 /

7、 2 ( S 2 z + × 1 2 × c1 / 2 ( S1z c -1 / 2 ( S 2 z + c -1 / 2 ( S1z c1 / 2 ( S 2 z 1 = c1/ 2 ( S1z c -1/ 2 ( S 2 z + c1/ 2 ( S1z c -1/ 2 ( S 2 z 2 1 + c1/ 2 ( S1z c -1/ 2 ( S 2 z + c1/ 2 ( S 2 z c -1/ 2 ( S1z 2 1 + c1/ 2 ( S 2 z c -1/ 2 ( S1z + c1/ 2 ( S1z c -1/ 2 ( S1z 2 1 + c1/ 2 ( S 2 z

8、 c -1/ 2 ( S1z + c1/ 2 ( S 2 z c -1/ 2 ( S1z 2 1 1 = + 0 + 0 + =1 2 2 7.8 設兩電子在彈性輳力場中運動，每個電子的勢能是 U (r = mw 2 r 2 。 如果電子之間的庫侖能和 U (r 相比可以忽略，求當一個電子處在基態，另 一電子處于沿 x 方向運動的第一激發態時，兩電子組成體系的波函數。 1 2 解：電子波函數的空間部分滿足定態 S-方程 - h2 Ñy (r + U (r y (r = Ey (r 2m h2 - ( + + y (r + mw r y (r = Ey (r 2m ¶x 2

9、¶y 2 ¶z 2 2 考慮到 r 2 = x 2 + y 2 + z 2 ，令 y (r = X ( xY ( y Z ( z - h2 ¶2 ¶2 ¶2 1 ( 2 + 2 + 2 XYZ + mw 2 ( x 2 + y 2 + z 2 XYZ = EXYZ 2m ¶x 2 ¶y ¶z - h2 ¶2 ¶2 ¶2 1 ( + + y (r + mw 2 r 2y (r = Ey (r 2 2 2 2 2 2 2m ¶x ¶ ¶y ¶

10、82;z 21 ¶ 2 2 (- h2 1 ¶2 X 1 h 2 1 ¶ 2Y 1 2 2 + mw x + ( - + mw 2 y 2 2 2 2 m X ¶x 2 2 m Y ¶x 2 h2 1 ¶2Z 1 + mw 2 z 2 = E 2 2 m Z ¶x 2 + (- h2 1 ¶2 X 1 Þ (- + mw 2 x 2 = E x 2 2m X ¶x 2 h 2 1 ¶ 2Y 1 (- + mw 2 y 2 = E y 2 2m Y ¶x 2 h2 1 

11、2;2Z 1 (- + mw 2 z 2 = E z 2 2m Z ¶x 2 E = Ex + Ey + Ez Þ X n ( x = N n e Ym ( y = N m e 1 - a 2 x2 2 H n (a x H m (a y 1 - a 2 y2 2 Z l ( z = N l e 1 - a 2z2 2 H l (a z 1 - a 2r 2 2 y nml (r = N n N m N l e H n (a x H m (a y H l (a z y nml (r = N n N m Nl e a p 1/ 2 1 - a 2r 2 2 H n (ax H

12、 m (ay H l (az mw h E nml = (n + m + l + 3 2 hw 其中 N n = 2 n! n ， a= 對于基態 n = m = l = 0 ， H 0 = 1 a 3 / 2 - 2a Þ y 0 = y 000 (r = ( e p 1 2 2 r 對 于 沿 方 向 的 第 一 激 發 態 n = 1，m = l = 0 ， H （ 1 x = 2a x a a 3/ 2 -1 y 0 = y 000 (r = ( e 2 p 2 2 r y 1 = y 100 (r = xe 兩電子的空間波函數能夠組成一個對稱波函數和一個反對稱波函數，其形式

13、為 3/ 4 y S (r1 , r2 = = 1 2 2a 5 / 2 2p 1 - a 2r 2 2 y 0 (r1 y 1 (r2 + y 1 (r1y 0 (r2 2 1 - a a4 2 x e 2 p 3/ 2 ( r12 + r22 + x1e 2 1 - a 2 ( r12 + r22 2 = - a a4 ( x2 + x1 e 2 3/ 2 p 1 ( r12 + r22 y A (r1 , r2 = 1 y 0 (r1 y 1 (r2 -y 0 (r2 y 1 (r1 2 2 1 - a a4 = 3 / 2 ( x2 - x1 e 2 p ( r12 + r22 而兩電子的自旋波函數可組成三個對稱態和一