1、第一章 習題課 npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 1n階行列式的定義階行列式的定義., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所有排的所有排表示對表示對個排列的逆序數個排列的逆序數為這為這的一個排列的一個排列為自然數為自然數其中其中ntnppppppnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用數等于用數一數一數中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零則此行列式則此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有兩行如果行列式有兩行行列式變號行列式變

2、號列列互換行列式的兩行互換行列式的兩行即即式相等式相等行列式與它的轉置行列行列式與它的轉置行列kk 2n階行列式的性質階行列式的性質., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不變行列式的值不變對應的元素上去對應的元素上去行行后加到另一列后加到另一列然然的各元素乘以同一數的各元素乘以同一數行行把行列式的某一列把行列式的某一列式之和式之和此行列式等于兩個行列此行列式等于兩個行列則則的元素都是兩數之和的元素都是兩數之和行行若行列式的某一列若行列式的某一列式為零式為零則此行列則此行列元素成比例元素成比例列列行列式中如果有兩行行列式中如果有兩行提到行列式符號的外面

3、提到行列式符號的外面以以的所有元素的公因子可的所有元素的公因子可列列行列式中某一行行列式中某一行）余子式與代數余子式）余子式與代數余子式.,)1(1 的代數余子式的代數余子式叫做元素叫做元素；記；記的余子式，記作的余子式，記作階行列式叫做元素階行列式叫做元素列劃去后，留下來的列劃去后，留下來的行和第行和第所在的第所在的第階行列式中，把元素階行列式中，把元素在在aAMAManjianijijijjiijijijij 3行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開）關于代數余子式的重要性質）關于代數余子式的重要性質 ., 0;, 1., 0;,., 0;,11jijijijiDDAajijiDDAai

4、jijjknkikijkinkki當當當當其中其中當當當當或或當當當當 4克拉默法則克拉默法則., , 2 , 1., 2 , 1, 0 .,122112222212111212111所得到的行列式所得到的行列式，換成常數項換成常數項列列中第中第）是把系數行列式）是把系數行列式（其中其中那么它有唯一解那么它有唯一解的系數行列式的系數行列式如果線性方程組如果線性方程組bbbjDnjDnjDDxDbxaxaxabxaxaxabxaxaxanjjjnnnnnnnnnn 克拉默法則的理論價值克拉默法則的理論價值., 0., 22112222212111212111唯一唯一那么它一定有解，且解那么它一定

5、有解，且解的系數行列式的系數行列式如果線性方程組如果線性方程組 Dbxaxaxabxaxaxabxaxaxannnnnnnnnn. 必為零必為零解，則它的系數行列式解，則它的系數行列式解或有兩個不同的解或有兩個不同的如果上述線性方程組無如果上述線性方程組無定理定理定理定理., 0. 0, 0, 0 221122221211212111那么它沒有非零解那么它沒有非零解的系數行列式的系數行列式如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組 Dxaxaxaxaxaxaxaxaxannnnnnnnn. 它的系數行列式必為零它的系數行列式必為零組有非零解，則組有非零解，則如果上述齊次線性方程如果上述齊次線性方程定

6、理定理定理定理【例例1】計算計算0112012120112110D【解解】0112012121102011D) 4() 1 (2) 3() 1 (201121102110 4130 )4()2(3)3()2(2110201100-2400-22) 4() 3(1420021102011 0 0 0 -2=41用化三角形行列式計算用化三角形行列式計算【例例2】計算計算n階行列式階行列式abbbbabbbbabbbbaDn特點特點：各行（列）元素相加后都相等：各行（列）元素相加后都相等. 方法方法：可把行列式的各列（行）都加到第一列（行）：可把行列式的各列（行）都加到第一列（行） 上，提出公因子后

7、再化簡成行列式計算上，提出公因子后再化簡成行列式計算. 【解解】abbbnababbnabbabnabbbbnaDn) 1() 1() 1() 1() 1(bnaabbbabbbabbb1111)() 1 (1)2() 1 (1n)1(bnababababbb0000000001.)()1(1 nbabna練習練習計算計算48 3111131111311113D【例例3】 計算計算.5021011321014321 D【解解】4444343424241414AaAaAaAaD021113101)1(441021113321)1(242+0113101321)1()5(446521294242用

8、降階法計算用降階法計算【例例4】計算計算n階行列式階行列式.000000000000abbababa【解解】 原式原式111nbAaA 按按第第一一列列展展開開 abaabaa0000000000babbabbn0000000000)1(1 nnnba1)1( 例例5 5 證明：證明：證：利用行列式性質及行列式按列展開（性證：利用行列式性質及行列式按列展開（性質法、展開法）質法、展開法） 3424231413123433323124232221432141111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD142413231222144133122141312112213314343332

9、31242322214321400011111111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaararrarraraaaaaaaaaaaaD242322432141312111aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展開此例中的四階行列式，稱為四階此例中的四階行列式，稱為四階范德蒙范德蒙（Vander MondeVander Monde）行列式）行列式, , n n階范德蒙行列階范德蒙行列式為：式為： 234233242314131212222300111aaaaaaaaaaaaaaaararrar43242314131211aaaaaaaaaaaa并提取公因子按第一列展開342423

10、141312aaaaaaaaaaaanijjinnnnnnaaaaaaaaaaa11121122221211113利用范德蒙行列式計算利用范德蒙行列式計算例例6計算計算利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德利用范德蒙行列式計算行列式，應根據范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。式，然后根據范德蒙行列式計算出結果。.333222111222nnnDnnnn ，于是得到，于是得到增至增至冪次數便從冪次數便從則方則方若提取各行的公因子，若提取各行的公因子，遞升至遞升至而是由而是由變到變到序排列，但不是從序排列，但不

11、是從次數自左至右按遞升次次數自左至右按遞升次方冪方冪數的不同方冪數的不同方冪中各行元素分別是一個中各行元素分別是一個10.1, 10, nnnDn解解.1333122211111!121212nnnnDnnnn 上面等式右端行列式為上面等式右端行列式為n階范德蒙行列式，由階范德蒙行列式，由范德蒙行列式知范德蒙行列式知!.1 !2)!2()!1( !)1()2()24)(23()1()13)(12( !)(!1 nnnnnnnnxxnDjinjin練習練習求解方程求解方程01111333322224 cbaxcbaxcbaxD例例7 7 計算計算dcbacbabaadcbacbabaadcbac

12、babaadcbaD 36103632342324用遞推法計算用遞推法計算cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr 363023200233412解解1 1： baabaacbabaadcbarrrr 300200034234000200034aabaacbabaadcbarr 解解2 2： cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr3610363023423200131214 43000200034aabaacbabaadcbarr baabaacbabaadcbarrrr373002000232423 例例8計算計算.nnnaaaaaxxxD1210100

13、000100001 解解展展開開列列把把依依第第Dnn12210111100000100001110001000100011 nnnnnnnnaaaaaxxxxxxxaD)()()()()()(1 nnnnDxaD0111axaxaxannnn 10111aaxxaxannnn 111Dxaxannnn 211 nnnnnDxaxa5折項法折項法例例9證明證明yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33 解：解：bzaybyaxbxbyaxbxazbzbxazbzaybybzaybyaxazbyaxbxazaybxazbzayax 左式

14、左式bzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxa bzaybyxbyaxbxzbxazbzybaybyaxzaxbxazyazbzayxa bzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa 22bzyxbyxzbxzybyaxzxazyzayxa22 zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33 yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33 用數學歸納法用數學歸納法例例10證明證明.coscos21000100000cos210001cos210001cos nDn 證證對階數對階數n用數學歸納法用

15、數學歸納法.,2, 1,2cos1cos22cos11cos,cos 221結論成立結論成立時時當當所以所以因為因為 nnDD 得得展展開開按按最最后后一一行行現現將將的的行行列列式式也也成成立立于于階階數數等等于于下下證證對對的的行行列列式式結結論論成成立立假假設設對對階階數數小小于于,.,Dnnn.cos221DDDnnn ,)2cos( ,)1cos( ,21 nDnDnn由歸納假設由歸納假設;cos)2cos()2cos(cos)2cos()1cos(cos2 nnnnnnDn .結論成立結論成立所以對一切自然數所以對一切自然數n例例1111nnnnnknkkkkkbbbbccccaa

16、aaD1111111111110 設設,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明7其他方法其他方法解解 ( (分析：對分析：對D D1 1作行運算，相當于對作行運算，相當于對D D的前的前k k行作相行作相同的行運算，且同的行運算，且D D的后的后n n行不變；對行不變；對D D2 2作列運算，作列運算，相當于對相當于對D D的后的后n n列作相同的列運算，且列作相同的列運算，且D D的前的前k k列列不變。不變。) ) 對對D D1 1作適當的運算，可將作適當的運算，可將D D1 1化為下三角形；同化為下三角形；同理

17、作適當的列運算，可將理作適當的列運算，可將D D2 2化為下三角形，分別化為下三角形，分別設為設為kkkkkpppppD1111110nnnnnqqqqqD1111120故對故對D D的前的前k k行作上述行運算，和對行作上述行運算，和對D D的后的后n n列作上述列作上述列運算后，列運算后，D D可化為可化為21111111111111110DDqqppqqqccccpppDnnkknnnnknkkkk注：注： 這個例題有很深刻的意義：行列式可進行某種分塊這個例題有很深刻的意義：行列式可進行某種分塊運算，且關于塊的運算同于行列式的運算。運算，且關于塊的運算同于行列式的運算?！窘饨狻?4434

18、241AAAA 444342411111AAAA 6902111187511111=0.,734369021111875144434241AAAAA 求求設設【例例12】例例13 用克拉默則解方程組用克拉默則解方程組 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx27D解解1082D274D811D273D, 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx例例14 問問 取何值時，齊次方程組取何值時，齊次方程組 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非

19、零解？ 解解 111132421D 101112431 31214313 312123 齊次方程組有非零解，則齊次方程組有非零解，則0 D所以所以 或或 時齊次方程組有非零解時齊次方程組有非零解.20 ,3 計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可計算行列式的方法比較靈活，同一行列式可以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方以有多種計算方法；有的行列式計算需要幾種方法綜合應用在計算時，首先要仔細考察行列式法綜合應用在計算時，首先要仔細考察行列式在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變在構造上的特點，利用行列式的性質對它進行變換后，再考察它是否能用常用的幾種方法換后，再考察它是否能用常用的幾種

20、方法小結小結練習練習計算計算.4abcdbadccdabdcbaD )()(dcbadcbadcbadcba MATLABMATLAB給出了直接計算方陣行列式的函數給出了直接計算方陣行列式的函數det.mdet.m其調用格式為：其調用格式為： D=det(A)D=det(A)用用MATLABMATLAB計算方陣行列式計算方陣行列式例例15 15 求下列矩陣的行列式求下列矩陣的行列式解：列出程序：解：列出程序： A A 10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1;10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4

21、,0;9,4,2,9,1;10 8 6 4 12 5 8 9 46 0 9 9 85 8 7 4 09 4 2 9 1A nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 線性方程組線性方程組的解取決于的解取決于 , 2 , 1,njiaij 系數系數 n,ibi21 常數項常數項一、矩陣概念的引入一、矩陣概念的引入第二章第二章 矩陣及其運算矩陣及其運算 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211對線性方程組的對線性方程組的研究可轉化為對研究可轉化為對這張表的研究這張表的研究.線性方程組的系數與常數項按原位置可排

22、為線性方程組的系數與常數項按原位置可排為2. 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四四城市之間開辟了若干航線城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的如圖所示表示了四城市間的航班圖航班圖,如果從如果從A到到B有航班有航班,則用帶箭頭的線連接則用帶箭頭的線連接 A 與與B.ABCD四城市間的航班圖情況常用表格來表示四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發站發站到站到站ABCDABCD其中其中 表示有航班表示有航班.為了便于計算為了便于計算,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一個數表就得到一個數表:1111111000000000這個數表反映了四城市間交通聯接

23、情況這個數表反映了四城市間交通聯接情況.ABCDABCD二、矩陣的定義二、矩陣的定義 由由 個數個數排成的排成的 行行 列的數表列的數表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為 矩陣矩陣. .簡稱簡稱 矩陣矩陣. .nm nm 記作記作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211簡記為簡記為 .ijnmijnmaaAA .,簡簡稱稱為為元元的的元元素素個個數數稱稱為為這這Anm 元素是實數的矩陣稱為元素是實數的矩陣稱為實矩陣實矩陣,元素是復數的矩陣稱為元素是復數的矩陣稱為復矩陣復矩陣.例如例如 346

24、95301是一個是一個 實矩陣實矩陣,42 2222222613i是一個是一個 復矩陣復矩陣,33 421是一個是一個 矩陣矩陣,13 9532是一個是一個 矩陣矩陣,41 4是一個是一個 矩陣矩陣.11 例如例如 2222222613i是一個是一個3 階方陣階方陣.幾種特殊矩陣幾種特殊矩陣(2)(2)只有一行的矩陣只有一行的矩陣 ,21naaaA 稱為稱為行矩陣行矩陣( (或或行向量行向量) ).(1)(1)行數與列數都等于行數與列數都等于 的矩陣的矩陣 ，稱為，稱為 階階nnA.nA方陣方陣. .也可記作也可記作,21 naaaB只有一列的矩陣只有一列的矩陣稱為稱為列矩陣列矩陣( (或或列

25、向量列向量).). 稱為稱為( (或或）. n 00000021（3）形如形如 的方陣的方陣, ,OO不全為不全為0 （4）元素全為零的矩陣稱為元素全為零的矩陣稱為零矩陣零矩陣， 零零矩陣記作矩陣記作 或或 . .nm nmo o注意注意 .00000000000000000000 不同階數的零矩陣是不相等的不同階數的零矩陣是不相等的.例如例如記作記作 .,21ndiagA (5)方陣方陣 100010001nEE稱為稱為單位矩陣單位矩陣（或（或單位陣單位陣）. . 同型矩陣與矩陣相等的概念同型矩陣與矩陣相等的概念OO 1. 1.兩個矩陣的行數相等兩個矩陣的行數相等, ,列數相等時列數相等時,

26、 ,稱為稱為同同型矩陣型矩陣.主對角線主對角線全為全為1 2. 2.兩個矩陣兩個矩陣 為為同型矩陣同型矩陣,并且并且對應元素相等對應元素相等,即即 ijijbBaA與與 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 則稱則稱矩陣矩陣 相等相等,記作記作BA與與.BA 例如例如 9348314736521與與為為同型矩陣同型矩陣.例例1之之個變量個變量與與個變量個變量mnyyymxxxn,2121間的關系式間的關系式 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay的的到變量到變量表示一個從變量表示一個從變量mnyyyxxx,212

27、1線性變換線性變換.為常數為常數其中其中ija .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211系數矩陣系數矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系線性變換與矩陣之間存在著一一對應關系. .若線性變換為若線性變換為 nnxyxyxy,2211稱之為稱之為恒等變換恒等變換. . nnxyxyxy,2211對應對應 100010001 單位陣單位陣. .線性變換線性變換 .cossin,sincos11yxyyxx 對應對應 cossinsincosXYO yxP, 111, yxP

28、這是一個以原點為中心這是一個以原點為中心旋轉旋轉 角的角的旋轉變換旋轉變換. 、定義、定義 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩陣的加法一、矩陣的加法設有兩個設有兩個 矩陣矩陣 那末矩陣那末矩陣 與與 的和記作的和記作 ，規定為，規定為nm ,bB,aAijij ABBA 第二節第二節 矩陣的運算矩陣的運算說明說明 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算行加法運算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.9864474111

29、3 2 2、 矩陣加法的運算規律矩陣加法的運算規律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .負矩陣負矩陣的的稱為矩陣稱為矩陣A1 1、定義、定義.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 二、數與矩陣相乘二、數與矩陣相乘規定為規定為或或的乘積記作的乘積記作與矩陣與矩陣數數, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、數乘矩陣的運算規律、數乘矩陣的運算規律矩陣相加與數乘矩陣合起來矩陣相加與數乘矩陣合起來, ,統稱為矩陣的統稱為矩陣的線線性運算性運算. .（設（設 為為 矩陣，矩陣

30、， 為數）為數） ,nm BA、定義、定義 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘積記作并把此乘積記作.ABC 三、矩陣與矩陣相乘三、矩陣與矩陣相乘設設 是一個是一個 矩陣，矩陣， 是一個是一個 矩陣，那末規定矩陣矩陣，那末規定矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積是一個是一個 矩陣矩陣 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例例222263422142 C22 16 32 816設設 415003112101A 121113121430B例例2 2故故 12111312143041500311210

31、1ABC. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10注意注意只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時，兩個矩陣才能相乘的行數時，兩個矩陣才能相乘. 106861985123321例如例如不存在不存在.、矩陣乘法的運算規律、矩陣乘法的運算規律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 為數）為數）; ;4AEAAE 若若A是是 階矩陣，則階矩陣，則 為為A的的 次冪，即次冪，即 并且并且 5nkAk 個個kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 為為正正整整數數k