1、第十二章第十二章 動量矩定理動量矩定理12-1 12-1 質點和質點系的動量矩質點和質點系的動量矩1 1質點的動量質點的動量矩矩對點對點O O的動量的動量矩矩對對 z z 軸的動量軸的動量矩矩 單位：單位：kgm2/s 2 2質點系的動量質點系的動量矩矩 對點的動量矩對點的動量矩 對軸的動量矩對軸的動量矩 等于等于 對點對點O的矩。的矩。 是代數量是代數量，從從 z z 軸正向看軸正向看，逆時針為正逆時針為正，順順時針為負時針為負。（1） 剛體平移。可將全部質量集中于質心剛體平移。可將全部質量集中于質心，作為一個質點來計算。作為一個質點來計算。，（2） 剛體繞定軸轉動剛體繞定軸轉動 轉動慣量轉

2、動慣量 即即 12-2 12-2 動量矩定理動量矩定理 1 1質點的動量矩定質點的動量矩定理理設設O O為定點，為定點，有有其中：其中： （O為定點）為定點）直角坐標投影式：直角坐標投影式：因此因此 稱為稱為質點的動量矩定理質點的動量矩定理：質點對某定點的動量矩對：質點對某定點的動量矩對時間的一階導數，等于作用力對同一點的矩時間的一階導數，等于作用力對同一點的矩。得得稱為稱為質點系的動量矩定理質點系的動量矩定理：質點系對某定點：質點系對某定點O O的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力外力對于同一點的矩的矢量和。對于同一點的矩的矢量和。2.2. 質

3、點系的動量矩定質點系的動量矩定理理 由于由于 N N個方程相加個方程相加后后第第i i個質個質點點直角坐標投影式：直角坐標投影式：內力不能改變質點系的動量矩內力不能改變質點系的動量矩。上述表達式形式只適用于對固定點或固定軸。上述表達式形式只適用于對固定點或固定軸。例例12-1 12-1 已知：小車已知：小車 ，不計摩擦，不計摩擦。求小車的加速度求小車的加速度 。解解：由由 ， ， 得得例例12-3：已知已知 ， ， ， ， ， ，不計摩擦。不計摩擦。求求（1） （2）O O處約束力處約束力 （3）繩索張力繩索張力 ， 由由 ，得得解：解：（1） （2 2）由質心運動定）由質心運動定理理 （3）

4、 研究研究（4）研究研究3 3動量矩守恒定律動量矩守恒定律若若 ，則則 常矢量；常矢量；若若 ，則則 常量常量。例：面積速度定理例：面積速度定理有心力有心力：力作用線始終通過某固定點，：力作用線始終通過某固定點， 該點稱該點稱力心力心。由于由于 ，有有 常矢量常矢量（2） 常量常量即即 常量常量由圖由圖， 因此因此， 常量常量 稱面積速度稱面積速度。（1） 與與 必在一固定平面內，即點必在一固定平面內，即點M M的運動的運動 軌跡是平面曲線。軌跡是平面曲線。tAdd求：剪斷繩后，求：剪斷繩后， 角時的角時的 。例例12-412-4：兩小球質量皆為：兩小球質量皆為 ，初始角速度，初始角速度 。時

5、，時， 時，時，由由 ，得得解解： 12-3 12-3 剛體繞定軸的轉動微分方程剛體繞定軸的轉動微分方程主動力主動力：約束力約束力：即即：或或或或例例12-512-5：已知：已知： ，求求 。解解：擺動的周期擺動的周期 。例例12-6 12-6 物理擺（復擺），物理擺（復擺），已知已知 ，求微小求微小解解：微小擺動時微小擺動時，即即：通解為通解為 稱稱角振幅角振幅， 稱稱初相位初相位，由初始條件確定。由初始條件確定。周期周期例例12-7：已知：已知 ，動滑動摩擦系數，動滑動摩擦系數 ，求制動所需時間求制動所需時間 。解：解：例例12-8：已知：已知 ，求：，求： 。解：解：因因 ， ，得，得1

6、2-4 12-4 剛體對軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量 單位：單位：kgm2 1. 1. 簡單形狀物體的轉動慣量計算簡單形狀物體的轉動慣量計算（1 1）均質細直桿對一端的轉動慣量）均質細直桿對一端的轉動慣量 由由 ，得，得（2 2）均質薄圓環對中心軸的轉動慣量）均質薄圓環對中心軸的轉動慣量（3 3）均質圓板對中心軸的轉動慣量）均質圓板對中心軸的轉動慣量式中：式中： 或或2. 2. 回轉半徑（慣性半徑）回轉半徑（慣性半徑） 或或3平行軸定理平行軸定理 式中式中 軸為過質心且與軸為過質心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對即

7、：剛體對于任一軸的轉動慣量，等于剛體對于通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加于通過質心并與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積。上剛體的質量與兩軸間距離平方的乘積。證明：證明：因為因為有有 ，得，得例例12-912-9：均質細直桿，已知：均質細直桿，已知 。求：對過質心且垂直于桿的求：對過質心且垂直于桿的 軸的轉動慣量。軸的轉動慣量。對一端的對一端的 軸，有軸，有要求記住三個轉動慣量要求記住三個轉動慣量（1 1） 均質圓盤對盤心軸的均質圓盤對盤心軸的轉動慣量轉動慣量（2 2） 均質細直桿對一端的均質細直桿對一端的轉動慣量轉動慣量（3 3） 均質細直桿對中心軸均質細直桿

8、對中心軸的轉動慣量的轉動慣量則則解：解：4 4組合法組合法求：求： 。例例10：已知桿長為：已知桿長為 質量為質量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為 質量為質量為 。解：解：例例12-11：已知：已知： ， 解：解：其中其中由由 ，得，得求求 。5實驗法實驗法例：求對例：求對 軸的轉動慣量。軸的轉動慣量。將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 O 上，作微幅擺動。上，作微幅擺動。由由其中其中 已知，已知， 可測得，從而求得可測得，從而求得 。解：解：6. 查表法查表法均質物體的轉動慣量均質物體的轉動慣量薄壁薄壁圓筒圓筒細直細直桿桿體積體積慣性半慣性半徑徑轉動慣量轉動慣量簡簡 圖圖物體物體的形的形狀狀薄壁薄壁空

9、心空心球球空心空心圓柱圓柱圓柱圓柱圓環圓環圓錐圓錐體體實心實心球球矩形矩形薄板薄板長方長方體體橢圓橢圓形薄形薄板板12-5 質點系相對于質心的動量矩定理質點系相對于質心的動量矩定理1對質心的動量矩對質心的動量矩由于由于（因（因 ） 有有得得其中其中即：質點系相對質心的動量矩，無論是以相對速度或即：質點系相對質心的動量矩，無論是以相對速度或以絕對速度計算質點系對于質心的動量矩其結果相同。以絕對速度計算質點系對于質心的動量矩其結果相同。對任一點對任一點O的動量矩：的動量矩：2 相對質心的動量矩定理相對質心的動量矩定理由于由于即即質點系相對于質心的動量矩定理：質點系相對于質點系相對于質心的動量矩定理

10、：質點系相對于質心的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系質心的動量矩對時間的導數，等于作用于質點系的外力對質心的主矩。的外力對質心的主矩。或或12-6 剛體的平面運動微分方程剛體的平面運動微分方程以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。以上各組均稱為剛體平面運動微分方程。應用時一般用投影式：應用時一般用投影式： 例例12-12 半徑為半徑為r，質量為，質量為m的均質圓輪沿水平的均質圓輪沿水平直線滾動，如圖所示。設輪的慣性半徑為直線滾動，如圖所示。設輪的慣性半徑為 ，作用，作用于輪的力偶矩為于輪的力偶矩為M。求輪心的加速度。如果圓輪對。求輪心的加速度。如果圓輪對地面的滑動摩擦因數為地面的滑動摩擦因數

11、為f，問力偶，問力偶M必須符合什么條必須符合什么條件不致使圓輪滑動件不致使圓輪滑動?解：解：其中其中得得純滾動的條件：純滾動的條件：即即 例例12-13 均質圓輪半徑為均質圓輪半徑為r質量為質量為m ， 受到輕受到輕微擾動后，在半徑為微擾動后，在半徑為的圓弧上往復滾動，如圖所的圓弧上往復滾動，如圖所示。設表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。示。設表面足夠粗糙，使圓輪在滾動時無滑動。 求：質心求：質心的運動規律。的運動規律。解解:由于由于其解為其解為式中式中運動方程為運動方程為得得得得由由 時時 例例1414 兩質量各為8 kg的均質桿固連成T 字型，可繞通過O點的水平軸轉動，當OA 處于水平位

12、置時, T 形桿具有角速度 =4rad/s 。求該瞬時軸承O 的反力。解解： 選T 字型桿為研究對象； 受力分析如圖示； 運動分析：剛體繞O 軸轉動； 根據定軸轉動微分方程求解：5 . 025. 0mgmgIO2222121712131mlmlmlmlIO22srad75.205 . 08 . 9825. 08 . 985 . 081217再根據質心運動定理有：N 964375. 0 82 2 2CxOamXN 3 .32 75.20375. 0 828 . 98222CyOmamgYOCxXam )2(mgYamOCy2)2(2OCaaCnCxOCaaCCy運動學補充方程：例例15 均質圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求求： 圓柱B下落時質心的加速度。若在圓柱體A上作用一逆時針轉向的轉矩M，試問在什么條件下圓柱B的質心將上升。選圓柱B為研究對象rTrgPB212TPagPC運動學補充方程 ：BACrraTrrgPA221解：選圓柱A為研究對象由、式